壓軸題中路徑最值問題.doc

路徑最值問題1、如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。（1）求該拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng)PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。（3）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。2、 如圖，已知拋物線yax 2bxc與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)OyxABC3、 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為,與軸交于、兩點(diǎn)(在點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)、關(guān)于直線:對(duì)稱.（1）求、兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)在直線上;（2）求二次函數(shù)解析式;（3）過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn),、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接、,求和的最小值.圖11備用圖4、如圖13，拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點(diǎn)為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.若存在，求出這個(gè)最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作直線MNBD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使DNMBMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.路徑最值問題1、如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。（1）求該拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng)PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。（3）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入得，解得 拋物線的解折式為；（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為，即E點(diǎn)的坐標(biāo)（） 又點(diǎn)E在直線上解得（舍去），E的坐標(biāo)為（4，3）；（）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP1DE交x軸于P1點(diǎn)，設(shè)P1（a，0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）由RtAODRtPOA得即，a=，P1（，0）；（）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；（）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EFx軸于F，設(shè)P3（b、3）由OPA+FPE=90，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE由得，解得，此時(shí)的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；（）拋物線的對(duì)稱軸為，B、C關(guān)于對(duì)稱，MC=MB，要使最大，即是使最大，由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)的值最大，易知直線AB的解折式為y=-x+1，由得， M。2、 如圖，已知拋物線yax 2bxc與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)OyxABC解：（1）根據(jù)題意，c=3所以 解得 所以拋物線解析式為。（3）如圖，由題意，可得M（0，）點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M（0，-）點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A（6，3），連結(jié)AM根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，AM的長(zhǎng)就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng)所以AM與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)可求得直線AM的解析式為y=可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）由勾股定理可求出AM=所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑（ME+EF+FA）的長(zhǎng)為。3、 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為,與軸交于、兩點(diǎn)(在點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)、關(guān)于直線:對(duì)稱.（1）求、兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)在直線上;（2）求二次函數(shù)解析式;（3）過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn),、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接、,求和的最小值.圖11備用圖解：（1）依題意，得ax2+2ax-3a=0（a0），解得x1=3，x2=1，B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），證明：直線l：，當(dāng)x=3時(shí)， 點(diǎn)A在直線l上；（2）點(diǎn)H、B關(guān)于過A點(diǎn)的直線l：對(duì)稱，AH=AB=4，過頂點(diǎn)H作HCAB交AB于C點(diǎn)，則，頂點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式，解得，二次函數(shù)解析式為，（3）直線AH的解析式為，直線BK的解析式為，由，解得，即，則BK=4，點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，HN+MN的最小值是MB，過點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，則QM=MK，AEQK，BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ=90，由勾股定理得QB=8，HN+NM+MK的最小值為8，4、如圖13，拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點(diǎn)為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）。（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.若存在，求出這個(gè)最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作直線MNBD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使DNMBMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：，依題意，將點(diǎn)B（3，0）代入，得：解得：a1所求拋物線的解析式為：（2）如圖6，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HFHI設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：ykxb（k0），點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，將x2代入拋物線，得點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）又拋物線圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B、D當(dāng)y0時(shí)，x1或x3當(dāng)x0時(shí)，y143,點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（0，3）又拋物線的對(duì)稱軸為：直線x1，點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，GDGE分別將點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)E（2，3）代入ykxb，得：解得：過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：yx1 當(dāng)x0時(shí)，y1點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）=2又點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，1）又要使四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小，由于DF是一個(gè)定值，只要使DGGHHI最小即可由圖形的對(duì)稱性和、，可知，DGGHHFEGGHHI只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EGGHHI最小設(shè)過E（2，3）、I（0，1）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：，分別將點(diǎn)E（2，3）、點(diǎn)I（0，1）代入，得：解得：過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y2x1當(dāng)x1時(shí)，y1；當(dāng)y0時(shí)，x；點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（，0）四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為：DFDGGHHFDFEI由和，可知： DFEI 四邊形DF