數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題.doc

13.4.課題學(xué)習(xí)最短路徑教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教材分析1、地位作用：隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)中的問(wèn)題，于是就出現(xiàn)了為省時(shí)、省財(cái)力、省物力而希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別。初中數(shù)學(xué)中路徑最短問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。2、目標(biāo)和目標(biāo)解析：（1）目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想.（2）目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能講實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問(wèn)題，能利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題；能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短；在探索最算路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.3、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題突破難點(diǎn)的方法：利用軸對(duì)稱性質(zhì)，作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)和已知點(diǎn)，得到一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決.二、教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、導(dǎo)學(xué)案三、教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情景 引入課題師：前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題” （板書(shū)）課題學(xué)生思考教師展示問(wèn)題，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)識(shí).從生活中問(wèn)題出發(fā)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望.二、自主探究 合作交流 建構(gòu)新知追問(wèn)1：觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？ 活動(dòng)1：思考畫(huà)圖、得出數(shù)學(xué)問(wèn)題將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直 線 B。Al追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答， 并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D） lABCB強(qiáng)調(diào)：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”活動(dòng)2：嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題2 ： 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。?追問(wèn)1你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B嗎？ B。Al問(wèn)題3 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的BlAC一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB的和最??？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫(huà)圖分析，并嘗試回答，互相補(bǔ)充如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l 相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C 即為所求 如圖所示：BlCAB問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？ 教師展示：證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），連接AC，BC，BC 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BCBlABCC方法提煉：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”.問(wèn)題4練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑 ABCPQ山河岸大橋基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q 在直線BC 的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR 的和最小” 問(wèn)題5 造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析：1、如圖假定任選位置造橋，連接和，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？BA思維點(diǎn)撥：改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？（估計(jì)有以下方法）1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.教師：上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?問(wèn)題解決：如圖，平移A到A1，使A1等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此時(shí)路徑最短. 理由；另任作橋，連接，. 由平移性質(zhì)可知，. AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為，而轉(zhuǎn)化為. 在中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此 AM+MN+BN 如圖所示：BAA1NM方法提煉：將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問(wèn)題”動(dòng)手畫(huà)直線觀察口答動(dòng)手連線觀察口答獨(dú)立思考合作交流匯報(bào)交流成果，書(shū)寫(xiě)理由.思考感悟活動(dòng)1中的將軍飲馬問(wèn)題，把剛學(xué)過(guò)的方法經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正互相交流解題經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立完成，交流經(jīng)驗(yàn)觀察思考，動(dòng)手畫(huà)圖，用軸對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行解決各抒己見(jiàn)合作與交流交流體會(huì)為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的生活情境，培養(yǎng)學(xué)生的把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.經(jīng)歷觀察-畫(huà)圖-說(shuō)理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.達(dá)到軸對(duì)稱知識(shí)的學(xué)以致用注意問(wèn)題解決方法的小結(jié)：抓對(duì)稱性來(lái)解決及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，注重方法規(guī)律的提煉總結(jié).學(xué)以致用，及時(shí)鞏固注意問(wèn)題解決方法的小結(jié)：抓軸對(duì)稱來(lái)解決經(jīng)歷觀察-畫(huà)圖-說(shuō)理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.提煉思想方法：軸對(duì)稱，線段和最短體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，體驗(yàn)軸對(duì)稱知識(shí)的應(yīng)用動(dòng)手體驗(yàn)動(dòng)手作圖體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖三、鞏固訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1、最短路徑問(wèn)題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CACB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CACB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B，則點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)2.如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處.（二）變式訓(xùn)練：如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？（三）綜合訓(xùn)練：茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖a圖b學(xué)生獨(dú)立思考解決問(wèn)題獨(dú)立思考，合作交流.鞏固所學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，滲透轉(zhuǎn)化思想.提煉方法，為課本例題奠定基礎(chǔ).四、反思小結(jié) 布置作業(yè)小結(jié)反思 （1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？ （2）軸對(duì)稱在所研究問(wèn)題中起什么作用？解決問(wèn)題中，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你還有哪些收獲？ 作業(yè)布置、課后延伸必做題：課本P93-15題；選做題：生活