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習(xí)題課 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用一多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法例1 已知函數(shù)由方程是常數(shù),求導(dǎo)函數(shù)。解:方程兩邊對求導(dǎo),例2 設(shè)函數(shù)由方程組 確定, 求. 解 解方程得:=由此得到 .(3) 隱函數(shù)由方程確定,求解: 函數(shù)關(guān)系分析: 5 (變量) - 3 (方程)=2(自變量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t ), , .二二階偏導(dǎo)數(shù)例3 設(shè),其中函數(shù)于的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求例4 設(shè),二階連續(xù)可微,求.解 記 ; ,則 ,因?yàn)?都是以為中間變量,以為自變量的函數(shù),所以將以上兩式代入前式得: .三方向?qū)?shù)和梯度例5 設(shè)在點(diǎn)可微,如果,求在點(diǎn)的微分答案:例6 設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分, .則在點(diǎn)增加最快的方向是( ) 四幾何應(yīng)用例7 求曲面:上切平面與直線平行的切點(diǎn)的軌跡。解: (1) 直線的方向:. 切點(diǎn)為處曲面的法向:. (2)所求軌跡:, 軌跡為空間曲線:例8 已知可微,證明曲面上任意一點(diǎn)處的切平面通過一定點(diǎn),并求此點(diǎn)位置證明:設(shè),于是有:,則曲面在處的切平面是:可以得到:易見當(dāng)時(shí)上式恒等于零。于是知道曲面上任意一點(diǎn)處的切平面通過一定點(diǎn),此定點(diǎn)為例9 求曲線 ,在點(diǎn)處的切線方程.解: 取,則 所以曲線在處的切向量為 , 于是所求的切線方程為 五極值問題例10 函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),在D內(nèi)部偏導(dǎo)數(shù)存在,在的邊界上的值為零,在內(nèi)部滿足,其中是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),且,證明 .證明:假設(shè)不恒為0,不妨設(shè)其在區(qū)域上某點(diǎn)P處取極大值,則有,這與是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)矛盾。例11 (隱函數(shù)的極值)設(shè)由確定,求該函數(shù)的極值解:三個(gè)方程聯(lián)立,得駐點(diǎn)在點(diǎn)且,點(diǎn)是極小值點(diǎn);在點(diǎn)且,點(diǎn)是極大值點(diǎn)例12 求原點(diǎn)到曲面的最短距離解:拉格倫日函數(shù):解方程組,拉格
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