特殊平行四邊形(一)教學(xué)設(shè)計.doc

第三章 證明（三）特殊平行四邊形（一）一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在初二平行四邊形一章中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三種特殊平行四邊形矩形、菱形和正方形，對三種圖形的性質(zhì)和判定已經(jīng)非常熟悉并能運用這些知識解答簡單的幾何問題；同時，通過證明（一）和證明（二）兩章的學(xué)習(xí)，學(xué)生也已經(jīng)有了一定的推理論證能力，并且在前一節(jié)的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行了對平行四邊形性質(zhì)和判定的證明，學(xué)生具備了獨立證明特殊平行四邊形性質(zhì)及判定定理的基本技能；學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了大量的證明活動，特別是平行四邊形的相關(guān)證明推理，學(xué)生已經(jīng)逐漸體會到了證明的必要性和證明在解決實際問題時的作用，從而初步具備了證明特殊平行四邊形性質(zhì)和判定定理的能力；同時，在前面的相關(guān)活動中，學(xué)生已經(jīng)初步了解了歸納、概括及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，大量的活動經(jīng)驗豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，鍛煉了學(xué)生的能力，使學(xué)生具備了在解題中合理運用方法的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析課本基于目前學(xué)生的知識和能力水平，對本課內(nèi)容提出了具體的學(xué)習(xí)任務(wù)：進(jìn)一步發(fā)展推理論證能力，運用綜合法證明矩形的性質(zhì)和判定定理，進(jìn)一步體會證明的必要性和作用，體會歸納等數(shù)學(xué)思想方法。對于本節(jié)課的知識，教科書提出的學(xué)習(xí)任務(wù)，重點集中在了學(xué)生的能力培養(yǎng)上，因為本節(jié)課的知識，對學(xué)生來說從認(rèn)知角度上缺乏挑戰(zhàn)性，大部分學(xué)生都已經(jīng)能夠熟練運用矩形的性質(zhì)和判定方法，所以，在教學(xué)時，我們應(yīng)該把目標(biāo)上升一個層次，從關(guān)注學(xué)生是否能證明這些定理提高到關(guān)注學(xué)生如何找到解題思路，從關(guān)注學(xué)生是否能順利證明提高到關(guān)注學(xué)生是否合理嚴(yán)密的使用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格證明，從關(guān)注學(xué)生合作解題提高到讓每一個學(xué)生都能獨立完成證明的過程。能力培養(yǎng)不僅是本節(jié)課教學(xué)過程中的近期目標(biāo)，更是為今后學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識打下基礎(chǔ)的遠(yuǎn)景目標(biāo)，能力的培養(yǎng)也必然帶動學(xué)生情感態(tài)度目標(biāo)的達(dá)成。同時，在教學(xué)中，還必須注意對不同層次的學(xué)生制定不同的教學(xué)任務(wù)，作到讓每一個學(xué)生都能在課堂上有所收獲。為此，本節(jié)課我們要達(dá)到的具體教學(xué)目標(biāo)為：1 能夠運用綜合法和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言證明矩形的性質(zhì)和判定定理以及其他相關(guān)結(jié)論；2 經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，發(fā)展學(xué)生的推理論證能力，培養(yǎng)學(xué)生找到解題思路的能力，使學(xué)生進(jìn)一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用；3 學(xué)生通過對比前面所學(xué)知識，體會證明過程中所運用的歸納、概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法；4 通過學(xué)生獨立完成證明的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，增強(qiáng)學(xué)生對待科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度，從而養(yǎng)成良好的習(xí)慣。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了六個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)，課前準(zhǔn)備；第二環(huán)節(jié)，課題引入，對比思考；第三環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)，獨立證明；第四環(huán)節(jié)，實際應(yīng)用，練習(xí)提高；第五環(huán)節(jié)，課堂小節(jié)，回顧思考；第六環(huán)節(jié)，作業(yè)布置。第一環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備活動內(nèi)容：辦一期數(shù)學(xué)手抄報（本章開始時布置）可以以分組或者獨立完成的形式，以平行四邊形和特殊平行四邊形的相關(guān)知識為主要內(nèi)容辦一期數(shù)學(xué)手抄報。（1） 手抄報中必須要包含平行四邊形與矩形、菱形、正方形的關(guān)系圖，對相關(guān)的性質(zhì)和判定定理的總結(jié)。（2） 對平行四邊形的題目中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行簡單的歸納。（3） 要有典型例題的講解歸納?；顒幽康模和ㄟ^這個活動，首先是學(xué)生能夠主動地對平行四邊形的相關(guān)知識有一個系統(tǒng)的認(rèn)知，讓學(xué)生以一種比較有趣的形式對這部分知識進(jìn)行自主的復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，激發(fā)學(xué)生對本節(jié)知識的學(xué)習(xí)興趣。同時，對平行四邊形進(jìn)行歸納，可以使學(xué)生清楚地認(rèn)識到平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關(guān)系，為后面連續(xù)幾節(jié)研究特殊的平行四邊形提供有力的支持。此外，這個活動，也可以激發(fā)學(xué)生的積極性和主動性?；顒拥淖⒁馐马棧恨k手抄報這樣活動，在八年級平行四邊形相關(guān)知識的復(fù)習(xí)中，就可以出現(xiàn)，如果當(dāng)時學(xué)生已經(jīng)有了比較系統(tǒng)的歸納總結(jié)，教師可在學(xué)習(xí)本章知識時，將學(xué)生以前辦的手抄報再發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行對照比較，從而提高學(xué)生的認(rèn)識，特別是可以讓學(xué)生關(guān)注八年級這部分知識是否經(jīng)過了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，現(xiàn)在學(xué)生又是否能證明這些知識。在本章開始時，就把這個任務(wù)布置給學(xué)生，不僅可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識前有一個預(yù)習(xí)的過程，更主要的是，這張手抄報可以作為每一節(jié)的知識點體系出現(xiàn)，學(xué)生在課堂上可以對照自己所總結(jié)的知識體系，進(jìn)行有針對性的學(xué)習(xí)，這張手抄報通過在這章學(xué)習(xí)中的不斷使用，可以得到完善，使學(xué)生在結(jié)束本章知識時，自然地有了一套完整的復(fù)習(xí)資料。同時，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識、方法和典型例題進(jìn)行總結(jié)，還可以鍛煉學(xué)生歸納概括知識點的能力，為學(xué)生摸索出適合自己的學(xué)習(xí)方法提供幫助。在這項活動中，不必要求每個學(xué)生都獨立完成，對于學(xué)有余力的學(xué)生，應(yīng)當(dāng)鼓勵他們獨立完成，但對于學(xué)困生，可以讓他們通過與他人合作的形式進(jìn)行這項活動，使他們也能有所收獲。對于學(xué)生作品，可以在班級內(nèi)進(jìn)行一個小評比，讓學(xué)生從內(nèi)容的完整性、內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性、版式設(shè)計等方面進(jìn)行比較，選出比較好的作品，在班級中展示。通過這樣的小活動，可以再次把學(xué)生的興趣提升，對于接下來學(xué)生融入本節(jié)知識是非常有利的。八年級平行四邊形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸了分類關(guān)系圖，所以在此學(xué)生可能的設(shè)計形式有很多，但在教學(xué)中，教師要注意學(xué)生是否對自己的分類做出了說明，特別是從平行四邊形過渡到矩形和菱形時是否正確運用了二者的定義或者判定定理，還應(yīng)鼓勵學(xué)生用多種方法來說明。在典型例題的設(shè)計中，要讓學(xué)生注意到自己所使用的思想方法，并盡量讓學(xué)生提煉出自己的方法。學(xué)生在這里可能不能很完整地用語言說明，教師可在課堂上進(jìn)行實物展示時，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說明，如下面一例：本班學(xué)生金某在自己設(shè)計的好題回放環(huán)節(jié)中，選擇了一個題目：已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，AOB是等邊三角形，AB=4cm，求這個平行四邊形的面積。本題恰好是本節(jié)要研究的矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，在實物投影時，金某結(jié)合自己的解法進(jìn)行分析，說明自己首先通過平行四邊形入手，得到AC、BD互相平分，又通過等邊三角形得到AO=BO，從而推得四邊形ABCD是矩形。在這個分析過程中，恰當(dāng)?shù)剡\用了綜合法，從而通過分析這道題，不僅使學(xué)生對本節(jié)要研究的矩形知識有了準(zhǔn)備，更對綜合法這個思想方法有了認(rèn)識。第二環(huán)節(jié)：課題引入，對比思考活動內(nèi)容：將選出的比較好的手抄報進(jìn)行實物投影，請學(xué)生對自己設(shè)計的關(guān)系圖進(jìn)行說明并把自己選的典型例題進(jìn)行簡單講解。再請學(xué)生對比前面所學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定定理的證明過程，來思考如何證明矩形的性質(zhì)和判定定理。然后通過小組合作，將定理的證明嚴(yán)格的完成，最后通過實物投影的形式，各小組之間進(jìn)行交流。對比前一節(jié)學(xué)習(xí)的平行四邊形性質(zhì)定理，引導(dǎo)學(xué)生對矩形獨有的性質(zhì)定理進(jìn)行證明：定理1 矩形的四個角都是直角；定理2 矩形的對角線相等；定理3 有三個角是直角的四邊形是矩形；定理4 兩條對角線相等的平行四邊形是矩形。（1） 學(xué)生獨立畫出圖形，在教師引導(dǎo)下寫出已知、求證；（2） 對比平行四邊形性質(zhì)定理的證明，對已知、求證進(jìn)行分析；（3） 請學(xué)生交流大體思路；（4） 用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言寫出證明過程；（5） 同學(xué)之間進(jìn)行交流，找出自己還存在的問題?；顒幽康模壕匦蔚男再|(zhì)學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，但還未經(jīng)過嚴(yán)格的證明，這里的證明首先可以讓學(xué)生對這兩條矩形的性質(zhì)和判定有更深刻的認(rèn)知，同時，通過教師引導(dǎo)和獨立思考，培養(yǎng)遇到題目時冷靜思考，找到解題思路的良好習(xí)慣。在分析思路時，逐步鍛煉學(xué)生的推理論證能力，最后通過互查的形式讓每個學(xué)生都能嚴(yán)格的證明，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)。通過小組合作，在合作中讓學(xué)生相互幫助共同進(jìn)步?；顒幼⒁馐马棧簩τ诒竟?jié)矩形的四個定理，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，而且通過對比平行四邊形的相關(guān)證明，學(xué)生不難證明四個定理。所以，教師在這里可以不必讓每個學(xué)生都去證明四個定理，而是通過分組的形式，讓學(xué)生選擇自己要證明的定理，加入那個小組，每個小組去證明一個定理，這樣不僅有利于學(xué)生的合作交流，同時還能合理安排課堂時間，讓學(xué)生把精力投入到對思想方法的研究上去。同時，采取小組合作時，應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生提出自己的意見，特別是有沒有更多的方法來證明這些定理，在小組討論形成結(jié)果的時候，由代表為其他同學(xué)進(jìn)行講解，并把自己組所有想到的方法向大家展示。此時，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的思路是否清晰、證明是否嚴(yán)謹(jǐn)，對學(xué)有余力的學(xué)生要關(guān)注他們是否有新的想法，對學(xué)困生則要關(guān)注他們是否掌握了基本的證明思路。這四個定理，對學(xué)生的證明要求不高，但需要學(xué)生畫圖，并寫出已知求證，這對部分學(xué)生來說有一定困難，教師在此時可以注意引導(dǎo)，讓學(xué)生首先分析出定理中的條件和結(jié)論，然后讓學(xué)生仿照前面平行四邊形的證明，寫出已知和求證，同時對他們做出分析，這個學(xué)生分析的環(huán)節(jié)是發(fā)展學(xué)生推理論證能力的關(guān)鍵。對于定理1，可以由矩形的定義推出，同時，還要使用“對角相等，鄰角互補(bǔ)”這一性質(zhì)，這個性質(zhì)的證明，對學(xué)生不存在太大困難。對于定理2，可以由定義和全等三角形證明。但這個證明過程，有的學(xué)生可能會出現(xiàn)這樣的錯誤，把對角線相等當(dāng)作條件使用，教師需要重點關(guān)注這種情況，對于出現(xiàn)這種錯誤的學(xué)生，應(yīng)該讓他再次對題目的已知和求證進(jìn)行分析，并且引導(dǎo)他注意觀察自己的思路存在混亂的問題，理清他的思路。對于定理3，利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”證明平行四邊形是比較簡單的方法，如果學(xué)生采取其他方法，也應(yīng)當(dāng)鼓勵。對于定理4，學(xué)生采取的方法大多利用全等三角形證明平行四邊形某兩個鄰角相等，又互補(bǔ)從而推出直角，這里也要注意鼓勵學(xué)生采取不同的方法證明。在證明過程中，對于重點步驟，應(yīng)該要求學(xué)生寫明理由，同時，還要關(guān)注學(xué)生的證明過程是否嚴(yán)謹(jǐn)清晰。第三環(huán)節(jié)：教師引導(dǎo)，獨立證明活動內(nèi)容：1通過學(xué)生對議一議的討論，在教師的引導(dǎo)下，得到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個結(jié)論，并證明；2 教師給出書中例一，學(xué)生進(jìn)行分析，并解決這個問題，然后互相交流解法?；顒幽康模哼\用剛剛證明的兩個性質(zhì)解決問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力，同時，通過對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。在活動2的證明中，通過讓學(xué)生找尋不同的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，深刻體會數(shù)學(xué)思想的多樣性和靈活性。在一題多解的過程中，貫徹分層教學(xué)的理念，讓學(xué)生在思維最活躍的時候，最大化地提高學(xué)生能力?；顒幼⒁馐马棧?議一議的目的是通過一個問題情境讓學(xué)生探索直角三角形斜邊中線與斜邊的關(guān)系，對于“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明有著重要作用，學(xué)生通過討論“議一議”，可以發(fā)現(xiàn)后面證明時把直角三角形轉(zhuǎn)化為矩形的方法。而同時，議一議的研究，不僅用到了矩形特有的對角線相等的性質(zhì)，也用到了對角線互相平分的性質(zhì)，教師在此可以結(jié)合這一點，再次強(qiáng)調(diào)特殊平行四邊形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。通過議一議，學(xué)生可以比較容易的觀察出結(jié)論。2對于“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明，應(yīng)當(dāng)注意的是，它與議一議中問題的條件并不是相同的，因此，在得出這個推論之后，應(yīng)該要求學(xué)生說明原因。這個推論的證明，也是可以有許多方法的，有的學(xué)生可能會想到用度量直接求出，這是教師應(yīng)該首先鼓勵，然后引導(dǎo)學(xué)生用證明來說理。對于不同層次的學(xué)生，考慮的方法也會有區(qū)別，教師都應(yīng)該鼓勵學(xué)生大膽嘗試，用自己的方法去試著解決。有的學(xué)生可能會想到用前面剛學(xué)的中位線的方法來添加輔助線，然后用比例推導(dǎo)結(jié)論，這種想法就非常值得鼓勵；還有的學(xué)生可能會馬上想到用議一議的方法來構(gòu)造輔助矩形，從而把直角三角形的問題轉(zhuǎn)化到矩形中來解決。對于每一種方法，教師都應(yīng)讓學(xué)生先說清自己的思路，然后嚴(yán)格的證明，特別對于學(xué)困生，要求要有所側(cè)重，讓他們也能找到一種自己可以成功的方法，從而有所收獲。對于教材提供的構(gòu)造方法，也可以有多種方法，如下面兩種：已知直角三角形ABC，B是直角，E是AC中點A DB C E方法一：過A點作BC的平行線，與BE的延長線交于點D，連接CD，然后證明三角形BCE和三角形DAE全等，得到BC=AD，進(jìn)而證明四邊形ABCD是矩形，再利用“矩形的對角線相等且互相平分”即可得到。方法二：在BE的延長線上取線段ED，使ED=BE，連接AD、DC，然后證明四邊形ABCD是矩形，再利用“矩形的對角線相等且互相平分”即可得到。對于這種構(gòu)造方法，學(xué)生接觸得還不多，可能有很多學(xué)生不明白，此時教師應(yīng)該多引導(dǎo)，特別注意與議一議的對比，力求使學(xué)生能夠明白這里的轉(zhuǎn)化方法。同時，可以對學(xué)生加以引導(dǎo)，讓學(xué)生注意構(gòu)造的妙用，特別是鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生嘗試使用這種方法，為下面知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。3通過前面的練習(xí)，在例1的解答過程中，學(xué)生能夠比較容易想到這個題目也有多種解法，教材上提供了兩種證明方法，教師應(yīng)該先讓學(xué)生思考分析題目，并口述解題思路，然后獨立完成證明，不要讓學(xué)生一開始就看書，在學(xué)生的證明中，要鼓勵學(xué)生不同的解法，同時關(guān)注學(xué)生的證明過程是否嚴(yán)謹(jǐn)。對于層次不同的學(xué)生，還是要分別關(guān)注，讓他們各有收獲。第四環(huán)節(jié)：實際應(yīng)用，練習(xí)提高活動內(nèi)容：在本環(huán)節(jié)中，教師給出一個實際問題：一位工人師傅在檢查一個矩形門框時，手上只有一把刻度尺，他怎樣才能判斷一個四邊形是個矩形？請說明如何操作，并畫圖寫出證明過程。如果允許換工具，你還有其他方法嗎？活動目的：通過這個實際問題，首先考查了學(xué)生對矩形判定定理的運用，也是對本節(jié)課效果的一個考察，題目最后允許學(xué)生更換工具，可以讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，使學(xué)生可以更加靈活地運用本節(jié)課的知識，滿足學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的需要，使學(xué)生的知識得到鞏固和運用。同時，還可以讓學(xué)生再次了解到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的重要作用?；顒幼⒁馐马棧骸霸鯓佑每潭瘸邫z查一個四邊形是不是矩形？”這個問題是對矩形判定定理“對角線相等的平行四邊形是矩形”的實際運用，同時，也是對本節(jié)課教學(xué)效果的一個檢驗。在這里，對不同層次的學(xué)生，要求要有所側(cè)重，對于有能力的同學(xué)，應(yīng)當(dāng)鼓勵他們獨立完成全過程。而對于能力有所欠缺的學(xué)生，應(yīng)該側(cè)重于說明為什么，然后再加以引導(dǎo)完成全過程。在問題的分析中，要讓學(xué)生注意刻度尺僅可以測量長度，不能測量角度。在后面一問中，就可以讓學(xué)生充分進(jìn)行發(fā)散思維，學(xué)生可能會想到直接運用三角板、量角器測量角度，也可能有的學(xué)生會想到運用繩子，教師在此可以把時間充分交給學(xué)生，讓他們發(fā)揮聰明才智，特別是學(xué)生有比較新奇而又可行的想法時，要給予鼓勵。對于學(xué)困生，則要讓他們積極參與討論，這時往往是他們展現(xiàn)自己的好機(jī)會，教師應(yīng)抓住這些機(jī)會給他們以幫助。第五環(huán)節(jié)：課堂小節(jié)，回顧思考活動內(nèi)容：學(xué)生互相交流矩形的性質(zhì)與判定定理，何時該選用性質(zhì)定理，何時選擇判定定理，矩形與平行四邊形的關(guān)系，遇到矩形實際題目時如何分析思路，以及遇到困難時如何克服等?；顒幽康模汗膭顚W(xué)生結(jié)合前面的準(zhǔn)備活動暢所欲言自己的感受和收獲，讓學(xué)生在不知不覺中提高自己的推理論證能力，并且對于研究科學(xué)需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)這一點有深刻的認(rèn)識。活動注意事項：鼓勵學(xué)生互相補(bǔ)充，暢所欲言，不要由老師替學(xué)生總結(jié)，特別要關(guān)注一些在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有困難的學(xué)生，要通過這個環(huán)節(jié)來給他們樹立信心，同時幫助他們發(fā)現(xiàn)困難以便今后更好的解決困難。第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置作業(yè)布置不能一概而論，對于不同層次的學(xué)生，要注意提出不同的要求。課后習(xí)題3.4的要求較低，要求學(xué)生都能獨立完成，對于有能力的同學(xué)，可以提出更高的要求，如：試