高考數(shù)學(xué)論文模擬試題數(shù)列壓軸題談?wù)?010高考命題趨.doc

從2009年上海各地高考模擬試題數(shù)列壓軸題談?wù)?010高考命題趨勢(shì)2009年上海高考已經(jīng)結(jié)束，2010屆的高考的號(hào)角即將吹響，很多考生一頭埋進(jìn)全國高考試題里去研究，我們不妨停下腳步，從各地的模擬試題當(dāng)中掘金呢。模擬試題是各大市名師或?qū)W科帶頭人的智慧的結(jié)晶，那我就從2009年上海各地模擬試題談?wù)勛约旱目捶ò?。首先看一道比較基礎(chǔ)的壓軸題：選自2009.4閘北區(qū)模擬題將數(shù)列中的所有項(xiàng)按第一行排3項(xiàng)，以下每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： 記表中的第一列數(shù)， ，構(gòu)成數(shù)列 （）設(shè)，求的值；（）若，對(duì)于任何，都有，且求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （）對(duì)于（）中的數(shù)列，若上表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且，求上表中第（）行所有項(xiàng)的和解（）由題意，（）由 ，令得，且即， 所以因此，將各式相乘得 （）設(shè)上表中每行的公比都為，且因?yàn)?，所以表中?行至第9行共含有數(shù)列的前63項(xiàng)，故在表中第10行第三列， 因此又，所以則 【思考】第二問中為什么不用數(shù)學(xué)歸納法呢，我們姑且先猜猜。由且知，因此，可猜測（） 將，代入原式左端得左端即原式成立，故為數(shù)列的通項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)探究看到第二問中比較復(fù)雜的式子，我們應(yīng)該想想，是不是可以先猜猜他的結(jié)果，如果猜中了，但是不會(huì)做，我還可以得一分，高考有時(shí)一分就決定一個(gè)人命運(yùn)呀。如果猜出結(jié)果，想想數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)榇鸢干嫌泻芏喾椒ê苊畹?，在考場中很難想到，我們換種思維，就能尋找解題的捷徑。很多出題人很喜歡在壓軸題中混合上很多的知識(shí)點(diǎn)，而且混合上的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有些難度。向量與數(shù)列的綜合再也普通不過了，但是最后一問來點(diǎn)數(shù)論的知識(shí)，題目檔次就上去了，讓我們來看看2009.4長寧區(qū)的一道題目。設(shè)軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標(biāo)平面上點(diǎn)列、分別滿足下列兩個(gè)條件：且；且.（1）求及的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)在直線上；（2）若四邊形的面積是，求的表達(dá)式；（3）對(duì)于（2）中的，是否存在最小的自然數(shù)，對(duì)一切都有成立？若存在，求；若不存在，說明理由解， 所以，它滿足直線方程，因此點(diǎn)在直線上。 （2） 。設(shè)直線交軸于， 則， 等即在數(shù)列中，是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù)，對(duì)一切都有M成立. 思考 這道題目其實(shí)難度不大，但是許多考生容易做懵，為什么呢，沒耐心唄。當(dāng)時(shí)我在監(jiān)考的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)考場很多考生這道題目空在那兒，倒把下面一道比較難的解析幾何題目解出來了，后來我問這個(gè)學(xué)生原因，學(xué)生說太煩了，而且弄不好就錯(cuò)，與其花那么多力氣做錯(cuò)一題，不如先做下面一題。我可以明確的告訴每位考生，高考繁瑣的計(jì)算，易錯(cuò)的陷阱題肯定有的，平時(shí)訓(xùn)練就要耐心做下去。數(shù)列中對(duì)奇偶數(shù)的討論往往是壓軸題目的難點(diǎn)所在，稍微有些錯(cuò)誤就會(huì)前功盡棄，下面看看2009.4崇明縣的模擬試題：已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng), （）是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，且 (). （1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)的和.解：（1）由可知方程兩根為， ， （2）（理）當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)，即時(shí)， （3）（理）當(dāng)，即時(shí)，）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，+ 當(dāng)，即時(shí)，）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，+ 【思考】其它各省市對(duì)數(shù)列中奇偶數(shù)的討論已經(jīng)淡化了，但是2008，2009上海卷中依舊有奇偶數(shù)討論的影子，討論作為一種思想方法，是不會(huì)淡出高考舞臺(tái)的，這需要我們一定的耐心和信心。其實(shí)最具代表性奇偶討論的題目是2009年南京一模的第20題， （2009南京一模）在數(shù)列中，已知，且，（1） 若數(shù)列為等差數(shù)列，求的值。（2） 求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則， 依題得：，對(duì)恒成立。即：，對(duì)恒成立。所以，即：或，故的值為2。（2） 所以， 當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，。 相乘得所以 當(dāng)也符合。 當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)， 相乘得所以 ，所以 。因此 ，當(dāng)時(shí)也符合。所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)， 所以 【思考】本道題目當(dāng)中引入了字母計(jì)算，這就使題目抽象多了，題目抽象沒關(guān)系，只要你有耐心一定能迎刃而解，我們?cè)倏纯磽P(yáng)州中學(xué)2009.2的月考試題，這上面的奇偶討論就比較刁鉆了：（2009揚(yáng)州中學(xué)2月月考）已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)， （）；(5分)（）證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在，使；(5分)（）令，當(dāng)時(shí)，求證：(6分)解:（）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而= (3分) =. (5分) （）證明：若,則題意成立(6分)若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即.設(shè),則當(dāng)時(shí),.從而此時(shí)命題成立 (8分)若,由題意得,則由的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.綜上所述,原命題成立(10分)（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)? 所以=(11分)因?yàn)?,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.而(13分)當(dāng)(15分)當(dāng)時(shí),由于0,所以綜上所述,原不等式成立(16分)【思考】雖然很刁鉆，但是上海卷很喜歡出這種刁鉆的題目，說難也只不過如此，就是考生在考場里愿不愿意做，肯不肯做，能不能靜下心來把思路理清楚。有些地方的奇偶討論還要來點(diǎn)分類討論，你不能含糊，含糊了你自己做著做著就糊涂了，下面我們看看2009.4奉賢區(qū)的一道試題：已知點(diǎn)集，其中，點(diǎn)列在L中，為L與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令；試用解析式寫出關(guān)于的函數(shù)。（3）若，給定常數(shù)m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（1）y (2xb)(b1)2x1 -(1分)與軸的交點(diǎn)為，所以； -(1分)所以，即， -(1分)因?yàn)樵谏希?，?-(1分)（2）設(shè) （），即 （） -(1分)（A）當(dāng)時(shí)， -(1分)=，而，所以 -(1分)（B）當(dāng)時(shí)， -(1分)= =， -(1分)而，所以 -(1分)因此（） -(1分)（3）假設(shè)，使得 ，（A）為奇數(shù)（一）為奇數(shù)，則為偶數(shù)。則，。則，解得：與矛盾。 -(1分)（二）為偶數(shù)，則為奇數(shù)。則，。則，解得：（是正偶數(shù)）。 -(1分)（B）為偶數(shù)（一）為奇數(shù)，則為奇數(shù)。則，。則，解得：（是正奇數(shù)）。 -(1分)（二）為偶數(shù)，則為偶數(shù)。則，。則，解得：與矛盾。 -(1分)由此得：對(duì)于給定常數(shù)m()，這樣的總存在；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，。 -(1分)【思考】聽奉賢區(qū)教改主任說，這道題目整個(gè)區(qū)的得分率就很低，不得不調(diào)細(xì)評(píng)分細(xì)則，盡量給分，很多學(xué)生做著做著就摸不清東西南北了，糊涂了，全糊在里面了，如果給考生兩個(gè)小時(shí)，靜下心來好好做這一道題目，那么我可以保證很多人能多得10分。【預(yù)測】這幾年上海高考數(shù)學(xué)的數(shù)列壓軸題都很難，有些題目的方法很妙，但是我們說在現(xiàn)在基礎(chǔ)上提高58分還是有可能的，數(shù)