數(shù)學(xué)人教版九年級上冊教學(xué)資源.doc

“數(shù)學(xué)之神”阿基米德美國的E.T.貝爾在數(shù)學(xué)人物上這樣評價阿基米德的：任何一張開列有史以來三個最偉大的數(shù)學(xué)家的名單之中，必定會包括阿基米德，而另外兩個通常是牛頓和高斯.不過以他們的宏偉業(yè)績和所處的時代背景來比較，或拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來比較，還應(yīng)首推阿基米德.古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（Archimedes 約公元前287前212）出生在意大利南端西西里島的敘拉古，卒于同地.阿基米德的父親是位數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家.從小有良好的家庭教養(yǎng)，他11歲就被送到當(dāng)時希臘文化中心的亞歷山大城去學(xué)習(xí).在這座號稱“智慧之都”的名城里，阿基米德博覽群書，汲取了許多的知識，并且做了歐幾里得學(xué)生埃拉托塞和卡農(nóng)的門生，鉆研幾何原本，他與亞歷山大的學(xué)者保持緊密的聯(lián)系，因此他是亞歷山大學(xué)派的成員.阿基米德的學(xué)術(shù)著作與主要的科學(xué)貢獻(xiàn)阿基米德的生平并沒有詳細(xì)記載，但有關(guān)他的故事卻廣為流傳.據(jù)說他確立了力學(xué)的杠桿定律之后，曾發(fā)出豪言壯語：“給我一個立足點，我就可以移動整個地球！”后來阿基米德成為兼數(shù)學(xué)家與力學(xué)家的偉大學(xué)者，并且享有力學(xué)之父的美稱.其原因在于他通過大量實驗發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，又用幾何演澤方法推出許多杠桿命題，給出嚴(yán)格的證明.其中就有著名的阿基米德原理，他在數(shù)學(xué)上也有著極為光輝燦爛的成就.盡管阿基米德流傳至今的著作共只有十來部，但多數(shù)是幾何著作，這對于推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，起著決定性的作用.砂粒計算是專講計算方法和計算理論的一本著作.阿基米德要計算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運(yùn)用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運(yùn)算是密切相關(guān)的.圓的度量利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，求得圓周率為：22/722371 ，這是數(shù)學(xué)史上最早的，明確指出誤差限度的值.他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法.球與圓柱熟練地運(yùn)用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑.阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的.在這部著作中，他還提出了著名的阿基米德公理.拋物線求積法研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.他還用力學(xué)權(quán)重方法再次驗證這個結(jié)論，使數(shù)學(xué)與力學(xué)成功地結(jié)合起來.論螺線是阿基米德對數(shù)學(xué)的出色貢獻(xiàn).他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法.在同一著作中，阿基米德還導(dǎo)出幾何級數(shù)和算術(shù)級數(shù)求和的幾何方法.平面的平衡是關(guān)于力學(xué)的最早的科學(xué)論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題.浮體是流體靜力學(xué)的第一部專著，阿基米德把數(shù)學(xué)推理成功地運(yùn)用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學(xué)公式表示浮體平衡的規(guī)律.論錐型體與球型體講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉(zhuǎn)而成的球型體體積.除上述這些阿基米德的著作之外，據(jù)現(xiàn)在所知，他失傳的著作有天球儀的制造、論杠桿、支持、原理和反射光學(xué)等.在他死后差不多兩千年，在公元1670年，英國牛津出版了阿基米德遺著全集.經(jīng)歷了這么多世紀(jì)而保留下來的阿基米德的著作，就全部收在這部全集里.1系統(tǒng)總結(jié)并嚴(yán)格證明了杠桿定律，為靜力學(xué)奠定了基礎(chǔ).在總結(jié)前人經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，阿基米德系統(tǒng)地研究了物體的重心和杠桿原理，提出了精確地確定物體重心的方法，指出在物體的重心處支起來，就能使物體保持平衡.在論平面圖形的平衡一書中，進(jìn)一步確定了各種平面圖形的重心，并對杠桿平衡條件做了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.得出重物的重量比和它們離支點的距離成反比的杠桿定律.運(yùn)用這一定律，阿基米德設(shè)計過杠桿滑輪系統(tǒng)，創(chuàng)造了用小力把大船拉到水里等奇跡.2在著名的論浮體一書中，他總結(jié)出了著名的阿基米德原理；放在液體中的物體受到向上的浮力，其大小等于物體所排開的液體重力.從此使人們對物體的沉浮有了科學(xué)的認(rèn)識，從而奠定了流體靜力學(xué)的基礎(chǔ).3確定各種幾何圖形的面積和物體的表面積、體積的計算方法，創(chuàng)立“窮竭法”.他精通幾何學(xué)，先后發(fā)現(xiàn)了幾十條定理.在圓的度量等著作中，提出了計算圓的周長、面積及扇形面積的準(zhǔn)確公式；他用圓內(nèi)接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、面積逐漸接近的方法精確求出.在這些計算中，他創(chuàng)立的“窮竭法”，實質(zhì)上與現(xiàn)代數(shù)學(xué)積分計算的基本思想相同.在論拋物線形的求積法、論球和圓柱等著作中，阿基米德在計算拋物線弓形面積和球、橢球、旋轉(zhuǎn)拋物體等的表面積與體積時，進(jìn)一步發(fā)展了“窮竭法”，可以說是現(xiàn)代微積分法的先導(dǎo).和他的前輩及同時代的一些學(xué)者相比，阿基米德的學(xué)術(shù)活動有一個顯著的特點，就是他既極為重視科學(xué)的嚴(yán)密性、準(zhǔn)確性，要求對每一個問題都進(jìn)行精確的、合乎邏輯的證明；又非常注意科學(xué)知識的實際應(yīng)用，親自設(shè)計制造過多種機(jī)械裝置和建筑物，開創(chuàng)理論研究和實際應(yīng)用密切結(jié)合的學(xué)風(fēng).丹麥數(shù)學(xué)史家海伯格，于年發(fā)現(xiàn)了阿基米德給厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的傳抄本.通過研究發(fā)現(xiàn)，這些信件和傳抄本中，蘊(yùn)含著微積分的思想，他所缺的是沒有極限概念，但其思想實質(zhì)卻伸展到世紀(jì)趨于成熟的無窮小分析領(lǐng)域里去，預(yù)告了微積分的誕生.流傳下來的阿基米德的著作，主要有下列幾種.論球與圓柱是他的得意之作，包括許多重大的成就.他從幾個定義和公理出發(fā)，推出關(guān)于球與圓柱面積體積等50多個命題.用幾何方法解決相當(dāng)于三次方程對的問題，圓的度量，計算園內(nèi)接與外切96邊形的周長，求得圓周率.劈錐曲面與旋轉(zhuǎn)橢圓體，研究幾種圓錐曲線的旋轉(zhuǎn)體，以及這些立體被平面截取部分的體積.在引理中給出公式.論螺線利用一組內(nèi)接和一組外接的扇形，確定“阿基米德螺線”（現(xiàn)用極坐標(biāo)方程來表示）第一圈與始線所包圍的面積等于.拋物線圖形求積法，確定拋物線與任一弦所圍弓形的面積.平面圖形的平衡或其重心，從幾個基本假設(shè)出發(fā)，用嚴(yán)格的幾何方法論證力學(xué)的原理，求出若干平面圖形的重心.數(shù)沙者，設(shè)計一種可以表示任何大數(shù)目的方法，糾正有的人認(rèn)為沙子是不可數(shù)的，即使可數(shù)也無法用算術(shù)符號表示的錯誤看法.論浮體，討論物體的浮力，研究了旋轉(zhuǎn)拋物體在流體中的穩(wěn)定性.阿基米德還提出過一個“群牛問題”,含有八個未知數(shù).最后歸結(jié)為一個二次不定方程.其解的數(shù)字大得驚人，共有二十多萬位！阿基米德當(dāng)時是否已解出來頗值得懷疑.除此以外，還有一篇非常重要的著作，是一封給埃拉托斯特尼的信，內(nèi)容是探討解決力學(xué)問題的方法.這是1906年丹麥語言學(xué)家J.L.海貝格在土耳其伊斯坦布爾發(fā)現(xiàn)的一卷羊皮紙手稿，原先寫有希臘文，后來被擦去，重新寫上宗教的文字.幸好原先的字跡沒有擦干凈，經(jīng)過仔細(xì)辨認(rèn)，證實是阿基米德的著作.其中有在別處看到的內(nèi)容，也包括過去一直認(rèn)為是遺失了的內(nèi)容.后來以阿基米德方法為名刊行于世.它主要講根據(jù)力學(xué)原理去發(fā)現(xiàn)問題的方法.他把一塊面積或體積看成是有重量的東西，分成許多非常小的長條或薄片，然后用已知面積或體積去平衡這些“元素”，找到了重心和支點，所求的面積或體積就可以用杠桿定律計算出來.他把這種方法看作是嚴(yán)格證明前的一種試探性工作，得到結(jié)果以后，還要用歸謬法去證明它.他用這種方法取得了大量輝煌的成果.阿基米德的方法已經(jīng)