線性代數(shù)-習(xí)題課-例題.ppt

1 3本章的主要解題方法 1 3 1行列式的計算方法1 用行列式展開式法 計算三 四階行列式常用此方法 例1 3 1計算三階行列式 解用行列式展開式法 按第一行展開 即 例1 3 2計算四階行列式 對四階及四階以上的行列式 計算它的最基本的方法也是用行列式展開式 即按某一行或某一列來展開用該行或該列的所有元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和 一般選擇含零元素較多的那一行或那一列 解方法一按行展開式法 按第一行來展開 即 方法二按列展開式法 按第一列來展開 即 可見 行列式按某一行或某一列來展開 只要計算正確 結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的 一般情況下總是選取含零元素較多的那一行或那一列來展開 這樣計算比較簡單方便 例1 3 3計算五階行列式 解用行 列展開式法 即行展開 列展開綜合使用的方法 即選取含零元素較多的那一行或那一列來展開 得 上面最后一個三階行列式的計算 當(dāng)然可以用行列式的展開式法來計算 但是 我們注意到這個三階行列式的第一行與第三行的元素相同 由行列式的性質(zhì)2可知 這個三階行列式的值為零 這是利用行列式的性質(zhì)得到的結(jié)果 也是一種行列式的重要計算法 2 用行列式性質(zhì)法 1 化上三角法上 下 三角行列式的計算是比較容易的 其值等于主對角線所有元素的乘積 所以 利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上 下 三角行列式 是計算行列式時經(jīng)常使用的一種方法 而且 將所求的行列式化為上 下 三角行列式的過程是這幾條性質(zhì)綜合運用的結(jié)果 其中最重要的是性質(zhì)7的靈活運用 以化為上三角行列式為例 首先將主對角線下方第一列 的元素全部化為零 然后依次將主對角線下的第二列 第三列 直到第n 1列元素化為零 一般情況下 為了避免分?jǐn)?shù)運算 應(yīng)先將主對角線元素變成1或 1 例1 3 4計算行列式 解用化上三角法 在計算中 分?jǐn)?shù)運算總是比較麻煩的 所以 如果行列式中含有分?jǐn)?shù)元素 利用性質(zhì)5每行先提取公因子 然后進(jìn)行整數(shù)運算比較簡便 即 例1 3 5計算行列式 解用化上三角法 這個三階行列式中各元素的數(shù)字都比較大 直接用行列式的展開式法計算肯定是很麻煩的 但我們觀察到 第二列的諸元素與第三列的相應(yīng)元素恰好相差100 2 造零降階法用行列式性質(zhì)使其行列式中的零元素增多 然后按零元素較多的那一行或那一列來展開 使其降階 再反復(fù)利用這種方法 直至降到三階或二階行列式 最后直接計算 這種方法稱為造零降階法 例1 3 6計算三階行列式 解用造零降階法 這是一個帶有參數(shù)的三階行列式 一般容易考慮用行列式的展開式法 但要分解為一次因式的乘積有時就比較麻煩 在這種情況下 用造零降階法去計算行列式比較好 有 例1 3 7計算四階行列式 解用造零降階法 即 3 用遞推公式或加 邊 法 計算n階行列式 例1 3 8計算n階行列式 解方法一用遞推公式法 把第一列的各個元素分別寫成兩個元素的和 利用行列式性質(zhì)6可得到 把上式中后一個n階行列式的第一行乘以 1分別加至第二行 第三行 第n行 于是得 故得到遞推公式 n 1 2 利用遞推公式 依次類推得 所以 方法二用加 邊 法 將添加一行一列 但使其值不變 即 將此行列式的第一行乘以 1分別加至各行 得 當(dāng)x a時 計算有 當(dāng)時 第二行至第n 1行分別乘以加至第一行 得 這是一個下三角行列式 所以 總而言之 不管x a 還是 都有 方法三用化上三角形法 將第一行乘以 1 分別加到第二至第n行 得 將上述行列式的第二列至第n列都加到第一列 有 方法四用行列式性質(zhì)法 將第二行至第n行都加到第一行 得 將上述行列式的第一行乘以 a 分別加到第二行至第n行 有 由此例可見 計算行列式的方法很多 也很靈活 要掌握行列式的計算方法 應(yīng)加強(qiáng)練習(xí) 在練習(xí)中總結(jié)經(jīng)驗和方法 1 3 2用克拉默法則求解線性方程組的方法例1 3 9k取什么值時 下面方程組有惟一解 有唯一解時求出解 解這是三個未知量三個方程的線性方程組 由克拉默法則知 當(dāng)系數(shù)行列式時 方程組有唯一解 由 知 當(dāng)時 即當(dāng)且時 線性方程組有惟一解 計算 于是 當(dāng)且時 線性方程組有惟一解 其解為 問 在本題中 k取什么值時 方程組無解 1 4本章的自測題 一 填空題1 非零元素只有n 1個的n階行列式的值等于 參考答案 2 參考答案 3 參考答案 4 參考答案 5 n階行列式中元素的代數(shù)余子式與余子式之間的關(guān)系是 按第j列展開的公式是 參考答案 6 參考答案 18 7 中a的代數(shù)余子式為 參考答案 二 單項選擇題 1 的解為 A B C D 參考答案 2 若 則 A 2 B 2 C 0 D 3 參考答案 3 是按 展開的 A 第2列 B 第2行 C 第1列 D 第1行 參考答案 4 設(shè)則下式中 是正確的 A B C D 參考答案 5 的的代數(shù)余子式的值為 A 3 B 3 C 5 D 5 參考答案 三 是非題 1 參考答案 2 參考答案 3 參考答案 4 參考答案 5 n階行列式中元素的代數(shù)余子式為n 1行列式 參考答案 7 參考答案