大一高數(shù)考試題庫資料 另附 高數(shù)學(xué)習(xí)方法+高數(shù)公式庫(.doc

學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（同濟大學(xué)版）附答案 一、單選題（共15分，每小題3分）1設(shè)函數(shù)在的兩個偏導(dǎo)， 都存在，則 ( )A在連續(xù) B在可微 C 及 都存在 D存在2若，則等于（ ） 3設(shè)是圓柱面及平面所圍成的區(qū)域，則） 4 4若在處收斂，則此級數(shù)在處（ ） A 條件收斂 B 絕對收斂 C 發(fā)散 D 斂散性不能確定5曲線在點（1，1，2）處的一個切線方向向量為（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空題（共15分，每小題3分） 1設(shè)，則 .2交 換的積分次序后，_3設(shè)，則在點處的梯度為 .4. 已知，則 .5. 函數(shù)的極小值點是 .三、解答題（共54分，每小題6-7分）1.（本小題滿分6分）設(shè), 求,.2.（本小題滿分6分）求橢球面的平行于平面的切平面方程，并求切點處的法線方程.3. （本小題滿分7分）求函數(shù)在點處沿向量方向的方向?qū)?shù)。4. （本小題滿分7分）將展開成的冪級數(shù)，并求收斂域。5（本小題滿分7分）求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。6（本小題滿分7分）計算二重積分及圍成.7.（本小題滿分7分）利用格林公式計算，其中是圓周（按逆時針方向）.8.（本小題滿分7分）計算，其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.四、綜合題（共16分，每小題8分）1（本小題滿分8分）設(shè)級數(shù)都收斂，證明級數(shù)收斂。2（本小題滿分8分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，證明曲線積分與路徑無關(guān)若對任意的恒有，求的表達式參考答案及評分標準一、單選題（共15分，每小題3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空題（共15分，每小題3分）1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)三、解答題（共54分，每小題6-7分）1解：; (3分) =+ ( 6分).2. 解：記切點 則切平面的法向量為滿足： ，切點為：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法線方程分別為：或者 ( 6分)3. 解： ( 3分), ( 7分)4. 解：=, ( 2分)因為 ，,所以=,其中 ，即.( 5分)當(dāng)時，級數(shù)為發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)為發(fā)散,故=， ( 7分)5. 解：由, 得到與, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隱函數(shù)的駐點為與。 ( 4分)由，可知在駐點與有。( 5分)在點，因此 ，所以為極小值點，極小值為；( 6分)在點，因此 ，所以為極大值點，極大值為， ( 7分)6. 解：記，則.（2分） 故 ( 4分) （7分）7. 解：所圍區(qū)域：,由格林公式，可得= =.(7分)OOOOO裝O訂O線OOOOOxyz118. 解：如圖，選取柱面坐標系計算方便,此時，所以 ( 4分)=. (7分)四、綜合題（共16分，每小題8分）1證明：因為，（2分）故存在N，當(dāng)時，因此收斂。（8分）2證明：因為，且，故曲線積分與路徑無關(guān)（4分）因此設(shè)，從而，（5分），（6分）由此得對任意成立，于是，即（8分）大一學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷11、 極限概念：=_ 。2、連續(xù)（與可導(dǎo)）。 設(shè)，若在處連續(xù),則 = _；若不連續(xù)，則是第_ 類間斷點。3、極限， ？設(shè) ，求常數(shù) 。已知，求。 存在，求。4、等價無窮?。?當(dāng)時，和等價求常數(shù) 。5、設(shè)，函數(shù)是否可微？6、高階導(dǎo)數(shù)：7、導(dǎo)數(shù)定義：（1）已知 ，則：（2）可導(dǎo)函數(shù)有，對任何均滿足，則（3）已知，是連續(xù)的函數(shù)，求。（4）討論函數(shù) 在處的導(dǎo)數(shù)。8、求導(dǎo)數(shù)：（1）、，求 （2）、 求 （3）、函數(shù)由方程所確定，求（4）、（5）、，求 9、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義、經(jīng)濟含義。（1）設(shè)商品的需求函數(shù)為，求時的需求價格彈性和收益價格彈性，并說明其經(jīng)濟意義。（2）設(shè)有周期函數(shù) ，周期為5，可導(dǎo)，如果：，求曲線在點處的切線方程。（4）設(shè)曲線和相切，求。大一學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷2一、填空題1 函數(shù)的極小值為 。2. 曲線在點（1，2）處的切線方程是 。3. 函數(shù)f (x)=1x3x5,則f (x3x5)= 4ex dx= 。 5、微分方程的通解為 。6、通解為的微分方程是 。二、選擇題7 設(shè)函數(shù)，則（ ） （A）為無窮間斷點； （B）為可去間斷點； （C）為跳躍間斷點； （D）為非無窮第二類間斷點。8. 設(shè)函數(shù)可微，則的微分=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）9. 設(shè)函數(shù)y = f (x)可導(dǎo)，且，則當(dāng)時，該函數(shù)在x0處的微分是 .（A）x的等階無窮?。?（B）x的同階無窮??；（C）x的高階無窮??； （D）x的低階無窮小10. 對于不定積分，在下列等式中正確的是 .（A）； （B）；（C）； （D）11. 的間斷點類型是（ ） （A）可去； （B）跳躍； （C）無窮； （D）A、B、C都有.12、微分方程的通解為（ ）A、; B、; C、; D、;13、設(shè),則( ) A、; B、; C、; D、;14、方程的特解形式為（ ）A、; B、;C、;D、;三、解答題15、設(shè)，且存在，求16、17、求（用兩種方法）18. 設(shè)： 求 19. 已知函數(shù)，試求：（1）的單調(diào)區(qū)間；（2）的凹凸區(qū)間及拐點；（3）曲線的漸近線.20.設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，在(a, b)上可導(dǎo)且，試證明存在，使得21、設(shè)，求。22. 設(shè)非負函數(shù)在上滿足 ，曲線與直線及坐標軸圍成圖形的面積為2，求函數(shù)大一學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷3一、選擇題1. 下列函數(shù)中,奇函數(shù)是（ ） ; ; ; 2. 當(dāng)時,下列哪個是的高階無窮?。?）; ; . （ ） ; ; ; . （ ） ; ; ; .5. 下列論斷正確的是（）A、 可導(dǎo)極值點必為駐點B、 極值點必為駐點 C、 駐點必為可導(dǎo)極值點D、 駐點必為極值點6、已知曲線經(jīng)過原點，且在原點處的切線與直線平行，而 滿足微分方程，則曲線的方程為（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。7、下列方程中，設(shè)是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。二、填空題 . . . 13. 若，則f(x)=_。14、微分方程的特解可設(shè)為 。15、函數(shù)在點處具有任意階導(dǎo)數(shù)，則在處的Taylor展開式中的Taylor系數(shù) 三、計算題 20. 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在a,b上連續(xù)且f(a)g(a)，f(b)g(b)，求證：在（a,b）內(nèi)，曲線y=f(x)與y=g(x)至少有一個交點。北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)綜合練習(xí)題一、填空：1. 函數(shù)的定義域為_.1. 函數(shù)的定義域為_.2. 若的定義域為，則的定義域為_. 3. 若的定義域為，則的定義域為_.4. 若的定義域為，則的定義域為_.5. 若，則=_.6. 若，則=_.7. 若，則=_.8. 若，則=_.9. 若，則=_.10. 設(shè)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，定義域均為. 若.則=_, =_.11. 若，則=_.12. 函數(shù)的反函數(shù)為_.13. 函數(shù)的反函數(shù)為_.14. 若，則=_.15. ln(x+1)與x是當(dāng)_時的等價無窮小.16. 與是當(dāng)_時的等價無窮小.17. 若 在=0處連續(xù)，則=_. 18. 若在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則=_.19. 若在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則=_.20. 若在處連續(xù)，則=_.21. 的間斷點為_.22. 若=0，=-3，則=_.23. 若，則=_.24. 若=2，則=_.25. 若=3，則=_.26. 設(shè)存在二階導(dǎo)數(shù)且，若，則_.27. 曲線在（e，e）點處的切線方程為_.28. 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為_.29. 若在點處有極大值且存在，則=_.30. 曲線的拐點為_.31. 若是的一個原函數(shù)，則=_.32. 若，則=_.33. 若，則_.34. 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，則=_.35. 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，則=_.36. 微分方程的通解為_.二、單項選擇：1. 函數(shù)的定義域為（ ）.A. (1, 4) B. -4, -1 C. (-4, -1) D. 1, 42. 函數(shù)與相同的區(qū)間是（ ）.A. (-, 0) B. (0, +) C. (-, +) D. (-1, 1)3. 下列四組函數(shù)中與表示同一函數(shù)的是（ ）.A. ， B. ，C. ， D. ，4. 若，則=（ ）.A. 64 B. 16 C. D. 5. 下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（ ）.A. B. C. D. 6. 若，則=（ ）.A. B. C. D. 7. 函數(shù)的反函數(shù)y =（ ）.A. B. C. D. 8. 函數(shù)的反函數(shù)（ ）. A. B. C. D. 9. 是當(dāng)（ ）時的無窮小. A. B. 1 C. 0 D. -110. 是當(dāng)（ ）時的無窮小. A. - B. + C. -1 D. 111. 當(dāng)=（ ）時， 在=0處連續(xù).A. 2 B. -2 C. 0 D. -412. 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義，若，則=（ ）.A. 1 e B. e C. 1 D. 013. 若=3，則=（ ）.A. 3 B. 3 C. 6 D. 614. 若 存在，則=（ ）. A . B. C. D. 015. 若，則（ ）.A. 2 B. C. 1 D. 1 16. 設(shè)曲線在點M處的切線斜率為3，則點M的坐標為（ ）.A . (0, 1) B. (1, 1) C. (1, 0) D. (0, 0)17. 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為（ ）. A. B. C. (-, 0) D. (0, +)18. 設(shè)存在二階導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間內(nèi)恒有（ ），則在內(nèi)曲線上凹.A. B. C. D. 19. 若，=（ ）.A. B. C. D. 20. 若是的一個原函數(shù)，則=（ ）. A. B. C. D. 21. =（ ）.A. 0 B. C. D. 22. 若，則=（ ）. A. B. C. D. 23. 若，則=（ ）. A. B. C. D. 24. 微分方程是（ ）階微分方程.A. 2 B. 3 C. 4 D. 525. 微分方程的通解為（ ）. A. B. C. D. （c為任意常數(shù)）三、計算下列極限： 1. 2.3. 4.5. 6.7. 8.9. 10.11. 12.13. 14.15. 16.17. 18.19. 20. 21. 22.23. 24. 25. 26.27. 28.29. 30.31. 32. 四、求下列導(dǎo)數(shù)或微分： 1. 設(shè)，求.2. 設(shè)，求.3. 設(shè)，求.4. 設(shè)，求.5. 設(shè)，求.1. 設(shè)，求.2. 設(shè)，求.3. 設(shè)，求.4. 設(shè)，求.5. 設(shè)，求.6. 設(shè)，求.7. 設(shè)，求.8. 設(shè)，求.9. 設(shè)，求.10. 設(shè)，求.11. 設(shè)，求.12. 設(shè)，求.13. 設(shè)，求.14. 設(shè)，求.15. 設(shè)，求.16. 設(shè)，求、.17. 設(shè)，存在且不為零，求、.18. 設(shè)，求、.19. 設(shè)，求、.20. 設(shè)，求.21. 設(shè)，求.22. 設(shè)，求.23. 設(shè)，求.五、求下列各積分：1. 2.3. 4.5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.25. 26.27. 28. 29. 30.六、求解下列各題：1. 求函數(shù)的極值.2. 求函數(shù)的極值.3. 求函數(shù)的極值.4. 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.5. 求函數(shù)的圖形的凹凸區(qū)間及拐點.6. 證明：當(dāng)時，有成立.7. 證明：當(dāng)時，有成立.8. 設(shè)是內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，若令，用導(dǎo)數(shù)定義證明：是奇函數(shù).9. 若是奇函數(shù)且連續(xù)，證明：是偶函數(shù).10. 求由曲線和所圍成的平面圖形的面積.11. 求由曲線和所圍成的平面圖形的面積.12. 求由曲線與所圍成的圖形的面積.13. 求由曲線、和所圍成的平面圖形的面積.14. 求由曲線、和所圍成的平面圖形的面積.15. 求由曲線、和所圍成的平面圖形的面積.16. 求由與和x軸所圍成的平面圖形的面積.17. 求由曲線、和所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積.18. 求由曲線和所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積.19. 求微分方程的通解. 20. 求微分方程的通解.1、當(dāng)時，與相比較是 無窮小。2、 3、曲線在處的切線斜率為 4、當(dāng)滿足條件_時，積分收斂5、曲線的極值點是 6、設(shè)函數(shù)則 7、若，則 8、 9、若，則 10、微分方程的通解為_1、當(dāng)時，與相比較是 無窮小.2、設(shè)函數(shù)，則 .3、設(shè)，則方程有 個實根.4、當(dāng)滿足條件_時，積分收斂.5、設(shè)函數(shù)，則 .6、函數(shù)的極值點是 .7、 .8、若，則 .9、 .10、微分方程的通解為_.一、 單項選擇題（每小題2分，共10分）1、函數(shù)的定義域為（ ）A B C D 2、函數(shù)在處是在處連續(xù)的( )A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件C. 充要條件 D. 無關(guān)條件3、函數(shù)在處（ ）A 不連續(xù) ； B 可導(dǎo)； C 連續(xù)但不可導(dǎo)； D 無定義4、 下列式子中，正確的是（ ） A. B. C. D.5、設(shè)，則_. A B. C. D. 二、單項選擇題（每小題2分，共10分）1函數(shù)的定義域為（ ）.A； B. ； C. ； D. 2、若在的鄰域內(nèi)有定義，且，則（ ）.A 在處有極限，但不連續(xù)； B 在處有極限，但不一定連續(xù);C 在處有極限，且連續(xù)； D在處極限不存在，且不連續(xù)。3、函數(shù)在處（ ）.A 不連續(xù) ； B 可導(dǎo)； C 連續(xù)但不可導(dǎo)； D 無定義4、若，則（ ）. A 3； B 5; C 2； D 15、若是的原函數(shù)，則（ ）. A ; B C ; D 二、 計算題（每小題8分，共32分）1、求2、設(shè)方程確定隱函數(shù)，求3、設(shè) 求4、求解微分方程三、計算題（每小題8分，共32分）1、求2、設(shè)由確定，求3、求曲線在點（0，1）處的法線方程4、求解微分方程四、計算題（每小題10分，共20分）1、求2、求四、計算題（每小題10分，共20分）1、求2、求五、應(yīng)用題（12分）欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最?。课?、應(yīng)用題（12分）要建造一個體積為的圓柱形封閉容器，問怎樣選擇它的底半徑和高，使所用的材料最??？六、證明題（6分）證明不等式 .六、證明題（6分） 若在時連續(xù)且單調(diào)增加，試證也單調(diào)增加。經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分復(fù)習(xí)提綱第一章函數(shù)1、函數(shù)的定義域及分段函數(shù)的求值。2、基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。 初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。3、常用的經(jīng)濟函數(shù)(需求函數(shù)、供給函數(shù)、總成本函數(shù)、總收益函數(shù)、總利潤函數(shù)、庫存函數(shù))第二章極限與連續(xù)1、無窮小的定義與性質(zhì)。 1）極限為零的變量稱為無窮小量。注：（1）無窮小量是個變量而不是個很小的數(shù). （2）零是常數(shù)中唯一的無窮小量。 2）無窮小的性質(zhì)：有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小、有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小、常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小、有限個無窮小的乘積也是無窮小。 3）函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系： 的充要條件是 ，其中A為常數(shù)，。2、無窮大的定義。 在某一變化過程中，若f(x)的絕對值無限增大,則稱函數(shù)f(x)為此變化過程中的無窮大量。 注：無窮大是變量,不是一個絕對值很大的數(shù)。3、無窮大與無窮小互為倒數(shù)。4、極限的運算法則。 見教材P48 定理1、2、3、4及推論1、25、兩個重要極限。 會用重要極限求函數(shù)極限。6、會用等價無窮小代替求極限7、連續(xù)的定義。見教材P66函數(shù)f(x) 在點x0處連續(xù)，必須同時滿足三個條件：1) 在點x0處有定義；2）存在 ；3）極限值等于函數(shù)值，即 。8、函數(shù)在點連續(xù)的充分必要條件是：既左連續(xù)又右連續(xù)。9、函數(shù)在點處連續(xù)與該點處極限的關(guān)系： 函數(shù)在點處連續(xù)則在該點處必有極限，但函數(shù)在點處有極限并不一定在該點連續(xù)。10、如何求連續(xù)函數(shù)的極限 連續(xù)函數(shù)極限必存在，且極限值等于函數(shù)值，即 111、對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點兩側(cè)表達式不同時，需根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件進行討論。12、如何求連續(xù)區(qū)間？ 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的； 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。13、間斷點的定義。14、間斷點的類型。（一）第一類間斷點 1、可去間斷點（1）在處無定義，但存在。（2）在處有定義，在處左右極限存在且相等，但是 。 2、跳躍間斷點： 在點處左右極限都存在，但不相等 。 第一類間斷點的特點:函數(shù)在該點處左右極限都存在.（二）第二類間斷點(若左右極限中至少有一個不存在，稱為第二類間斷點。) 1、無窮間斷點。 2、振蕩間斷點。有關(guān)習(xí)題如下：P47 3 P53 2,3,4 P62 1,2 P65 1,2,3 P73 2,3,5,6第三章導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性1、函數(shù)在點處可導(dǎo)的充要條件是： 在點處的左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，2、判斷分段點處是否可導(dǎo)：在分段點處應(yīng)按定義求出左右導(dǎo)數(shù)，在分段點處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，則分段點可導(dǎo)。3、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系：若函數(shù)在點可導(dǎo)，則函數(shù)在點連續(xù)。反之不然4、函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率。5、切線方程、法線方程6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、參數(shù)方程所表示函數(shù)導(dǎo)數(shù) 。7、對數(shù)求導(dǎo)法8、可微的定義。9、函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在點可導(dǎo)有關(guān)習(xí)題如下：P91 7,11,12,15 P100 2,3,5,6,7,10 P105 1,2 P112 1,4,6 P122 3, 4第四章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用10、中值定理的內(nèi)容。11、洛必達法則。12、函數(shù)單調(diào)性判別法：求極值步驟：13、求最大（?。┲档牟襟E：14、函數(shù)的凹凸性及拐點的定義及判斷方法15、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用(最大利潤問題、最大收益問題、經(jīng)濟批量問題、最大稅收問題等)有關(guān)習(xí)題如下：P142 2 P147 1 P162 1,2,4,5 P168 3第五章不定積分1、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：全體原函數(shù)構(gòu)成不定積分。即 。積分運算與微分運算有如下互逆關(guān)系：1)或 .2) 或 .2、不定積分的換元法和分部積分法。第一類換元法（湊微分法） 。第二類換元法分部積分法有關(guān)習(xí)題如下：P183 1 P197 1 P203 1第六章定積分1、定積分的性質(zhì)。2、定積分中值定理。3、為積分上限的函數(shù)（或變上限的定積分）。 它的導(dǎo)數(shù)是 4、牛頓萊布尼茲公式，又叫微積分基本公式。5、定積分的換元法、分部積分法6、定積分的經(jīng)濟應(yīng)用