圓中最定值(修訂版)(1).doc

圓中最定值類型一、圓中將軍飲馬例1、 如圖，AB是O的直徑，AB=10cm，M是半圓AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，N是半圓AB的一個(gè)六等分點(diǎn)，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP、NP，則MP+NP的最小值是_1、 已知圓O的面積為3，AB為直徑，弧AC的度數(shù)為80度，弧BD的度數(shù)為20度，點(diǎn)P為直徑AB上任一點(diǎn)，則PC+CD的最小值為_2、如圖，菱形ABC中，A=60度，AB=3,A、B的半徑為2和1,P、E、F分別是CD，A和B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為_ 類型二、折疊隱圓【基本原理】（一箭穿心）點(diǎn)A為圓外一點(diǎn)，P為圓O上動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交圓于P1、P2，則AP的最小值為AP2,最大值為A P1例、如圖4，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，A=60，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在的直線翻折得到AMN，連接AC，請(qǐng)求出AB長(zhǎng)度的最小值1、已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，則CB的最小值為_2、四邊形ABCD中，ADBC，A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，將ABP沿BP所在直線翻折得到QBP，則CQD的面積最小值為_類型三、 隨動(dòng)位似隱圓例、在RtABC中，ACB=90，BAC=30，BC=6點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)D且AD=2，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得線段AD，點(diǎn)F始終為BD的中點(diǎn)，則將線段CF最大值為_分析：易知D軌跡為以A為圓心AD為半徑的圓，則在運(yùn)動(dòng)過程中AD為定值2，故取AB中點(diǎn)G，則FG為中位線，F(xiàn)G=AD=,故F點(diǎn)軌跡為以G為圓心，為半徑的圓。問題實(shí)質(zhì)為已知圓外一點(diǎn)C和圓G上一點(diǎn)F，求CF的最大值。思路2：倍長(zhǎng)BC到B，則CF為BDB的中位線，CF= BD,當(dāng)BD最大時(shí)，CF也取最大值，問題實(shí)質(zhì)為D在圓A上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，BD取最大。 【方法歸納】、如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)O1為定點(diǎn)，圓O1半徑為定值，P為圓O1上動(dòng)點(diǎn)，M為AP中點(diǎn)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡為圓O2，且O2為AO1中點(diǎn)。、構(gòu)造中位線1、如圖，在RtABC中，ACB = 90，D是AC的中點(diǎn)，M是BD的中點(diǎn)，將線段AD繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)），若AC = 4，BC = 3，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是_ 2、如圖，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，以AC為直徑作半圓，P為半圓上任意一點(diǎn)，M為BP中點(diǎn)，則在點(diǎn)P由A到C運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_類型四、定性分析垂線段最短例、如圖，半圓O的半徑為1，ACAB，BDAB，且AC=1，BD=3，P是半圓上任意一點(diǎn)，則封閉圖形ABDPC面積的最大值是_【分析】：思路1、連接CD、梯形ABCD面積為定值，要使封閉圖形ABDPC面積取最大值，則使CPD面積取最小即可，CPD中，底邊CD為定值，則當(dāng)高取最小值時(shí)，面積有最小值，故問題變成當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，點(diǎn)P到CD距離最小。C、D、O為定點(diǎn)，則點(diǎn)O到CD距離為定值,計(jì)算CD、OC、OD長(zhǎng)，由勾逆知OCCD，設(shè)點(diǎn)P到CD距離為h，則h+rOC，hOC-r，即當(dāng)O、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，h有最小值，此時(shí)M與點(diǎn)C重合，故OC與圓O交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P。思路2：P點(diǎn)的確定也可以這樣想，平移CD，設(shè)平移后的直線為m，則直線m與CD間的距離即為CD邊上的高，顯然，當(dāng)直線m與圓O相切時(shí)，高h(yuǎn)有最小值。 1、如圖，P為圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，A為圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP,AO分別與圓O交于B，C兩點(diǎn)，若圓O的半徑為3，OP= ，則弦BC的最大值為_2、如圖，AB為O的直徑，C為半圓的中點(diǎn)，C的半徑為2，AB=8，點(diǎn)P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，PM與C切于點(diǎn)M，則PM的取值范圍為_類型五、定弦定角【基本原理】如圖1O中，A、B為定點(diǎn)，則AB為定弦，點(diǎn)C為優(yōu)弧上任一點(diǎn)，在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中則ACB的度數(shù)不變逆運(yùn)用如圖2、點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且ACB=（為固定值）點(diǎn)C在以AB為弦的圓上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合） 圖1 圖2例、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且滿足ACB=60度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，簡(jiǎn)要說明作圖步驟步驟1、_步驟2、_練習(xí)、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且滿足ACB=120度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡,并寫出圓心角AOB=_ 【實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用】例、如圖，O的半徑為1，弦AB=1，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，ACAP交直線PB于點(diǎn)C，則ABC的最大面積是_1、如圖，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BEAD于E，則CE的最小值為_2、如圖，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PAB=PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_類型六、定弦定角反客為主例、如圖，XOY = 45，一把直角三角尺ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在OX、OY上移動(dòng)，其中AB = 10，那么點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離最大值為_點(diǎn)O到AB的距離的最大值為_【分析】：題意中AB為定長(zhǎng)線段在角的兩邊滑動(dòng)，O為定點(diǎn)，滑動(dòng)中C為動(dòng)點(diǎn)，AB兩點(diǎn)位置發(fā)生變化，點(diǎn)O到AB距離的最大值的確定有難度，若改變思路，借助物理中運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性可知，若將ABC固定，將XOY的兩邊繞AB滑動(dòng)，與原題中運(yùn)動(dòng)效果等價(jià)，題目中數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變。問題則變?yōu)楫?dāng)點(diǎn)O在圓上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，點(diǎn)O到AB距離最大。1、如圖，D,E分別為等腰直角三角形ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且DE=2 ,以DE為邊向外作正方形DEFG，則AF的最大值為_2、如圖，ABC中，ABC= 45，AC=2，半徑為的圓O始終過A、C兩點(diǎn)，連接OB，則線段OB長(zhǎng)的的最大值為_ 類型七、定弦定角條件的確定例、如圖，扇形AOD中，AOD=90，OA=6，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），PQOD于點(diǎn)Q，點(diǎn)I為OPQ的內(nèi)心，則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求I點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。分析：由內(nèi)心的基本結(jié)論知 PIO=90o+PHO=135o為定角，但其所對(duì)的邊OP并非定弦，連ID，易證 AIOOID，OID=PIO=135O,且其所對(duì)的邊為OD，符合定弦定角條件，故I點(diǎn)軌跡為圓弧，問題易解。1、如圖，邊長(zhǎng)為3的等邊ABC，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，且BDCE，AD、BE交于P點(diǎn)，則CP的最小值為_2、如圖，AC3，BC5，且BAC90，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE，則CE的最小值為（ ）類型八、隱切線例、已知A（2，0），B（4，0）是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ACB最大時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_分析：將 ACB看作以AB為弦的圓上的角，則圓心在AB的垂直平分線上，當(dāng)圓心運(yùn)動(dòng)時(shí)， ACB的大小也隨之改變，又因?yàn)辄c(diǎn)C為為y軸上的點(diǎn)，所以可將點(diǎn)C理解為圓O與y軸交點(diǎn)。Y軸與圓o的位置關(guān)系有兩種：相交或相切，當(dāng)圓O與y軸相交時(shí)，記交點(diǎn)為C1，當(dāng)圓O與y軸相切時(shí)，記交點(diǎn)為C，如圖所示， AC1B= AC2B,由圓上的角大于圓外的角可知， ACB AC2B，故當(dāng)圓O于y軸相切時(shí)， ACB有最大值?？紤]對(duì)稱性可知，點(diǎn)C的位置有兩個(gè)，y軸正半軸和y軸負(fù)軸上各有一個(gè)點(diǎn)。 1、已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點(diǎn)C是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ACB最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_在RtABC中，BAC=30，斜邊AB=，動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上，動(dòng)點(diǎn)Q在AC邊上，且CPQ=90，則線段CQ長(zhǎng)的最小值=_類型九、捆綁旋轉(zhuǎn)例、已知A（2，0），B（5，0），點(diǎn)P為圓A上一動(dòng)點(diǎn)，圓A半徑為2，以PB為邊作等邊PMB，求線段AM的取值范圍。 分析：思路1：要求AM的取值范圍，則先確定M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡。由等邊三角形聯(lián)想共頂點(diǎn)的雙等邊結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造和PBM共頂點(diǎn)B的等邊ABH，則APBHBMHM=PA=2，所以點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡為以H為圓心，半徑為2的圓H上的點(diǎn)。AM過圓心時(shí)取得相應(yīng)最大和最小值。思路2：線段BM可看作由線段PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，當(dāng)點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作出其繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度后的每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則其應(yīng)點(diǎn)的集合就是點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡。顯然其軌跡為圓。因?yàn)槊總€(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都是點(diǎn)P繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，所以點(diǎn)M所在圓的圓心即為將P點(diǎn)所在圓圓心A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到。想象成鐘擺繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度 1、如圖，已知A（2，0），圓O半徑為1，點(diǎn)B為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限，且ABC為等腰直角三角形，BAC=90度，求線段OC的最大值_2、如圖，AB為O的直徑，AB=4，點(diǎn)C為半圓AB上動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊在O外作正方形BCDE，（點(diǎn)D在直線AB的上方）連接OD當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段OD的最大值為_ 類型十、半徑不確定的處理策略例、在ABC中,AB=4,BC=6,ACB=30,將ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到A1BC1.點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),在ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1,則線段EP1長(zhǎng)度的最大值為_,最小值為_分析:顯然BP=BP1,P1點(diǎn)軌跡為以B為圓心，BP為半徑的圓，半徑是多少呢？好象無法確定，因?yàn)辄c(diǎn)P為AC上動(dòng)點(diǎn)，則BP長(zhǎng)度有最小值和最大值。如圖當(dāng)BP垂直AC時(shí)，半徑最小，當(dāng)P與C重合時(shí)，半徑最大，由圖可知P1點(diǎn)軌跡為以B為圓心的無數(shù)個(gè)同心圓。不難確定其最小值