人教A版選修23 3．1　回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 學(xué)案.doc

31回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 教材研讀預(yù)習(xí)教材p8088，思考以下問題1什么是回歸分析？2什么是線性回歸模型？要點(diǎn)梳理1回歸分析(1)回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法(2)回歸方程的相關(guān)計(jì)算對(duì)于兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)設(shè)其回歸直線方程為x，其中，是待定參數(shù)，由最小二乘法得，.(3)線性回歸模型線性回歸模型，其中a，b為模型的未知參數(shù)，通常e為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差x稱為解釋變量，y稱為預(yù)報(bào)變量2線性回歸分析(1)殘差：對(duì)于樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)的隨機(jī)誤差的估計(jì)值iyii稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差，(yii)2稱為殘差平方和(2)殘差圖：利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖(3)r21越接近1，表示回歸的效果越好自我診斷判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)1殘差平方和越小，線性回歸方程的擬合效果越好()2在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，預(yù)報(bào)變量在x軸上，解釋變量在y軸上()3r2越小，線性回歸方程的擬合效果越好()答案1.2.3.思考：求線性回歸方程的步驟是什么？提示：列表表示xi，yi，xiyi，x；計(jì)算，iyi；代入公式計(jì)算，的值；寫出線性回歸方程 某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(要求：點(diǎn)要描粗)(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力思路導(dǎo)引先畫散點(diǎn)圖，再求回歸系數(shù)，寫出方程解(1)如圖：(2)iyi6283105126158，9，4，6282102122344，0.7， 40.792.3，故線性回歸方程為0.7x2.3.(3)由(2)中線性回歸方程當(dāng)x9時(shí)，0.792.34，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.求線性回歸方程的三個(gè)步驟(1)畫散點(diǎn)圖：由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系(2)求回歸系數(shù)：若存在線性相關(guān)關(guān)系，則求回歸系數(shù)(3)寫方程：寫出線性回歸方程，并利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測說明【溫馨提示】對(duì)回歸直線的四點(diǎn)說明(1)回歸直線過點(diǎn)(，)(2)回歸直線的截距a和斜率b都是通過樣本估計(jì)而得的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差(3)線性回歸方程yabx中的b表示x增加1個(gè)單位時(shí)，y的平均變化量為b，而a表示y不隨x的變化而變化的部分(4)可以利用線性回歸方程yabx預(yù)報(bào)在x取某個(gè)值時(shí)，y的估計(jì)值跟蹤訓(xùn)練(鏈接教材p81例1)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x/百萬元24568y/百萬元3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程；(3)試預(yù)測廣告費(fèi)用支出為10百萬元時(shí)的銷售額解(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i12345合計(jì)xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380x416253664145所以，5，50，x145，xiyi1380.于是可得6.5，506.5517.5.所以所求的線性回歸方程為6.5x17.5.(3)根據(jù)(2)中求得的線性回歸方程，當(dāng)廣告費(fèi)用支出為10百萬元時(shí)，6.51017.582.5(百萬元)，即廣告費(fèi)用支出為10百萬元時(shí)，銷售額大約為82.5百萬元題型二線性回歸分析思考：如何用殘差圖、殘差平方和、相關(guān)指數(shù)r2分析模型擬合效果？提示：殘差圖的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高；殘差平方和越小，模型擬合效果越好；r2越接近于1，模型擬合效果越好 假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗；(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；(4)求r2，并說明殘差變量對(duì)有效穗的影響占百分之幾？解(1)散點(diǎn)圖如下(2)由(1)中散點(diǎn)圖看出，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系設(shè)回歸方程為x，30.36，43.5，x5101.56，y9511.43.1320.66，2921.7296，xiyi6746.76.則0.29，34.70.故所求的回歸直線方程為0.29x34.70.當(dāng)x56.7時(shí)，0.2956.734.7051.143.估計(jì)成熟期有效穗為51.143.(3)由于ixi，可以算得iyii分別為10.35，20.718，30.5，42.214，51.624，殘差平方和：8.43.(4)(yi)250.18，故r210.832.所以解釋變量小麥基本苗數(shù)對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了83.2%，殘差變量貢獻(xiàn)了約183.2%16.8%.(1)利用殘差分析研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，然后通過殘差1，2，n來判斷模型擬合的效果(2)若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高跟蹤訓(xùn)練為研究質(zhì)量x(單位：克)對(duì)彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求線性回歸方程(2)求出r2.(3)進(jìn)行殘差分析解(1)作出散點(diǎn)圖如圖所示：(51015202530)17.5.(7.258.128.959.9010.911.8)9.487，x2275，xiyi1076.2，計(jì)算得，0.183，6.285，所求回歸直線方程為6.2850.183x.(2)列表如下：yii0.050.0050.080.0450.040.025yi2.241.370.540.411.412.31所以(yii)20.01318，(yi)214.6784.所以，r210.9991.所以回歸模型的擬合效果較好(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與質(zhì)量具有線性關(guān)系 (鏈接教材p86例2)某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y與年次x的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：年次x123456利潤總額y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經(jīng)驗(yàn)知，年次x與利潤總額y(單位：億元)近似有如下關(guān)系：yabxe0.其中a，b均為正數(shù)，求y關(guān)于x的回歸方程思路導(dǎo)引解答此題可根據(jù)散點(diǎn)圖選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)，而本題已經(jīng)給出，只需將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，利用最小二乘法求得回歸直線方程，再將其還原為非線性回歸方程即可解對(duì)yabxe0兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lnylnae0xlnb，令zlny，則z與x的數(shù)據(jù)如下表：x123456z2.432.472.522.572.612.67由zlnae0xlnb及最小二乘法公式，得lnb0.0477，lnae02.378，即2.3780.0477x，故10.81.05x.非線性回歸問題的處理方法一般地，有些非線性回歸模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系：(1)如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個(gè)直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來建模；(2)如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個(gè)曲線狀帶形區(qū)域，要先對(duì)變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來建模(3)非線性回歸方程的求法：根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x，y)作出散點(diǎn)圖；根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)；作恰當(dāng)?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程；在的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)的變換，即可得非線性回歸方程(4)非線性相關(guān)問題常見的幾種線性變換：在實(shí)際問題中，常常要根據(jù)一批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪出曲線，當(dāng)曲線類型不具備線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)散點(diǎn)分布的形狀與已知函數(shù)的圖象進(jìn)行比較，確定曲線的類型，再作變量替換，將曲線改為直線下面是幾種容易通過變量替換轉(zhuǎn)化為直線的函數(shù)模型：ya，令yy，x，則有yabx；yaxb，令ylny，xlnx，alna，則有yabx；yaebx，令ylny，xx，alna，則有yabx；yae，令ylny，x，alna，則有yabx；yablnx，令yy，xlnx，則有yabx；ybx2a，令yy，xx2，則有ybxa.跟蹤訓(xùn)練某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi，wi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸線vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.解(1)由散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于68，563686.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為100.668.(3)由(2)知，當(dāng)x49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值100.668576.6，年利潤z的預(yù)報(bào)值576.60.24966.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值0.2(100.668)xx13.620.12.所以當(dāng)6.8，即x46.24時(shí)，取得最大值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大1.本節(jié)課的重點(diǎn)是線性回歸方程的求法及線性回歸分析，難點(diǎn)是殘差分析和非線性回歸分析2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)求線性回歸方程，見典例1；(2)線性回歸分析