2012年湖北高考數(shù)學(xué)文科試卷帶詳解.doc

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合,，則滿足條件的集合C的個數(shù)為 ( )A1 B2 C3 D4【測量目標(biāo)】集合的基本運算.【考查方式】子集的應(yīng)用.【參考答案】D【試題解析】求 ，易知.因為，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數(shù)，即有個.故選D.2容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為 ( )A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 【測量目標(biāo)】頻數(shù)分布表的應(yīng)用，頻率的計算,對于頻數(shù)、頻率等統(tǒng)計問題【考查方式】通過弄清楚樣本總數(shù)與各區(qū)間上樣本的個數(shù)，用區(qū)間上樣本的個數(shù)除以樣本總數(shù)就可得到相應(yīng)區(qū)間上的樣本頻率.【參考答案】B【試題解析】由頻數(shù)分布表可知：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為2+3+4=9，樣本總數(shù)為，故樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)頻率為.故選B.3函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)為 ( )A2 B3 C4 D.5 【測量目標(biāo)】函數(shù)零點求解與判斷.【考查方式】通過函數(shù)的零點，要求學(xué)會分類討論的數(shù)學(xué)思想.【參考答案】D【試題解析】由，得或；其中，由，得，故.又因為，所以.所以零點的個數(shù)為個.故選D.4命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是 ( )A任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) B任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) D存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【測量目標(biāo)】命題的否定.【考查方式】求解特稱命題或全稱命題的否定，千萬別忽視了改變量詞；【參考答案】B【試題解析】根據(jù)特稱命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“任意一個無理數(shù),它的平方不是有理數(shù)”.故選B.5過點的直線，將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 ( )A B. C. D. 【測量目標(biāo)】考查直線、線性規(guī)劃與圓的綜合運,并學(xué)會用數(shù)形結(jié)合思想.直線的方程【考查方式】通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)當(dāng)面積之差最大時，所求直線應(yīng)與直線垂直，利用這一條件求出斜率，進(jìn)而求得該直線的方程.【參考答案】A【試題解析】要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點的圓的弦長達(dá)到最小，所以需該直線與直線垂直即可.又已知點，則,故所求直線的斜率為.又所求直線過點，故由點斜式得，所求直線的方程為，即.故選A.6已知定義在區(qū)間（0,2）上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象為 ( ) 【測量目標(biāo)】函數(shù)的圖象的識別.【考查方式】利用特殊值法（特殊點），特性法（奇偶性，單調(diào)性，最值）結(jié)合排除法求解【參考答案】B【試題解析】排除法：當(dāng)時，故可排除A,C項；當(dāng)時，故可排除D項；所以由排除法知選B.7定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)： ( )； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 A B C D 【測量目標(biāo)】等比數(shù)列的新應(yīng)用，函數(shù)的概念.【考查方式】讀懂題意，然后再去利用定義求解，注意數(shù)列的通項.【參考答案】C【試題解析】設(shè)數(shù)列的公比為.對于，,是常數(shù)，故符合條件;對于，不是常數(shù)，故不符合條件;對于，是常數(shù)，故符合條件;對于, ，不是常數(shù)，故不符合條件.由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選C8設(shè)的內(nèi)所對的邊分別為. 若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且 ，則為 ( )A. B. C D. 【測量目標(biāo)】正、余弦定理以及三角形中大角對大邊的應(yīng)用.【考查方式】本題需求解三個角的正弦的比值，明顯是要利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊長的比值，因此必須求出三邊長,注意正余弦定理與和差角公式的結(jié)合應(yīng)用.【參考答案】D【試題解析】因為為連續(xù)的三個正整數(shù)，且，可得，所以；又因為已知，所以.由余弦定理可得，則由可得，聯(lián)立，得，解得或（舍去），則，.故由正弦定理可得，.故應(yīng)選D.9設(shè),“”是“ ”的 ( )A充分條件但不是必要條件 B必要條件但不是充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要的條件 【測量目標(biāo)】充要條件的判斷，不等式的證明.【考查方式】首先需判斷條件能否推得結(jié)論，然后需判斷結(jié)論能否推得條件.【參考答案】A【試題解析】時，而（當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時等號成立），故；但當(dāng)取,顯然有,但,即由不可以推得；綜上，是的充分不必要條件,應(yīng)選A. 10如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 ( )A BC D 【測量目標(biāo)】古典概型的應(yīng)用以及觀察推理的能力.【考查方式】求解陰影部分的面積，將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來求解.【參考答案】C【試題解析】如下圖所示，設(shè)的中點為，的中點為，半圓與半圓的交點分別為，則四邊形是正方形.不妨設(shè)扇形的半徑為，記兩塊白色區(qū)域的面積分別為，兩塊陰影部分的面積分別為.則, 而，即, 由-，得.又由圖象觀察可知，.故由幾何概型概率公式可得，此點取自陰影部分的概率：.故選C.二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分. 請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上. 答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.11一支田徑運動隊有男運動員56人，女運動員42人. 現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運動員有8人，則抽取的女運動員有 人 【測量目標(biāo)】分層抽樣的應(yīng)用. 【考查方式】分層抽樣在生活中的應(yīng)用.分層抽樣時，各樣本抽取的比例應(yīng)該是一樣的，即為抽樣比. 【參考答案】6【試題解析】 設(shè)抽取的女運動員的人數(shù)為，則根據(jù)分層抽樣的特性，有，解得.故抽取的女運動員為6人.12若（，為實數(shù)，為虛數(shù)單位），則 .【測量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.【考察方式】通過考查復(fù)數(shù)相等來判斷學(xué)生對復(fù)數(shù)的掌握.【參考答案】3【試題解析】因為，所以.又因為都為實數(shù)，故由復(fù)數(shù)的相等的充要條件得解得所以.13已知向量，則（）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為 ； （）向量與向量夾角的余弦值為 .【測量目標(biāo)】單位向量的概念，平面向量的坐標(biāo)運算，向量的數(shù)量積運算等.【考查方式】給出兩個向量，利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積來運算求值.【參考答案】（）；（）【試題解析】（）由，得.設(shè)與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標(biāo)為.（）由，得.設(shè)向量與向量的夾角為，則.14若變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是 .【測量目標(biāo)】二元線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最小值.【考查方式】給出約束條件，判斷可行域，利用可行域求解. 【參考答案】2【試題解析】作出不等式組所表示的可行域(如下圖的及其內(nèi)部）,目標(biāo)函數(shù)在的三個端點處取的值分別為13,3,2，比較可得目標(biāo)函數(shù)的最小值為2.15已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 .【測量目標(biāo)】考查圓柱的三視圖的識別，圓柱的體積.【考查方式】在生活中要多多觀察身邊的實物都是由什么幾何形體構(gòu)成的，以及它們的三視圖的畫法. 【參考答案】【試題解析】由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個相同的圓柱（底面圓半徑為2，高為1）與中間一個圓柱（底面圓半徑為1，高為4）組合而成，故該幾何體的體積是.16閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果 . 【測量目標(biāo)】順序結(jié)構(gòu)框圖和判斷結(jié)構(gòu)框圖的執(zhí)行求解.【考查方式】對于循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出問題，一步一步按規(guī)律寫程序結(jié)果.【參考答案】9【試題解析】由程序框圖可知：第一次:,滿足判斷條件;第二次,滿足判斷條件第三次:,此時不滿足判斷條件，故終止運行，輸出的值.綜上，輸出的值為9.1063117傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù). 他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：第17題圖將三角形數(shù)1，3，6，10，記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列. 可以推測：（）是數(shù)列中的第_項；（）_.（用k表示）【測量目標(biāo)】數(shù)學(xué)歸納法.【考查方式】本題考查歸納推理，猜想的能力.【參考答案】（）5030；（）【試題解析】易知，寫出數(shù)列的若干項依次為：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,120,190,210，故.同理，.從而由上述規(guī)律可猜想：，（為正整數(shù)）.故,即是數(shù)列中的第5030項.三、解答題：本大題共5小題，共65分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù),的圖象關(guān)于直線對稱，其中為常數(shù)，且 （）求函數(shù)的最小正周期； （）若的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)的值域. 【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的圖象的周期性，值域，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.【考查方式】給出函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最小值和周期.【試題解析】解：（）因為. 由直線是圖象的一條對稱軸，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的圖象過點，得，即，即. 故，函數(shù)的值域為. 19（本小題滿分12分）A2B2C2D2CBADA1B1C1D1第19題圖某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱. （）證明：直線平面； （）現(xiàn)需要對該零部件表面進(jìn)行防腐處理. 已知， ，（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？ 【測量目標(biāo)】線面垂直，空間幾何體的表面積；考查空間想象，運算求解以及轉(zhuǎn)化與劃歸的能力.【考查方式】通過線線垂直證明面面垂直，并用公式求體積【試題解析】解：（）因為四棱柱的側(cè)面是全等的矩形，所以，. 又因為，所以平面ABCD. 連接BD，因為平面ABCD，所以.因為底面ABCD是正方形，所以 根據(jù)棱臺的定義可知，BD與B1 D1共面. 又已知平面ABCD平面，且平面平面，平面平面，所以B1 D1BD. 于是由，B1 D1BD，可得，.又因為，所以平面. （）因為四棱柱的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，所以.又因為四棱臺的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，所以. 于是該實心零部件的表面積為，故所需加工處理費為（元）. 20（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為.（）求等差數(shù)列的通項公式；（）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【測量目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的通項，求和等.【考查方式】考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運算求解的能力.求等差數(shù)列的通項一般利用通項公式求解；有時需要利用等差數(shù)列的定義：（為常數(shù)）或等比數(shù)列的定義：（為常數(shù)，）來判斷該數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后再求解通項；有些數(shù)列本身不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但它含有無數(shù)項卻是等差數(shù)列或等比數(shù)列，這時求通項或求和都需要分段討論.【試題解析】解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得，或.故，或. （）當(dāng)時，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.故 記數(shù)列的前項和為.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時， . 當(dāng)時，滿足此式.綜上， .21（本小題滿分14分）設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當(dāng)點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標(biāo)； （）過原點斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，且它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【測量目標(biāo)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【考查方式】考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運算求解的能力.本題是一個橢圓模型，求解標(biāo)準(zhǔn)方程時注意對焦點的位置分類討論.【試題解析】解：（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因為點在單位圓上運動，所以 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因為，所以當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為，. （），設(shè)，則，因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點共線，所以，即. 于是由式可得.而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有. 22（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù),，為正整數(shù)，a，b為常數(shù). 曲線在處的切線方程為.（）求a，b的值；（）求函數(shù)的最大值；（）證明：.【測量目標(biāo)】函數(shù)