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文檔簡介

定積分 求由連續(xù)曲線y f x 對應的曲邊梯形面積的方法 2 以直代曲 任取xi xi 1 xi 第i個小曲邊梯形的面積用高為f xi 寬為dx的小矩形面積f xi dx近似地去代替 4 逼近 所求曲邊梯形的面積s為 3 作和 取n個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積s的近似值 xi 1 xi xi 1 分割 在區(qū)間 a b 上等間隔地插入n 1個點 將它等分成n個小區(qū)間 每個小區(qū)間寬度 x 如果當n 時 sn就無限接近于某個常數(shù) 這個常數(shù)為函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作 從求曲邊梯形面積s的過程中可以看出 通過 四個步驟 分割 以直代曲 求和 逼近 設函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上有定義 將區(qū)間 a b 等分成n個小區(qū)間 每個區(qū)間的長度為 x 在每個區(qū)間上取一點 依次為x1 x2 xi xn 作和sn f x1 x f x2 x f xi x f xn x 如果 x無限趨近于0 亦即n趨向于 時 sn無限趨近于常數(shù)s 那么稱該常數(shù)為函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作 一 定積分的定義 定積分的相關名稱 叫做積分號 f x dx 叫做被積表達式 f x 叫做被積函數(shù) x 叫做積分變量 a 叫做積分下限 b 叫做積分上限 a b 叫做積分區(qū)間 積分下限 積分上限 按定積分的定義 有 1 由連續(xù)曲線y f x f x 0 直線x a x b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 2 設物體運動的速度v v t 則此物體在時間區(qū)間 a b 內運動的距離s為 3 設物體在變力f f r 的方向上有位移 則f在位移區(qū)間 a b 內所做的功w為 1 說明 1 定積分是一個數(shù)值 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關 而與積分變量的記法無關 即 4 定積分的幾何意義 x a x b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積 當f x 0時 由y f x x a x b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方 s 上述曲邊梯形面積的負值 4 定積分的幾何意義 s 定積分的幾何意義 在區(qū)間 a b 上曲線與x軸所圍成圖形面積的代數(shù)和 即x軸上方的面積減去x軸下方的面積 例 計算下列定積分 三 定積分的基本性質 性質1 性質2 三 定積分的基本性質 定積分

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