高中數(shù)學課件 第一章第二節(jié) 《命題及其關(guān)系、充分條件.ppt

1 了解 p 則q 形式的命題及其逆命題 否命題與逆否命題 會分析四種命題的相互關(guān)系 2 理解必要條件 充分條件與充要條件的意義 1 命題的概念在數(shù)學中用語言 符號或式子表達的 可以的陳述句叫做命題 其中的語句叫真命題 的語句叫假命題 判斷 為假 判斷真假 判斷為真 2 四種命題及其關(guān)系 1 四種命題 2 四種命題間的逆否關(guān)系 3 四種命題的真假關(guān)系 兩個命題互為逆否命題 它們有的真假性 兩個命題互為逆命題或互為否命題 它們的真假性 沒有關(guān)系 相同 思考探究 一個命題的 否命題 與 否定 是同一個命題嗎 提示 不是 命題的否命題既否定命題的條件又否定命題的結(jié)論 而命題的否定僅是否定命題的結(jié)論 3 充分條件與必要條件 1 如果p q 則p是q的 q是p的 2 如果p q q p 則p是q的 充分條件 必要條件 充要條件 1 下列語句是命題的是 1 這條河是一條小河 2 垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎 3 一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù) 4 大角所對的邊大于小角所對的邊 5 x y是有理數(shù) 則x y也都是有理數(shù) 6 求證 x R 方程x2 x 1 0無實數(shù)根 A 1 2 3 B 3 4 5 C 4 5 6 D 1 2 3 4 5 解析 1 河的大小沒有確切的定義 所以也不能判斷真假 2 疑問句 不是命題 3 是命題 4 是命題 5 是命題 6 祈使句 不是命題 答案 B 2 給出命題 若函數(shù)y f x 是冪函數(shù) 則函數(shù)y f x 的圖象不過第四象限 在它的逆命題 否命題 逆否命題三個命題中 真命題的個數(shù)是 A 3B 2C 1D 0 解析 原命題是真命題 故它的逆否命題是真命題 它的逆命題為假命題 故它的否命題也為假命題 因此在它的逆命題 否命題 逆否命題中真命題只有一個 答案 C 3 x 0 是 x 0 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 解析 x 0 等價于 x 0或x 0 x 0 x 0或x 0 x 0 x 0或x 0 答案 A 4 設(shè)A B為兩個集合 下列四個命題 A B 對任意x A 有x B A B A B A B A B A B 存在x A 使得x B 其中真命題的序號是 把符合要求的命題序號都填上 解析 若A 1 2 3 B 2 3 4 則集合A B滿足A B 但2 A 2 B 故 錯 若取A 1 2 3 B 2 3 則集合A B滿足A B 但A B 故 是錯誤的 顯然 正確 答案 5 已知P x y 2009 Q x 2000且y 9 則P是Q的條件 解析 若P則Q 的逆否命題是x 2000或y 9 x y 2009 逆否命題不成立 原命題不成立 顯然其逆命題也不成立 答案 既不充分又不必要 1 命題真假的判定對于命題真假的判定 關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論 只有將條件與結(jié)論分清 再結(jié)合所涉及的知識才能正確地判斷命題的真假 2 四種命題的關(guān)系的應用掌握原命題和逆否命題 否命題和逆命題的等價性 當一個命題直接判斷它的真假不易進行時 可以轉(zhuǎn)而判斷其逆否命題的真假 特別警示 當一個命題有大前提而寫出其他三種命題時 必須保留大前提 大前提不動 分別寫出下列命題的逆命題 否命題 逆否命題 命題的否定 并判斷它們的真假 1 若q 1 則方程x2 2x q 0有實根 2 若x y都是奇數(shù) 則x y是偶數(shù) 3 若xy 0 則x 0或y 0 4 若x2 y2 0 則x y全為0 思路點撥 課堂筆記 1 原命題是真命題 逆命題 若方程x2 2x q 0有實根 則q 1 為真命題 否命題 若q 1 則方程x2 2x q 0無實根 為真命題 逆否命題 若方程x2 2x q 0無實根 則q 1 為真命題 命題的否定 若q 1 則方程x2 2x q 0無實根 為假命題 2 原命題是真命題 逆命題 若x y是偶數(shù) 則x y都是奇數(shù) 是假命題 否命題 若x y不都是奇數(shù) 則x y不是偶數(shù) 是假命題 逆否命題 若x y不是偶數(shù) 則x y不都是奇數(shù) 是真命題 命題的否定 若x y都是奇數(shù) 則x y不是偶數(shù) 是假命題 3 原命題為真命題 逆命題 若x 0或y 0 則xy 0 是真命題 否命題 若xy 0 則x 0且y 0 是真命題 逆否命題 若x 0且y 0 則xy 0 是真命題 命題的否定 若xy 0 則x 0且y 0 是假命題 4 原命題為真命題 逆命題 若x y全為0 則x2 y2 0 為真命題 否命題 若x2 y2 0 則x y不全為0 為真命題 逆否命題 若x y不全為0 則x2 y2 0 為真命題 命題的否定 若x2 y2 0 則x y不全為0 是假命題 1 利用定義判斷 1 若p q 則p是q的充分條件 2 若q p 則p是q的必要條件 3 若p q且q p 則p是q的充要條件 4 若p q且qp 則p是q的充分不必要條件 5 若pq且q p 則p是q的必要不充分條件 6 若pq且qp 則p是q的既不充分也不必要條件 2 利用集合判斷記條件p q對應的集合分別為A B 則 若A B 則p是q的充分條件 若A B 則p是q的充分不必要條件 若A B 則p是q的必要條件 若A B 則p是q的必要不充分條件 若A B 則p是q的充要條件 若A B 且A B 則p是q的既不充分也不必要條件 特別警示 從集合的角度理解 小范圍可以推出大范圍 大范圍不能推出小范圍 指出下列各組命題中 p是q的什么條件 1 p a b 2 q 直線x y 0與圓 x a 2 y b 2 2相切 2 p x x q x2 x 0 3 設(shè)l m均為直線 為平面 其中l(wèi) m p l q l m 4 設(shè) p q tan tan 思路點撥 課堂筆記 1 若a b 2 圓心 a b 到直線x y 0的距離 所以直線與圓相切 反之 若直線與圓相切 則 a b 2 a b 2 故p是q的充分不必要條件 2 若 x x 則x2 x x2 x 0成立 反之 若x2 x 0 即x x 1 0 則x 0或x 1 當x 1時 x x x 因此 p是q的充分不必要條件 3 l l m 但l m l p是q的必要不充分條件 4 x 時 正切函數(shù)y tanx是單調(diào)遞增的 當 且 時 tan tan 反之也成立 p是q的充要條件 1 條件已知證明結(jié)論成立是充分性 結(jié)論已知推出條件成立是必要性 2 證明分為兩個環(huán)節(jié) 一是充分性 二是必要性 證明時 不要認為它是推理過程的 雙向書寫 而應該進行由條件到結(jié)論 由結(jié)論到條件的兩次證明 3 證明時易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形 這就要分清哪是條件 哪是結(jié)論 求證 關(guān)于x的方程x2 mx 1 0有兩個負實根的充要條件是m 2 思路點撥 課堂筆記 1 充分性 因為m 2 所以 m2 4 0 方程x2 mx 1 0有實根 設(shè)x2 mx 1 0的兩個實根為x1 x2 由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2 1 0 所以x1 x2同號 又因為x1 x2 m 2 所以x1 x2同為負根 2 必要性 因為x2 mx 1 0的兩個實根x1 x2均為負 且x1x2 1 所以m 2 x1 x2 2 x1 2 所以m 2 綜合 1 2 知命題得證 若關(guān)于x的方程x2 mx 1 0有兩個正實根 求m的取值范圍 即 m 2 即m的取值范圍為 m m 2 解 方程x2 mx 1 0有兩個正實根 有關(guān)充要條件的題目在各省市的高考題中出現(xiàn)的比較多 通過對考試大綱和高考真題的分析研究 可以發(fā)現(xiàn)高考考題的常見類型為 直接考查條件和結(jié)論之間的充要關(guān)系 另一類題目 考查角度比較獨特 如 2008 全國卷 平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個 如兩組對邊分別平行 類似地 寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件 充要條件 充要條件 這類題目開放性較強 盡管答案不唯一 但能充分考查考生的綜合能力 在2009年的福建高考試題中也有體現(xiàn) 考題印證 2009 福建高考 設(shè)m n是平面 內(nèi)的兩條不同直線 l1 l2是平面 內(nèi)的兩條相交直線 則 的一個充分而不必要條件是 A m 且l1 B m l1且n l2C m 且n D m 且n l2 解析 m l1 且n l2 又l1與l2是平面 內(nèi)的兩條相交直線 而當 時不一定推出m l1且n l2 答案 B 自主體驗 函數(shù)f x ax3 ax2 2ax 2a 1的圖象經(jīng)過四個象限的一個充分但不必要條件是 A a B 1 a C a D 2 a 0 解析 f x a x 2 x 1 函數(shù)f x 在x 2和x 1處取得極值 如圖所示 要函數(shù)f x 的圖象經(jīng)過四個象限的充要條件是f 2 f 1 0 解之得 a 在四個選項中只有 1 答案 B 1 若條件p x 1 4 條件q x2 5x 6則p 是 q 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分又不必要條件 解析 p 5 x 3 則p x 5或x 3 q 2 x 3 則q x 2或x 3 p是q的充分不必要條件 答案 A 2 命題 若x2 1 則 1 x 1 的逆否命題是 A 若x2 1 則x 1或x 1B 若 1 x 1 則x2 1C 若x 1或x 1 則x2 1D 若x 1或x 1 則x2 1 解析 若原命題是 若p則q 則逆否命題為若q 則p 故此命題的逆否命題為 若 x 1 則x2 1 即若x 1或x 1 則x2 1 答案 D 3 2010 平頂山模擬 命題 若方程x2 a 0無實根 則a 0 其中原命題 逆命題 否命題 逆命題中 正確的個數(shù)有 A 1個B 2個C 3個D 4個 解析 若方程x2 a 0無實根 則a 0 真命題 逆命題 若a 0 則方程x2 a 0無實根 假命題 否命題 若方程x2 a 0有實根 則a 0 假命題 逆否命題 若a 0 則方程x2 a 0有實根 真命題 答案 B 4 用 充分條件 必要條件 充要條件 填空 1 a b 0且ab 0 是 a 0且b 0 的 2 x 1 是 1 的 3 x 2 是 x2 7x 10 0 的 解析 1 a b 0且ab 0 a b同號且都是負數(shù) 即a b 0且ab 0 a 0且b 0 又 a 0且b 0 a b 0 ab 0 即a 0且b 0 a b 0且ab 0 a b 0且ab 0 是 a 0且b 0 的充要條件 2 x 1時 1成立 即x 1 1 又 1時 x未必大于1 如x 3 即 1x 1 x 1 是 1 的充分條件 3 當x 2時 x2 7x 10 4 14 10 0 x 2 x2 7x 10 0 當x2 7x 10 0時 則x1 2 x2 5 x2 7x 10 0 x 2 x 2 是 x2 7x 10 0 的充分條件 答案 1 充要條件 2 充分條件 3 充分條件 5 有三個命題 1 若方程ax2 1 0有一個負根 則a 0 的逆命題 2 若a b 則a2 b2 的逆否命題 3 若x 3 則x2 x 6 0 的否命題 其中真命題的個數(shù)為 解析 1 真 2 原命題假 所以逆否命題也假 3 易判斷原命題的逆命題假 則原命題的否命題