《高等數學》教案.pdf

安徽水利水電職業(yè)技術學院安徽水利水電職業(yè)技術學院 高等數學 教案 高等數學 教案 課 程 高等數學 系 部 基 礎 部 教 研 室 數 學 第第 1 章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 1 1 函數函數 教學目的 教學目的 使學生弄清集合的基本概念 集合的表示方法 全集與空集及集合間的關系 集合的運算 弄清無限區(qū)間與有限區(qū)間 理解區(qū)間的真正含義 理解函數的概念 會求函數的定義 域 弄清函數的幾種特性及反函數的概念 重點與難點 重點與難點 函數概念 求函數的定義域 鄰域概念 教學方法 教學方法 復習總結式 教教 學學 過過 程程 一 集合 區(qū)間及鄰域概念 集合的基本概念 集合的表示方法 幾種特殊的集合 集合間的關系 與集合的運算 區(qū)間的概念 有限區(qū)間與無限區(qū)間 開區(qū)間 閉區(qū)間 半開半閉區(qū)間 鄰域概 念 實心鄰域與空心鄰域 二 常量與變量 常量與變量的概念 三 函數概念 四 1 函數的定義 設 x 和 y 是兩個變量 D 是一個給定的數集 若對于每個數 x D 變量 y 按照 一定法則總有確定的數值和它對應 則稱 y 是 x 的函數 記為 y f x 數集 D 稱為定義域 x 稱 為自變量 y 稱為因變量 2 函數的表示方法 3 函數兩個基本要素 4 函數的定義域及求法 5 函數舉例 五 函數的幾種特性 1 函數的有界性 定義與幾何解釋 2 函數的單調性 定義與幾何解釋 3 函數的奇偶性 定義與幾何解釋 4 函數的周期性 定義與幾何解釋 六 反函數 反函數的概念 求法及其間的相互關系 七 例題與作業(yè) 習題 1 1 八 小結 函數的兩個基本要素非常重要 務必使學生會求函數的定義域 弄清函數的特性 1 2 初等函數初等函數 教學目的 教學目的 使學熟練掌握基本初等函數理解復合函數的概念 初等函數 了解雙曲函數與反雙曲函 數 與會建立某些函數關系式 重點與難點 重點與難點 復合函數的概念 函數關系式的建立 教學方法 教學方法 啟發(fā)與練習相結合 教教 學學 過過 程程 一 基本初等函數 常用基本初等函數的簡要回顧 二 復合函數 1 定義 設 y f u 是數集 B 上的函數 又 u x 是由數集 A 到數集 B 的函數 則 對于每一 x A 通過 u 都有確定的 y 與之對應 這時在數集 A 上 y 是 x 的函數 這個函數稱 為數集 A 上的由函數 y f u 與 u x 復合而成的函數 簡稱復合函數 記為 y f x 其中 u 稱為中間變量 A 是復合函數的定義域 2 注意 不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數 1 x lg 1y 2 x1y 1 3 2 過程和定義域指出下列各函數的復合 例題 4 課堂練習 三 初等函數 1 定義 2 例題與練習 四 雙曲函數與反雙曲函數 概念 五 函數關系式的建立舉例 六 例題與作業(yè) 習題 1 2 七 小結 學生要真正認清復合函數的復合層次 這點極為重要 1 3 數列的極限數列的極限 教學目的 教學目的 使學生了解數列極限的 N 定義 理解數列極限的含義及幾何解釋 了解收斂數 列的若干性質 重點與難點 重點與難點 數列極限的定義 教學方法 教學方法 誘啟式 教教 學學 過過 程程 一 引例 劉徽 九章算術 中的割圓術 結合教材中的例題 讓學生觀察 二 數列極限的定義 1 描述性語句 嚴格定義 N 定義 2 幾點說明 1 的任意性 N 的相應性 3 數列極限的幾何解釋 三 數列極限的舉例 教材中的例 1 例 2 例 3 四 收斂數列的性質 唯一性 有界性等 五 例題與作業(yè) 習題 1 3 六 小結 數列極限的 N 定義較抽象 不要求學生掌握 但對于培養(yǎng)學生的理解能力大有 裨益 1 4 函數的極限函數的極限 教學目的 教學目的 使學生了解函數極限的嚴格定義 弄清其含義及幾何解釋 了解函數極限的若干性質 重點與難點 重點與難點 函數極限的定義 函數極限的幾何解釋 單側極限的概念 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 自變量趨于無窮大時函數的極限 1 引例 考察當的變化趨勢 時 x 1 f x x 2 定義 描述性語言 嚴格定義 X 3 幾何解釋 4 的極限 f x x x時 5 三者間的關系 定理 AxfxfAxf xxx lim lim lim 2 二 自變量趨于有限值時函數的極限 1 引例 考察當 1 x 1 x f x 1 xf x 1 2 時 x的變化趨勢 2 定義 描述性語言 嚴格定義 3 幾何解釋 y 4 的左右極限 00 xfxxxx 5 三者間的關系 定理 AxfxfAxf xxxxxx lim lim lim 00 0 6 例題 見教材 三 函數極限的性質 局部保號性 局部有界性等 四 例題與作業(yè) 例題 習題 1 4 1 1 2 1 作業(yè) 1 五 小結 學生雖不必掌握函數極限的嚴格定義 但可通過幾何圖形來理解概念 1 5 無窮小與無窮大無窮小與無窮大 教學目的 教學目的 使學生理解無窮小與無窮大概念的含義 了解函數 極限 無窮小三者間的關系 無窮 小與無窮大間的關系 重點與難點 重點與難點 無窮小與無窮大的概念 教學方法 教學方法 復習誘啟式 教具 教具 彩色粉筆 教教 學學 過過 程程 一 無窮小 1 引例 2 定義 3 關于無窮小的幾點說明 4 無窮小與函數極限間的關系 定理 在自變量的同一變化過程中 具有極限的函數等于它的極限與一個無窮小之和 反之 若函數 可表示為常數與無窮小之和 則該常數就是這函數的極限 二 無窮大 1 引例 2 定義 3 關于無窮大的幾點說明 4 無窮大與無窮小間的關系 定理 在自變量的同一變化過程中 若f x 為無窮大 則 無窮大 則為無窮小 且為無窮小 反之 若 f x 1 0 f x f x 1 xf 三 例題與作業(yè) 習題 1 5 四 小結 學生要弄清無窮小與無窮大這兩個概念的真正含義 掌握無窮小與無窮大之間的相互關 系 1 6 極限運算法則極限運算法則 3 教學目的 教學目的 使學生掌握極限運算法則 會使用之熟練求極限 重點與難點 重點與難點 極限運算法則 求極限問題 教學方法 教學方法 講解練習式 教具 教具 彩色粉筆 教教 學學 過過 程程 一 無窮小的性質 1 有限個無窮小的和仍是無窮小 2 有界函數與無窮小的積仍是無窮小 3 推論 常數與無窮小的積是無窮小 有限個無窮小的積仍是無窮小 二 極限的四則運算法則 若g x lim f x 1 lim lim 則BxgAxf 推論若可加以推廣 B Alimg x limf x g x lim f x B Alimg x limf x nn Alim f x nA limf x CA lim Cf x C A limf x 是正整數 則若為常數 則2 若 B A limg x limf x g x f x lim 0B Blimg x A limf x 則且 上述定理對數列極限同樣適用 三 例題 見教材 四 小結與作業(yè) 習題 1 6 五 學生要熟練掌握無窮小的性質 函數極限的運算性質 1 7 極限存在準則 兩個重要極限極限存在準則 兩個重要極限 教學目的 教學目的 使學生掌握兩個重要極限公式 求函數的極限 重點與難點 重點與難點 兩個重要極限公式的使用 教學方法 教學方法 講練結合式 教教 學學 過過 程程 一 夾逼準則 準則 1 如果數列 nnn xy 1 zzyx nnn 滿足以下條件 axlim x alimylim 2 1 2 3 n n n nn n n n 且的極限存在 則數列z 準則 成立 時 有或當如果h x f x g x M x v xUx 1 1 0 0 y 2 Af x lim A h x limg x lim x 0 x 0 x 0 xxxxxx 則 二 利用夾逼準則推導 1 公式 1 sin lim 0 x x x 2 例題 三 準則 2 單調有界數列必有極限 推導公式e x x x 1 1 lim等價式ex x x 1 0 1 lim 4 四 利用公式e x x x 1 1 lim 求極限舉例 見教材 七 例題與作業(yè) 習題 1 7 八 小結 兩個重要極限公式對于求某些函數極限非常重要 務必使學生熟練掌握 特別是公式的 靈活運用 1 8 無窮小的比較無窮小的比較 教學目的 教學目的 使學生掌握無窮小的比較 會利用等價無窮小求極限 重點與難點 重點與難點 無窮小階的比較 利用等價無窮小求極限 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 無窮小階的比較概念 1 定義 2 例題 見教材 二 定理 1 是與 等價無窮小的充要條件是 0 2 設 limlim lim 存在 則且 三 例題與練習 教材例題及習題 1 8 四 小結 無窮小階的比較概念 使學生會利用等價無窮小求函數的極限 1 9 函數的連續(xù)性與間斷點函數的連續(xù)性與間斷點 教學目的 教學目的 使學生理解函數的連續(xù)性概念及間斷點概念 重點與難點 重點與難點 函數的連續(xù)性與間斷點 教學方法 教學方法 誘啟練習相結合 教教 學學 過過 程程 一 函數的連續(xù)性 1 函數的增量概念 1 定義 設變量 U 從它的一個初值 記為的增量稱為變量 則終值與初值之差變到終值 U UUU UU 12 21 即 2 幾何解釋見圖 12 UUU 2 函數 y f x 在點的連續(xù)性 0 x 1 利用增量定義 設函數 y f x 在點的某一鄰域內有定義 如果當自變量的增量 0 x 左右連續(xù)的概念 定義 利用 點連續(xù) 在點則稱函數 式 及鄰域有定義 若有下在設改寫定義 連續(xù) 在點 則稱也趨于 時 對應的函數的增量趨于 4 3 xf x f xf x limx f x y 2 x f x y0f x x f xy 0 0 0 xx 0 0 00 0 xxx 5 3 函數 y f x 在區(qū)間內的連續(xù) 1 在開區(qū)間 a b 內的連續(xù) 2 在閉區(qū)間 a b 上的連續(xù) 二 函數的間斷點 1 函數間斷點的概念 若函數 f x 有下列三種情況之一 a 在點沒有定義 b 雖在點有 定義 但 c 雖在點有定義 0 x 0 x 不存在 lim 0 xf xx 0 x 稱為間斷點 點不連續(xù) 點在則稱函數但存在 000 xx xxf x f xf x lim lim 00 xf xx 2 函數間斷點的類型 3 函數間斷點的舉例 見教材 三 例題與習題 習題 1 9 四 小結 函數的連續(xù)性與間斷性概念是非常重要的兩個概念務必使學生真正理解 1 10 連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性 教學目的 教學目的 使學生掌握連續(xù)函數的運算及初等函數的連續(xù)性 重點與難點 重點與難點 連續(xù)函數的運算及初等函數的連續(xù)性 教學方法 教學方法 講練結合式 教教 學學 過過 程程 一 連續(xù)函數的和差 積商的連續(xù)性 定理 二 反函數與復合函數的連續(xù)性 1 定理 2 例題 三 初等函數的連續(xù)性 1 重要結論 一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的 2 例題 求 下列極限 1 4x 3 5x lim 3sinx ln lim 2 1lim 4x 2 x 2 0 x xx 4 x 1a lim 6 x x 1log lim 5 sin5x 24x lim x 0 x a 0 x0 x 四 例題與作業(yè) 習題 1 10 五 小結 學生要掌握初等函數的連續(xù)性 記住一切初等函數在其定義區(qū)間內均連續(xù)這一重要結論 對于分段函數特別要注意分段點的討論 本本 章章 小小 結結 1 本章主要內容為 函數的定義 基本初等函數 復合函數與初等函數的概念 數列極限與函數極 限的定義 極限的運算法則 無窮小與無窮大的概念 兩個重要極限 函數的點 連續(xù)與區(qū)間連續(xù)的概念 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 2 幾個常用的基本極限 的常數為常數 0 0 x 1 lim 3 xxlim 2 C CClim 1 x 0 xx x x x 00 6 mn mn 0 mn b a bxbxb axaxa lim 6 e x 1 1lim 5 1 x sinx lim 4 0 0 n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 0 xx0 x 出的有關概念間時函數的極限與由此引和 xxx 0 處有增量在當自變量的某一鄰域內有定義 在點設xxxx y 1 00 xf 利用導數定義求導舉例 導數 導函數簡稱式的改寫式 導數定義明 關于導數定義的幾點說 或 或記作 的導數 記為在點存在 則稱該極限值為 若有 函數的增量 3 b a 2 dx df x dx dy xf yxf x y x f xx f x lim x y lim f xx f xy 00 0 xxxx0 xx0 00 00 x 00 Lxf x y 2 0 的曲線的導數等于函數所表示在點函數 導數的幾何意義 的斜率 在相應點 y x 00 3 列出了當的聯(lián)系 第第 2 章章 導數與微分導數與微分 2 1 導數的概念導數的概念 教學目的 教學目的 使學生理解導數概念 弄清導數的幾何意義及函數的可導性與連續(xù)性間的關系 重點與難點 重點與難點 導數的概念 導數的幾何意義 可導與連續(xù)的關系 教學方法 教學方法 啟發(fā)誘導式 教教 學學 過過 程程 一 引例 1 變速直線運動的速度 2 平面曲線的切線的斜率 二 導數定義 時 相應 三 1 曲線的切線定義 圖示 四 數可導性與連續(xù)性之間的關系 對一元函數可導一定連續(xù) 但連續(xù)未必可導 即 連續(xù)是可導的必要條件 可導是連續(xù)的充分條件 五 例題與練習 習題 2 1 六 小結 函數的導數概念非常重要 要使學生理解其真正含義 特別是定義式 2 2 基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式 7 2 3 函數和 差 積 商的求導法則函數和 差 積 商的求導法則 教學目的 教學目的 使學生熟記基本初等函數的導數公式 掌握函數和 差 積 商的求導法則 重點與難點 重點與難點 基本初等函數的導數公式 函數和 差 積 商的求導法則 教學方法 教學方法 講練結合式 教教 學學 過過 程程 一 利用導數定義推導基本初等函數的導數公式 1 常數的導數 0 c 2 1 x x 冪函數的求導公式 3 三角函數的導數公式 1 cosx sinx x sec tanx 3 sinx cosx 2 2 x 1 lnx lnxx 1 xlog 4 cotx cscx cscx 6 secx tanx secx 5 x csc cotx 4 a 2 對數函數的求導公式 2 22 22 x xxx v vuvu v u 3 wuvwvuvwu uvw vuvu uv 2 vu v u 1 v x v u x u x1 1 arccotx 4 x1 1 arctanx 3 x1 1 arccosx 2 x1 1 arcsinx 1 6 e e lnaa a 5 如的情形 可推廣到有限個函數積 形可加以推廣到有限項情 均為可導函數 則有設函數則 函數和差積商的求導法二 反三角函數導數公式 指數函數的導數公式 三 例題與作業(yè) 習題 2 3 四 小結 導數的基本公式 和 差 積 商的求導法則 2 4 反函數的導數與復合函數的求導法則反函數的導數與復合函數的求導法則 教學目的 教學目的 使學生熟練掌握復合函數的求導法則 靈活使用該法則求復合函數的導數 重點與難點 重點與難點 復合函數的求導法 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 反函數的導數 1 定理 2 推導數反三角函數的求導公式 二 復合函數的求導法則 1 定理 復合函數的求導法則 明函數求導法則的幾點說關于復合 或寫成且處也有導數 在點則復合函數 處有導數在對應點函數 處有導數在點如果 2 uyy x u fy dx du du dy dx dy x x f y u f du dy u f u y x dx du x x u xux 8 2 3 x n x 1 sin x2 232 2 x e1 xsin y 9 ey 8 cos eln y 7 xcos 1y 6 tanxy 5 2x1y 4 x1 2x sin y 3 ey 2sinx ln y 1 求下列函數的導數 三 復合函數求導舉例 四 例題與作業(yè) 習題 2 4 五 小結 復合函數的求導法也稱為鏈式求導法 是函數求導的一個極為重要的法則 學生務必要 熟練掌握 2 5 初等函數求導問題初等函數求導問題 2 6 高階導數高階導數 教學目的 教學目的 使學生熟練掌握初等函數的求導問題 會求高階導數 重點與難點 重點與難點 初等函數的求導問題 求高階導數 教學方法 教學方法 總結練習式 教教 學學 過過 程程 一 基本初等函數的求導公式 二 函數和 差 積 商的求導法則 三 復合函數的求導法則 四 高階導數 1 高階導數的概念 2 高階導數求導舉例 階導數的求例 階導數的求例 階導數的求例 的各階導數 求例 求例 nx 1ln y 5 n sinx y 4 n ey 3 0 a axaxay 2 y 1 x 0n 1n 1 n 0 baxy 五 例題與作業(yè) 習題 2 6 六 小結 弄清高階導數的概念 記住幾個較常用的函數的 n 階導數公式 2 7 隱函數的導數及由參數方程所確定的函數的導數隱函數的導數及由參數方程所確定的函數的導數 教學目的 教學目的 使學生會求隱函數的導數及由參數方程所確定的函數的導數 重點與難點 重點與難點 求隱函數的導及由參數方程所確定的函數的導數 教學方法 教學方法 講練結合式 教教 學學 過過 程程 一 隱函數的求導問題 1 隱函數概念 F x y 0 2 隱函數求導舉例 9 3 2 3 2 1 9 y 16 x 3 dx dy 0 xy 03xx2yy 2 dx dy 0exye1 22 0 x 75 y 處的切線方程 在點 求橢圓 例 處的導數在所確定的隱函數 求由方程 例 所確定的隱函數的導數 求由方程例 說明舉例 公式 數的導數由參數方程所確定的函二 的導數 求 例 的導數求 例 對數求導法 3 2 1 4 3 x x 2 1 x x y 5 0 x xy 4 3 sinx 三 例題與作業(yè) 習題 2 7 四 小結 隱函數的求導問題是本章的一個難點 通過例題與練習使學生逐步掌握 2 8 微分的概念微分的概念 教學目的 教學目的 使學生理解微分的概念及與導數間的關系 弄清微分的幾何意義 掌握微分的運算法 則 并會求函數的微分 重點與難點 重點與難點 微分的概念及與導數間的關系 微分的幾何意義及微分的運算法則 求函數的微分 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教具 教具 三角板 彩色粉筆 教教 學學 過過 程程 一 微分的概念 1 引例 一個正方形金屬薄片 當受冷熱影響時 其邊長由 如圖 變到 x x0 0 x 少 問薄片的面積改變了多 dx x fdy dx xx x fdy x f x y x f x y 3 x Ady dy x x f x yxAx f x yxx 0 xA x 0 xAy yxxx x f x y 2 00 00 00 00 0 則有規(guī)定 且有可導 在點函數可微的充要條件是 在點函數定理 即記為的微分 自變量增量 相應于在點稱為函數是可微的 而在點 數的高階無窮小 則稱函是比的常數 而 是不依賴于其中 可表示為 數的增量為該鄰域的點 如果函及 的某鄰域內有定義 在點設函數定義 f x yx f x y 4 0 縱坐標的相應增量 的切線上點的的微分 就是曲線在點函數 微分的幾何意義 二 幾點說明 三 基本初等函數的微分公式與微分運算法則 1 基本初等函數的微分公式 2 微分運算法則 1 函數和 差 積 商的微分法則 2 復合函數的微分法則 一階微分形式不變性 10 3 舉例 已知 y sin 2x 1 求 dy 四 例題與作業(yè) 習題 2 8 2 9 微分的應用微分的應用 教學目的 教學目的 使學生掌握微分在近似計算中的應用 了解微分在誤差估計中的應用 重點與難點 重點與難點 微分在近似計算中的應用 教學方法 教學方法 講練結合式 教教 學學 過過 程程 一 微分在近似計算中的應用 1 計算函數增量的近似值 x x fdy 0 y 要注意條件 相對較小 x 2 計算函數值的近似值 1 計算函數 f x 在點 x n 1 1 x1 x1ex x ln 1x x tanxsinx x 0 x f f 0 f x 0 xf x 2 x x x f f x f x n x 000 幾個常見的近似計算式 相對較小附近的近似值 在點計算函數 相對較小 條件是附近的近似值 xx 二 微分在誤差估計中的應用 1 公式 2 舉例 三 小結與習題 習題 2 9 四 小結 微分在近似計算中的應用 本本 章章 小小 結結 1 本章主要內容為 導數的定義和導數的幾何意義 初等函數的導數公式和求導法則 隱函數的導數 對數求導法 由 參數方程所確定的函數的求導 以及微分的定義和微分的幾何意義 微分的基本公式和微分法則 2 在學習函數微分時 要注意微分有兩個特性 u du fdy 2 0 x x 0 dy yxx x fdy 0 x x f 1 00 即一階微分形式不變性 的線性函數 且是時 當 聯(lián)系 但應注意它們的區(qū)別與 的聯(lián)系 統(tǒng)稱為微分法在計算方法上有著緊密求函數的導數和求微分 3 本章概念和公式較多 以下列出了主要內容之間的聯(lián)系 11 數導數由參數方程所確定的函 求導法則 隱函數 和微分法則基本公式求導法則 微分基本公式導數的復合函數 求導法則 和 差 積 商 線性主部 函數增量的函數微分函數的導數 函數的變化率 微分幾何意義導數幾何意義二階導數 x dx fdy dx dy x f 第第 3 章章 中值定理與導數的應用中值定理與導數的應用 3 1 中值定理中值定理 教學目的 教學目的 使學生了解中值定理 弄清中值定理的條件及結論 明白中值定理的幾何意義 重點與難點 重點與難點 中值定理 教學方法 教學方法 誘啟式 教教 學學 過過 程程 一 羅爾 Rolle 中值定理 1 定理 0 f b a a f b f 3 b a 2 b a 1 f x y 得 使 內至少存在一點則在開區(qū)間 內可導 在開區(qū)間 上連續(xù) 在閉區(qū)間 滿足條件 如果函數 2 幾點說明 3 幾何意義 如果連續(xù)光滑曲線 y f x 在 a b 的兩端點的值相等 且在 a b 內每一點有處 處不垂直于 x 軸的切線 則至少有一條平行于 x 軸的切線 如圖 4 舉例 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 1 定理 a b ff a f b ab f a f b f b a b 2 b a 1 f x y 或寫成 得 使 內至少存在一點則在開區(qū)間 內可導 在開區(qū)間 上連續(xù) 在閉區(qū)間 滿足條件 如果函數 a 2 定理推導 3 幾點說明 4 幾何意義 若連續(xù)曲線 y f x 上的弧除端點外有處處不垂直于 X 軸的切線 則在這段弧上 AB 12 至少存在一點 C 使曲線在 C 點的切線平行于弦 AB 如圖 5 推論 1 與推論 2 6 舉例 三 柯西 Cauchy 中值定理 1 定理 2 幾點說明 四 例題與作業(yè) 習題 3 1 五 小結 微分中值定理是微分學的基本定理 盡管非常重要 但只要求學生作一般了解 3 2 洛比達洛比達 L Hospital 法則法則 教學目的 教學目的 使學生掌握洛比達 L Hospital 法則 求未定式極限 重點與難點 重點與難點 洛比達 L Hospital 法則求未定式極限 教學方法 教學方法 講練結合式 教 學 過 程 一 型未定式 0 0 1 定理 如果 2 在點 都趨于與時 當0g x f x xx1 0 存在 或都存在且的某一鄰域內 x g x f lim 3 0 x g x g x fx 0 xx 0 x 1 arctanx 2 lim sinxx xcosxx lim 8x 42xx lim 1 3 2 x g x f lim g x f x lim x0 x 3 3 xx xxxx 0 0o 求例舉例 幾點說明 且 二 未定式 1 定理 如果 大 都趨于無窮與時 當g x f x xx1 0 2 在點存在 或都存在且的某一鄰域內 x g x f lim 3 0 x g x g x fx 0 xx 0 為 且 x g x f lim g x f x lim 0o xxxx 2 幾點說明 3 舉例 x xln lim 2 x 求 13 三 其它類型未定式 除前面兩種基本的未定式外 四 還有例題型來解決 可轉化為五種類型未定式 0 0 1 0 0 0 0 五 練習與作業(yè) 習題 3 2 六 小結 洛比達法則求極限時一定要注意它的使用條件 未定式 3 3 函數的單調性與極值的判定函數的單調性與極值的判定 教學目的 教學目的 使學生掌握函數的單調性判定 會求函數的極值 重點與難點 重點與難點 函數的單調性判定 求函數的極值 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 函數的單調性 1 單調性概念與圖示說明 2 定 理 設 函 數y f x 在 a b 上 連 續(xù) 在 a b 內 可 導 1 若在 b a x fy 0 x fb a上單調增加 在則函數內 2 上單調減少 在則函數內 若在 b a x fy 0 x fb a x 時 點不取得極值 處取在點則 在點則 0 0 0 0 x f xf x 0 f x 0 x 三 函數極值舉例 的極值 求函數例的極值 求函數例3x x x f 6 x 2 3 x x f 5 3 3 2 四 結與習題 歸納求函數的單調區(qū)間與求函數極值的解題步驟 習題 3 3 3 4 函數的最值及其應用函數的最值及其應用 教學目的 教學目的 使學生掌握函數最值的求法及函數最值的某些應用 重點與難點 重點與難點 函數最值的求法及函數最值的某些應用 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 函數最值的概念 1 概念 2 定理回顧 二 求函數最值的一般步驟 1 求出 f x 在 a b 上的所有駐點和不可導點 2 求出駐點 不可導點及端點的函數值 3 對上述函數值進行比較 其最大者即為最大值 其最小者即為最小值 三 舉例及應用 例 1上的最大值和最小值 在 2 1 1 x1 x x f 32 求 例 2 用一塊寬為 6m 的長方形鐵皮 將寬的兩個邊緣向上折起 做成一個開口水槽 其橫截面積為 矩形 高為 x 問高 x 為何值時水槽流量最大 例 3 橫截面為矩形的梁原強度與矩形高的平方和寬的禾乘積成正比 用直徑為 D 的圓木作矩形梁 問高和寬各為多少時梁的強度最大 15 例 4 設工廠 A 到鐵路的垂直距離為 20 千米 垂足為 B 鐵路線上距離 B 為 100 千米處有一原料供 應站 C 圖示 現(xiàn)在要從鐵路 BC 中間某處 D 修建一個車站 再由車站 D 向工廠 A 修一公路 問 應選處才能使得從原料供應站 C 運貨到工廠 A 所需運費最省 已知 1 千米的鐵路運費與公路運費之 比為 3 5 四 小結與作業(yè) 習題 3 4 3 5 曲線的凹凸性函數圖形的描繪曲線的凹凸性函數圖形的描繪 教學目的 教學目的 使學生掌握函數曲線的凹凸性及函數圖形的描繪 重點與難點 重點與難點 函數曲線的凹凸性及函數圖形的描繪 教學方法 教學方法 講解回顧練習式 教教 學學 過過 程程 一 曲線的凹凸性與拐點 1 定義 設函數 y x 在區(qū)間 a b 內可導 若曲線 y f x 在 a b 上每一點的切線都位于該曲 線的下 上 方 則稱曲線 y x 在區(qū)間 a b 內是凹 凸 的 如圖 2 定理 b a x f y 0 x f b a 2 b a x fy0 x f b a 1 b a x y 內是凸的 在則曲線內 在若內是凹的 在 則曲線 內 若在內具有二階導數 在區(qū)間設 稱為曲線的拐點 曲線凹凸部分的分界點 區(qū)間 結論也成立 定理中的區(qū)間改為無窮 說明 2 1 3 的凹凸區(qū)間及拐點 求曲線舉例 間 即可得出曲線的凹凸區(qū)點 反之則不是 同時應的曲線上的點即是拐 該點對的符號 若異號 則與兩側列表考察上述各點鄰近 不存在的點 和求出 的定義域 求出 的步驟 求曲線的凹凸間及拐點 x xy 5 x f 3 x f0 x f 2 x f 1 4 3 5 3 8 二 函數圖形的描繪 1 漸近線概念 水平漸近線與垂直漸近線 2 作圖一般步驟 1 確定函數的定義區(qū)間 2 考察函為數的奇偶性 周期性與有界性 3 確定函數的單調區(qū)間 極值點 凹凸區(qū)間與拐點 4 求曲線的漸近線 5 根據上面討論并利用曲線與坐標軸交點及相關輔助點 描出函數的圖象 三 舉例 描繪 y 的圖形 x 1 x 2 四 例題與習題 習題 3 5 五 小結 函數曲線的凹凸性判定 函數圖形的描繪 3 6 導數在經濟分析中的應用導數在經濟分析中的應用 16 教學目的 教學目的 使學生了解導數在經濟分析中的應用 如成本函數 收入函數 利潤函數 邊際分析 中的邊際成本 邊際收入 邊際利潤 最大利潤 彈性概念等 重點與難點 重點與難點 導數在經濟分析中的應用 如成本函數 收入函數 利潤函數 邊際分析中的邊際 成本 邊際收入 邊際利潤 最大利潤 彈性概念等 教學方法 教學方法 啟發(fā)誘導式 教教 學學 過過 程程 一 成本函數 收入函數 利潤函數 1 成本函數 C x 是生產數量為 x 的某種產品的總成本 它為固定成本及變動成本之和 成本 函數 C x 為單調增函數 2 收入函數 R x 表示售出數量為 x 的某種商品所獲得的總收入 收入 價格 數量 即 R x p x 3 利潤函數 L x R x C x 二 邊際分析 1 邊際成本 2 邊際收入 3 邊際利潤 4 最大利潤 三 彈性的概念 1 概念 2 例題 四 例題與習題 習題 3 6 3 7 曲線的曲率曲線的曲率 教學目的 教學目的 使學生理解弧微分 了解曲線的曲率概念及曲率半徑 重點與難點 重點與難點 弧微分 曲線的曲率及曲率半徑 教學方法 教學方法 啟發(fā)誘導式 教教 學學 過過 程程 一 弧微分 1 弧微分的概念 2 弧微分公式 dx y 1 dy dx dS 222 二 曲率及曲率半徑 1 曲線曲率的概念 1 定義 2 曲率計算公式 2 3 2 y 1 y k 2 曲率半徑的概念 1 計算公式 k 1 R 2 例題 三 例題與習題 習題 3 7 四 小結 曲線的曲率概念在工程技術中有著某些應用 本本 章章 小小 結結 1 本章研究兩大內容 即微分中值定理和導數的應用 微分中值定理是微分學的基本定理 是本章內容的理論依據 導數的應用具體的有這樣幾個方面 一是洛比達法則求極限 二 是利用導數討論函數的變化性態(tài) 三是導數在經濟方面的應用 四是曲率問題 2 中值定理是溝通函數與其導數的橋梁 是利用導數研究函數性質的根據 3 洛比達法則用于求 型未定式極限 和 0 0 應注意以下幾個方面 17 1 每次使用法則應檢查是否符合條件 2 滿足條件可連續(xù)使用 3 洛比達法則失效 并不說明極限不存在 需用別的方法來求 4 函數的單調性是函數的特性 是函數極值的基礎 要熟練掌握函數的單調性判定方法 5 極值是局部概念 最值是全局概念 要熟練掌握函數極值和函數最值的求法 6 函數圖形的描繪是綜合知識的運用 是本章前幾節(jié)內容的概括 7 了解導數在經濟方面的應用 8 曲率問題 1 弧長微分公式 dx y 1 dy dx dS 222 2 曲率 2 3 2 y 1 y k 3 曲率半徑 k 1 R 第第 4 章章 不定積分不定積分 4 1 不定積分的概念 性質及基本公式不定積分的概念 性質及基本公式 教學目的 教學目的 使學生理解不定積分的概念 掌握不定積分的性質及基本公式 重點與難點 重點與難點 不定積分的概念 不定積分的性質及基本公式 教學方法 教學方法 啟發(fā)誘導式 教教 學學 過過 程程 一 原函數的概念 幾點說明 的一個原函數 為則稱或 使得 知函數 若存在函數是定義在某區(qū)間上的已設函數定義 2 f x F x f x dx dF x x f x F F x f x 1 二 不定積分的概念 為積分符號 為被積表達式 為被積函數 為積分變量 稱其中 的不定積分 記為稱為全體原函數函數定義 f x dxf x x f x x F CF x f x dxf x CF x f x 1 2 積分曲線及積分曲線族的概念 3 例題 4 積分運算與微分運算之間的互逆關系 CF x dF x CF x x dx F 2 f x dx f x dxd f x f x dx 1 或 或 18 三 基本積分公式 Carcsinxdx x1 1 13 Carctanxdx x1 1 12 Ccscxcscxcotxdx 11 Csecxsecxtanxdx 10 Ccotxxdxcsc 9 Ctanxxdxsec 8 Ccosxsinxdx 7 Csinxcosxdx 6 C lna a dxa 5 Cedxe 4 C x lndx x 1 3 1 Cx 1 1 dxx 2 Ckxkdx 1 2 2 22 x xxx 1 五 直接積分法舉例 性質 可加以推廣性質 四 不定積分的性質 0 k f x dx kkf x dx 2 g x dx f x dxdxg x f x 1 六 小結與習題 小結不定積分的概念及基本公式和不定積分的性質 習題 4 1 4 2 換元積分法換元積分法 教學目的 教學目的 使學生熟練掌握不定積分的換元積分法 第一類換元積分法和第二類換元積換元積分 法 重點與難點 重點與難點 第一類換元積分法和第二類換元積換元積分法 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 第一類換元積分法 湊微分法 1 引例 2 定理 C x F CF u f u du x x d f x dx x f g x dx x u 回代 令湊微分 3 例題與說明 4 幾個常用的湊微分式 d arctanx dx x1 1 d arcsinx dx x1 1 d cotx xdxcsc d tanx xdxsec d sinx cosxdx d cosx sinxdx x d lndx x 1 d edxe x2d x dx d x 2 1 xdx 1 2 2 2 2 xx2 baxd a dx 5 幾個常用積分式推導 19 二 第二類換元積分法 C x F CF t t dt t f f x dx t dt t f t xf x dx 1 1 t x 回代 令 序進行計算 易求出 則可按以下程 進行換元 如果時 適當地選擇定理 計算 2 幾種常見換元的舉例 1 根式換元法 dx 13x 1x x1 dx 3 求 t 1 x 3 ax dx 0 a x a dx 0 adx xa asect x ax atanx x ax asinx x xa 2 22 3 222 22 2222 22 令到代換 求 令時 對令時對 令時 對三角換元 三 小結與習題 不定積分的換元積分法是求不定積分的重要積分法 要記住一些常見的湊微分和 換元 習題 4 2 4 3 分部積分法分部積分法 教學目的 教學目的 使學生熟練掌握不定積分的分部積分法 重點與難點 重點與難點 不定積分的分部積分法 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 分部積分公式 1 公式推導 2 幾點說明 分部積分的關鍵是恰當地選擇 u 和 dv 一般要考慮以下兩點 1 v 要容易求得 可用湊微分法求出 2 容易積出要比 udv vdu 3 常見幾個被積函數式形式選擇 u 和 dv 的具體方法 三 分部積分積分舉例 dx xarctan arcsinxdx sinxdxe dxex xlnxdx dx cosx x xx2 例題 四 課堂練習與習題 習題 4 3 五 小結 使用分部積分過程中 如何恰當地選取 u 和 dv 作出一般性的概括總結讓學生加以理解 掌握 4 4 積分表的使用積分表的使用 教學目的 教學目的 使學生會查簡易積分表 重點與難點 重點與難點 積分表的使用 20 教學方法 教學方法 練習式 教教 學學 過過 程程 一 積分表介紹 二 簡易積分表使用 三 舉例與課堂練習 例題 xdxlnx 4cosx 3 dx 2x x 3 23 2 dx 查表求 四 小結與練習 本本 章章 小小 結結 1 本章主要內容為 不定積分的概念 積分的基本公式及運算法則 幾種基本積分法 2 原函數和不定積分的概念是積分學中的最基本的概念 3 下面框圖指出了它們間的聯(lián)系 原函數族 不定積分 積分曲線族 CF x y f x x F f x dx CF x y 若 當 x x0 通過點 x0 y0 y y0 一個原函數 一條積分曲線 y F x C0 y F x C0 4 積分的基本公式和法則是求不定積分的重要工具 學習時必須熟記 并用相應的導函數公式和 法則與之對比驗證 應該注意 求積分的運算要比求導運算困難 技巧性較強 直接積分法是 其它積分法的基礎 5 第一類換元積分法和第二類換元積分法統(tǒng)稱為換元積分法 因為它們都是通過適當的變量代換 來求積分的 值得注意的是 它們的區(qū)別在于積分變量 x 所處的地位不同 第一類換元積分法 是令 u x 其中 x 是自變量 引入的新變量是函數 而第二類換元法是令 x t 其中 x 是函數 引入的新變量 t 是自變量 另外 在進行第一類換元積分時 通過湊微分 新變量 u 可 不明顯地標出 而進行第二類換元積分時 新變量 t 必須明顯地引進 即 令 和 回代 這兩 個過程不能省略 6 分部積分的關鍵是合理地將被積表達式分成 u 和 dv 兩部分 從而代入分部積分公式 7 一般說來 查積分表可節(jié)省計算積分的時間 但應注意 只有掌握了基本積分法才能靈活地使 用積分表 21 第第 5 章章 定積分及其應用定積分及其應用 5 1 定積分的概念定積分的概念 教學目的 教學目的 使學生理解定積分的概念 弄清定積分的幾何意義 掌握定積分的性質 重點與難點 重點與難點 定積分的概念 幾何意義及定積分的性質 教學方法 教學方法 誘啟式 教教 學學 過過 程程 一 定積分問題的舉例 1 曲邊梯形的面積 1 曲邊梯形的概念 5 曲邊梯形的面積問題 a 作分割任取分點 把底邊 a b 分成 n 個小區(qū)間 i 1 2 n 對應的第 i 個小曲邊梯形的面積記為n 2 1 i Ai b 取近似代替 在第 i 個小曲邊梯形的底上任取 一點 1i x i x 則得小曲邊梯形面積 i A 的近似值 ii x f i 1 2 n i c 求和 將 n 個小曲邊梯形面積的近似值求和 即 n 1i ii x f n 1i i ni1 ii 0 x max x f limA d 其中曲邊梯形的面積即為求極限 2 變速直線運動的路程 二 定積分的概念 定積分的定義 略 1 幾點說明 1 定積分表示一個數 與被積表達式和積分上 下限有關 而與積分變量無 關 2 規(guī)定 3 定積分的存在性 當 f x 在 a b 上連續(xù)或只有有限個間斷點時 f x 在 a b 上可積 dxf x dxf x 0dx a b b a b a xf 三 定積分的幾何意義 曲邊梯形面積的代數和 四 定積分的性質 性質 1 線性性質 k b a 12211 k x dxfk x fk dx b a xf 2 dx b a xf 22 性質 2 積分的可加性 dx b a xfdx c a xfdx b c xf 性質 3 積分的比較性 在 a b 上 若有 f x 則有 xg dx b a xf dx b a xg 性質 4 積分估值性質 設 M 與 m 分別是 f x 在 a b 上的最大值與最小值 則有 m b a dx b a xf M b a 性質 5 積分中值性質 如果 f x 在 a b 上連續(xù) 則在 a b 上至少存在一點 a b 使得 f dx b a xf b a 五 小結與習題 定積分的概念與定積分的若干性質 習題 5 1 5 2 微積分基本公式微積分基本公式 教學目的 教學目的 使學生弄清積分上限函數的概念 熟練掌握牛頓 萊布尼茲公式 重點與難點 重點與難點 積分上限函數的概念 牛頓 萊布尼茲公式 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教具 教具 三角板 彩色粉筆 教教 學學 過過 程程 一 積分上限函數 1 概念 定理 如果函數 f x 在 a b 連續(xù) 則積分上限函數 上可導 且其導數是在 b a dt t f x x a x a bxa x f dt t f dx d x y y f x 2 推論 連續(xù)函數的原函數一定存在 事實上即是 f x 的一個原函數 0 a x x x a dt t f x 二 牛頓 萊布尼茲 Newton leibniz 公式 b a F a F b x dx f f x F x b a x f 1 的任一原函數 則有為上連續(xù) 且在設函數定理 2 例題 見教材 三 小結與習題 積分上限函數 牛頓 萊布尼茲公式 習題 5 2 5 3 定積分的積分法定積分的積分法 教學目的 教學目的 使學生熟練掌握定積分的換元法和分部積分法 重點與難點 重點與難點 定積分的換元法和分部積分法 教學方法 教學方法 誘啟練習式 教教 學學 過過 程程 一 換元積分法 1 換元積分法概念 設函數 f x 在 a b 上連續(xù) 而 x t 滿足以下條件 1 x t 在 23 上有連續(xù)的導數 2 a b 且當 t 在 內變化時 x t 在 a b 上變 化 并不超出 a b 則有換元公式 t 為偶函數 為奇函數 b a xf a 0 2 0 上連續(xù) 試證明 a a f x dx a 1 0 2 0 2 b a b a ex 2 uvudv 求例 b a cosxdx vdu xdx 例題 xdx 2 0 b a f x A 所圍成的面積 2 d 積為 fdx t dt 2 注意 換元必須換限 原上限對應新上限 原下限對應新下限 3 例題 f x f x dx f x a f x 在