數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)暨若干經(jīng)典問題和算法.doc

一、迭代法 迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行： （1）選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0； （2）將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0； （3）當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。 若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來(lái)的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為： 【算法】迭代法求方程的根 x0=初始近似根； do x1=x0； x0=g(x1)；/*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/ while(fabs(x0-x1)Epsilon)； printf(“方程的近似根是%fn”，x0)； 迭代算法也常用于求方程組的根，令 X=（x0，x1，xn-1） 設(shè)方程組為： xi=gi(X)(I=0，1，n-1) 則求方程組根的迭代算法可描述如下： 【算法】迭代法求方程組的根 for(i=0;in;i+) xi=初始近似根; do for(i=0;in;i+) yi=xi; for(i=0;in;i+) xi=gi(X); for(delta=0.0,i=0;idelta)delta=fabs(yi-xi)； while(deltaEpsilon)； for(i=0;in;i+) printf(“變量x%d的近似根是%f”，I，xi)； printf(“n”)； 具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況： （1）如果方程無(wú)解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制； （2）方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。 二、窮舉搜索法 窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。 【問題】將A、B、C、D、E、F這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取1，6上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。 程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。 【程序1】 #include voidmain() inta,b,c,d,e,f; for(a=1;a=6;a+) for(b=1;b=6;b+) if(b=a)continue; for(c=1;c=6;c+) if(c=a)|(c=b)continue; for(d=1;d=6;d+) if(d=a)|(d=b)|(d=c)continue; for(e=1;e=6;e+) if(e=a)|(e=b)|(e=c)|(e=d)continue; f=21-(a+b+c+d+e); if(a+b+c=c+d+e)&(a+b+c=e+f+a) printf(“%6d,a); printf(“%4d%4d”,b,f); printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e); scanf(“%*c”); 按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9個(gè)變量排成三角形，每條邊有4個(gè)變量的情況，程序的循環(huán)重?cái)?shù)就要相應(yīng)改變。 對(duì)一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個(gè)排列看作一個(gè)長(zhǎng)整數(shù)，則所有排列對(duì)應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個(gè)整數(shù)，從對(duì)應(yīng)最小的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個(gè)排列對(duì)應(yīng)的每個(gè)整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個(gè)排列找出對(duì)應(yīng)數(shù)列的下一個(gè)排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)整數(shù)為124653。要尋找比長(zhǎng)整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一個(gè)數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個(gè)數(shù)字比它前一個(gè)數(shù)字大時(shí)，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說(shuō)明還有對(duì)應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個(gè)排列。為了得到排列124653的下一個(gè)排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個(gè)數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考察過程中第一個(gè)比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)最小整數(shù)的那個(gè)排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個(gè)排列。按以上想法編寫的程序如下。 【程序2】 #include #defineSIDE_N3 #defineLENGTH3 #defineVARIABLES6 intA,B,C,D,E,F; int*pt=&A,&B,&C,&D,&E,&F; int*sideSIDE_NLENGTH=&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A; intside_totalSIDE_N; main inti,j,t,equal; for(j=0;jVARIABLES;j+) *ptj=j+1; while(1) for(i=0;iSIDE_N;i+) for(t=j=0;jLENGTH;j+) t+=*sideij; side_totali=t; for(equal=1,i=0;equal&iSIDE_N-1;i+) if(side_totali!=side_totali+1equal=0; if(equal) for(i=1;i0;j-) if(*ptj*ptj-1)break; if(j=0)break; for(i=VARIABLES-1;i=j;i-) if(*pti*pti-1)break; t=*ptj-1;*ptj-1=*pti;*pti=t; for(i=VARIABLES-1;ij;i-,j+) t=*ptj;*ptj=*pti;*pti=t; 從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來(lái)確定所有的候選解。下面再用一個(gè)示例來(lái)加以說(shuō)明。 【問題】背包問題 問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。 設(shè)n個(gè)物品的重量和價(jià)值分別存儲(chǔ)于數(shù)組w和v中，限制重量為tw。考慮一個(gè)n元組（x0，x1，xn-1），其中xi=0表示第i個(gè)物品沒有選取，而xi=1則表示第i個(gè)物品被選取。顯然這個(gè)n元組等價(jià)于一個(gè)選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。 顯然，每個(gè)分量取值為0或1的n元組的個(gè)數(shù)共為2n個(gè)。而每個(gè)n元組其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為02n-1。因此，如果把02n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個(gè)n元組。 【算法】 maxv=0; for(i=0;i2n;i+) B0.n-1=0; 把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲(chǔ)于數(shù)組B中; temp_w=0; temp_v=0; for(j=0;jn;j+) if(Bj=1) temp_w=temp_w+wj; temp_v=temp_v+vj; if(temp_wmaxv) maxv=temp_v; 保存該B數(shù)組； 三、遞推法 遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時(shí)，解或?yàn)橐阎?，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。 【問題】階乘計(jì)算 問題描述：編寫程序，對(duì)給定的n（n100），計(jì)算并輸出k的階乘k！（k=1，2，n）的全部有效數(shù)字。 由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a存儲(chǔ)： N=am10m-1+am-110m-2+a2101+a1100 并用a0存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)N的位數(shù)m，即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為： 3021 首元素3表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè)3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。 計(jì)算階乘k！可采用對(duì)已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計(jì)算5！，可對(duì)原來(lái)的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。 #include #include #defineMAXN1000 voidpnext(inta,intk) int*b,m=a0,i,j,r,carry; b=(int*)malloc(sizeof(int)*(m+1); for(i=1;i=m;i+)bi=ai; for(j=1;j=k;j+) for(carry=0,i=1;i=m;i+) r=(i0;i-) printf(“%d”,ai); printf(“nn”); voidmain() intaMAXN,n,k; printf(“Enterthenumbern:“); scanf(“%d”,&n); a0=1; a1=1; write(a,1); for(k=2;k1時(shí)）。 寫成遞歸函數(shù)有： intfib(intn) if(n=0)return0; if(n=1)return1; if(n1)returnfib(n-1)+fib(n-2); 遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡(jiǎn)單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說(shuō)，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。 在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。 在編寫遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問題”層時(shí)，原來(lái)層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來(lái)。在一系列“簡(jiǎn)單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。 由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)。 【問題】組合問題 問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：（1）5、4、3（2）5、4、2（3）5、4、1 （4）5、3、2（5）5、3、1（6）5、2、1 （7）4、3、2（8）4、3、1（9）4、2、1 （10）3、2、1 分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來(lái)考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為voidcomb(intm,intk)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在ak中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。 【程序】 #include #defineMAXN100 intaMAXN; voidcomb(intm,intk) inti,j; for(i=m;i=k;i-) ak=i; if(k1) comb(i-1,k-1); else for(j=a0;j0;j-) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); voidmain() a0=3; comb(5,3); 【問題】背包問題 問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。 設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無(wú)意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。 對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能： （1）考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會(huì)超過方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。 （2）考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。 按以上思想寫出遞歸算法如下： try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv) /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/ if(包含物品i是可以接受的) 將物品i包含在當(dāng)前方案中； if(in-1) try(i+1,tw+物品i的重量,tv); else /*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负?，以它作為最佳方?/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存; 恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)； /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/ if(不包含物品i僅是可男考慮的) if(in-1) try(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值)； else /*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存; 為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見表： 物品0123 重量5321 價(jià)值4431 五、回溯法 回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。 1、回溯法的一般描述 可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間E=（x1，x2，xn）xiSi，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且|Si|有限，i=1，2，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個(gè)解。 解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。 我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j（jj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，xj）違反D中僅涉及x1，x2，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會(huì)是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來(lái)的比枚舉法效率更高的算法。 回溯法首先將問題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造： 設(shè)Si中的元素可排成xi(1)，xi(2)，xi(mi-1)，|Si|=mi，i=1，2，n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1)，xi+1(2)，xi+1(mi)，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0in-1，E中n元組（x1，x2，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。 因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、，前綴I元組（x1，x2，xi），直到i=n為止。 在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問題P的一個(gè)解。 【問題】組合問題 問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。 例如n=5，r=3的所有組合為： （1）1、2、3（2）1、2、4（3）1、2、5 （4）1、3、4（5）1、3、5（6）1、4、5 （7）2、3、4（8）2、3、5（9）2、4、5 （10）3、4、5 則該問題的狀態(tài)空間為： E=（x1，x2，x3）xiS，i=1，2，3其中：S=1，2，3，4，5 約束集為：x1x2ai，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大； （2）ai-i=n-r+1。 按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下： 首先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因a2上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a2回溯到a1，這時(shí)，a1=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時(shí)，說(shuō)明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下： 【程序】 #defineMAXN100 intaMAXN; voidcomb(intm,intr) inti,j; i=0; ai=1; do if(ai-i=m-r+1 if(i=r-1) for(j=0;jr;j+) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); ai+; continue; else if(i=0) return; a-i+; while(1) main() comb(5,3); 【問題】填字游戲 問題描述：在33個(gè)方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N10）內(nèi)的某9個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格填一個(gè)整數(shù)，似的所有相鄰兩個(gè)方格內(nèi)的兩個(gè)整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個(gè)要求的各種數(shù)字填法。 可用試探發(fā)找到問題的解，即從第一個(gè)方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個(gè)合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個(gè)合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€(gè)方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個(gè)解，將該解輸出，并調(diào)整第九個(gè)的填入的整數(shù)，尋找下一個(gè)解。 為找到一個(gè)滿足要求的9個(gè)數(shù)的填法，從還未填一個(gè)數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個(gè)整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對(duì)當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個(gè)滿足問題要求的解，將解輸出。 回溯法找一個(gè)解的算法： intm=0,ok=1; intn=8; do if(ok)擴(kuò)展; else調(diào)整; ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性; while(!ok|m!=n)&(m!=0) if(m!=0)輸出解; else輸出無(wú)解報(bào)告； 如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個(gè)解。相應(yīng)的算法如下： 回溯法找全部解的算法： intm=0,ok=1; intn=8; do if(ok) if(m=n) 輸出解； 調(diào)整； else擴(kuò)展; else調(diào)整; ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性; while(m!=0); 為了確保程序能夠終止，調(diào)整時(shí)必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會(huì)再次實(shí)驗(yàn)，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個(gè)被檢驗(yàn)的順序，按這個(gè)順序逐一形成候選者并檢驗(yàn)。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴(kuò)展時(shí)，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時(shí)，找當(dāng)前候選解中下一個(gè)還未被使用過的整數(shù)。將上述擴(kuò)展、調(diào)整、檢驗(yàn)都編寫成程序，細(xì)節(jié)見以下找全部解的程序。 【程序】 #include #defineN12 voidwrite(inta) inti,j; for(i=0;i3;i+) for(j=0;j0;i+) if(m=primesi)return1; for(i=3;i*i=m;) if(m%i=0)return0; i+=2; return1; intcheckmatrix3=-1,0,-1,1,-1,0,-1,1,3,-1, 2,4,-1,3,-1,4,6,-1,5,7,-1; intselectnum(intstart) intj; for(j=start;j=N;j+) if(bj)returnj return0; intcheck(intpos) inti,j; if(pos=0;i+) if(!isprime(apos+aj) return0; return1; intextend(intpos) a+pos=selectnum(1); bapos=0; returnpos; intchange(intpos) intj; while(pos=0&(j=selectnum(apos+1)=0) bapos-=1; if(pos=0) voidmain() inti; for(i=1;i=N;i+) bi=1; find(); 【問題】n皇后問題 問題描述：求出在一個(gè)nn的棋盤上，放置n個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋“皇后”的所有布局。 這是來(lái)源于國(guó)際象棋的一個(gè)問題。皇后可以沿著縱橫和兩條斜線4個(gè)方向相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第4行第3列位置上，則棋盤上凡打“”的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。 12345678 Q 從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。 求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時(shí)配置在第1行，以后改變時(shí)，順次選擇第2行、第3行、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個(gè)合理的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下： 輸入棋盤大小值n； m=0; good=1; do if(good) if(m=n) 輸出解； 改變之，形成下一個(gè)候選解; else擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列； else改變之，形成下一個(gè)候選解； good=檢查當(dāng)前候選解的合理性； while(m!=0); 在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來(lái)困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組（col），值coli表示在棋盤第i列、coli行有一個(gè)皇后。例如：col3=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定col0的初值為0當(dāng)回溯到第0列時(shí)，說(shuō)明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。 為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組： （1）數(shù)組a，ak表示第k行上還沒有皇后； （2）數(shù)組b，bk表示第k列右高左低斜線上沒有皇后； （3）數(shù)組c，ck表示第k列左高右低斜線上沒有皇后； 棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。 初始時(shí)，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個(gè)皇后開始，在第m列colm行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1列時(shí)，在數(shù)組a、b和c中為第m列，colm行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組a、b和c中設(shè)置的關(guān)于第m-1列，colm-1行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m列，colm行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a、b和c對(duì)應(yīng)位置的值都為1來(lái)確定。細(xì)節(jié)見以下程序： 【程序】 #include #include #defineMAXN20 intn,m,good; intcolMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1; voidmain() intj; charawn; printf(“Entern:“);scanf(“%d”,&n); for(j=0;j=n;j+)aj=1; for(j=0;j=2*n;j+)cbj=cj=1; m=1;col1=1;good=1;col0=0; do if(good) if(m=n) printf(“列t行”); for(j=1;j=n;j+) printf(“%3dt%dn”,j,colj); printf(“Enteracharacter(Q/qforexit)!n”); scanf(“%c”,&awn); if(awn=Q|awn=q)exit(0); while(