多元函數(shù)微分學(xué)及應(yīng)用習(xí)題.doc

習(xí)題課 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用一多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法例1 已知函數(shù)由方程是常數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)。解：方程兩邊對求導(dǎo)，例2 設(shè)函數(shù)由方程組 確定， 求. 解 解方程得：=由此得到 .(3) 隱函數(shù)由方程確定，求解： 函數(shù)關(guān)系分析: 5 (變量) - 3 (方程)=2(自變量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t ), , .二二階偏導(dǎo)數(shù)例3 設(shè)，其中函數(shù)于的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求例4 設(shè)，二階連續(xù)可微，求.解 記 ; ,則 ,因?yàn)?都是以為中間變量，以為自變量的函數(shù)，所以將以上兩式代入前式得: .三方向?qū)?shù)和梯度例5 設(shè)在點(diǎn)可微，如果，求在點(diǎn)的微分答案：例6 設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分, .則在點(diǎn)增加最快的方向是( ) 四幾何應(yīng)用例7 求曲面:上切平面與直線平行的切點(diǎn)的軌跡。解: (1) 直線的方向：. 切點(diǎn)為處曲面的法向：. (2)所求軌跡：, 軌跡為空間曲線：例8 已知可微，證明曲面上任意一點(diǎn)處的切平面通過一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)位置證明：設(shè)，于是有：,則曲面在處的切平面是：可以得到：易見當(dāng)時(shí)上式恒等于零。于是知道曲面上任意一點(diǎn)處的切平面通過一定點(diǎn)，此定點(diǎn)為例9 求曲線 ,在點(diǎn)處的切線方程.解: 取，則 所以曲線在處的切向量為 ， 于是所求的切線方程為 五極值問題例10 函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在D內(nèi)部偏導(dǎo)數(shù)存在,在的邊界上的值為零，在內(nèi)部滿足，其中是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，且，證明 .證明：假設(shè)不恒為0，不妨設(shè)其在區(qū)域上某點(diǎn)P處取極大值，則有，這與是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)矛盾。例11 （隱函數(shù)的極值）設(shè)由確定，求該函數(shù)的極值解：三個(gè)方程聯(lián)立，得駐點(diǎn)在點(diǎn)且，點(diǎn)是極小值點(diǎn)；在點(diǎn)且，點(diǎn)是極大值點(diǎn)例12 求原點(diǎn)到曲面的最短距離解：拉格倫日函數(shù)：解方程組，拉格