用相似比求交點的坐標.doc

用相似比求交點的坐標【例題1】 如圖1，已知A、B是雙曲線上的兩個點，點A、B的橫坐標分別為1、2，點C的坐標為(1，0)在雙曲線上是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形？如果存在，請求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由圖1解析過ABC的三個頂點，分別畫對邊的平行線，平行線與雙曲線的交點有三個，可以知道符合條件的點D有三個。求點D的坐標，我們?nèi)菀紫氲酱鷶?shù)法，把直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，方程組的解就是交點的坐標。其實用幾何法，根據(jù)相似比列方程，可以使得解題又好又快。先求得點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(2，1)。設(shè)點D的坐標為()。如圖2，當CD/AB時，構(gòu)造CDEABF，那么。由此列方程，解得x1或2。所以點D的坐標為(1, 2)或(2,1)。如圖3，當AD/BC時，構(gòu)造CBMADN，那么。由此列方程，解得x5或1。當x1時就是點A，所以點D的坐標為(5，)。不存在BD/AC的情況。圖2 圖3【例題2】如圖4，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，1），ABC的面積為（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由圖4解析我們先來解答第（1）題：因為OC1，ABC的面積為，所以AB設(shè)點A的坐標為（a，0），那么點B的坐標為（a，0）設(shè)拋物線的解析式為，代入點C（0，1），得解得或因為二次函數(shù)的解析式中，所以拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)因此點A、B的坐標分別為，所以拋物線的解析式為我們?yōu)榈冢?）題作鋪墊工作：直覺很重要，ACB90。因為，所以因此AOCCOB于是ACOCBO。因此ACOBCOCBOBCO90所以ACB90。設(shè)點D的坐標為如圖5，過點A作BC的平行線交拋物線于D，過點D作DEx軸于E因為，所以因此解得此時點D的坐標為如圖6，過點B作AC的平行線交拋物線于D，過點D作DFx軸于F因為，所以因此解得此時點D的坐標為綜上所述，當D的坐標為或時，以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形圖5 圖6第（2）題可以用代數(shù)的方法這樣解：例如圖5，先求得直線BC為，再根據(jù)AD/BC求得直線AD為，由直線AD和拋物線的解析式組成的方程組，得到點D的坐標顯然代數(shù)法的運算量很大。2011