人教B版選修12 反證法 課件（18張）.pptVIP

2 2 2反證法 1 了解反證法是間接證明中最基本和最常用的一種方法 2 熟練掌握用反證法證題的三個步驟 1 反設(shè) 2 歸謬 3 結(jié)論 3 認識反證法在數(shù)學證明中的重要作用 學會用反證法證題 并能根據(jù)題目的類型合理選擇證明問題的方法 學會尋找問題中的矛盾 進行正確推理 反證法一般地 由證明p q轉(zhuǎn)向證明 q r t t與假設(shè)矛盾 或與某個真命題矛盾 從而判定 q為假 推出q為真的方法 叫做反證法 知識拓展 1 反證法的實質(zhì) 證明命題的否定為假 所以命題為真 2 應用反證法證明數(shù)學命題的一般步驟 分清命題的條件和結(jié)論 作出與命題結(jié)論相矛盾的假定 由假定出發(fā) 應用正確的推理方法 推出矛盾的結(jié)果 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因 在于開始所作的假定不真 于是原結(jié)論成立 從而間接地證明命題為真 3 反證法的適用情形 否定性命題 唯一性問題 至多至少問題 4 用反證法證明命題得出矛盾的方法 與假定矛盾 與數(shù)學公理 定理 公式 定義或已被證明了的結(jié)論矛盾 與公認的簡單事實矛盾 5 反證法常用的否定形式 做一做1 命題 a b是實數(shù) 若 a 1 b 1 0 則a b 1 用反證法證明時 應假設(shè) 解析 a b 1 是 a 1 且b 1 又因為 p且q 的否定為 非p或非q 所以 a b 1 的否定為 a 1或b 1 答案 a 1或b 1 做一做2 用反證法證明命題 若x2 a b x ab 0 則x a 且x b 時 應假設(shè) 答案 x a或x b 如何理解反證法 剖析 反證法證題的特征 通過導出矛盾 歸結(jié)謬誤 而使命題得證 反證法的原理是 否定之否定等于肯定 反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論導出矛盾 從而說明原結(jié)論正確 即證明命題的逆否命題成立 否定結(jié)論 對結(jié)論的反面要一一否定 不能遺漏 否定一個反面之反證法稱為歸謬法 否定兩個或兩個以上反面之反證法稱為窮舉法 要注意用反證法解題時 結(jié)論的否定在推理論證中可以作為已知使用 導出矛盾是指在假設(shè)的前提下 邏輯推理結(jié)果與 已知條件 假設(shè) 公理 定理或顯然成立的事實 等相矛盾 用反證法證明不等式 常用的否定形式有 的反面為 的反面為 的反面為 的反面為 的反面為 反證法屬邏輯方法范疇 它的嚴謹體現(xiàn)在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中 第一個否定是指 否定結(jié)論 第二個否定是指 邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè) 反證法屬 間接解題方法 書寫格式易錯之處是 假設(shè) 易錯寫成 設(shè) 反證法不是直接證明結(jié)論 而是先否定結(jié)論 在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上運用演繹推理 導出矛盾 從而肯定結(jié)論的正確性 題型一 題型二 題型三 題型四 否定性命題的證明 例題1 設(shè)數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列 sn是它的前n項和 求證 數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 分析 本題是否定性命題 可以嘗試用反證法證明 證明 證法一 反證法 假設(shè)數(shù)列 sn 是等比數(shù)列 則 s1s3 即 1 q 2 a1 a1 1 q q2 因為a1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 這與q 0矛盾 故數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 證法二 要證數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 只需證明snsn 2 因為sn 1 a1 qsn sn 2 a1 qsn 1 所以 a1 qsn 1 a1 qsn sn 1 a1 sn sn 1 a1an 1 0 所以數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 題型一 題型二 題型三 題型四 反思本題的解答依據(jù)是等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質(zhì) 體現(xiàn)了特殊化思想和正難則反的思維策略 題型一 題型二 題型四 題型三 至多 至少問題的證明 例題2 求證 當m為實數(shù)時 關(guān)于x的一元二次方程x2 5x m 0與2x2 x 6 m 0至少有一個方程有實根 分析 從正面證明難以入手 考慮應用反證法證明 證明 假設(shè)上述兩個方程都無實根 則 因為滿足 的實數(shù)m不存在 所以當m r時 所給兩個方程至少有一個方程有實根 反思凡含有 至少 至多 等詞語的命題宜采用反證法證明 題型一 題型二 題型三 題型四 唯一性命題的證明 例題3 已知 直線a b為兩條相交直線 求證 a與b有且只有一個交點 分析 有且只有 唯一 等問題?？紤]應用反證法證明 證明 假設(shè)結(jié)論不成立 即有兩種可能 無交點 至少有兩個交點 若直線a b無交點 則a b或a b異面 這與已知 a b為兩條相交直線 矛盾 若直線a b至少有兩個交點a和b 這樣同時經(jīng)過點a b就有兩條直線 這與 經(jīng)過兩點有且只有一條直線 相矛盾 綜上所述 兩條相交直線a b有且只有一個交點 反思結(jié)論以 有且只有 只有一個 唯一存在 等形式出現(xiàn)的命題 由于反設(shè)結(jié)論易于導出矛盾 所以用反證法證其唯一性簡單明了 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析易錯點 運用反證法證明命題時 第一步否定結(jié)論易錯 因為有些結(jié)論的對立面不易確定 從而出錯 解決的方法是 1 利用集合思想檢驗 2 對特殊的關(guān)鍵詞 要記住它的否定形式 例題4 用反證法證明命題 若ab不是偶數(shù) 則整數(shù)a b都不是偶數(shù) 時 應假設(shè) 錯解 整數(shù)a b不都是偶數(shù) 錯因分析 整數(shù)a b不都是偶數(shù)包括的情況是 a是偶數(shù) b是奇數(shù) a是奇數(shù) b是偶數(shù) a b都是奇數(shù) 顯然 假設(shè)并不是結(jié)論的對立面 所以不正確 題目中 整數(shù)a b都不是偶數(shù) 即 整數(shù)a b都是奇數(shù) 故假設(shè)為 整數(shù)a b不都是奇數(shù) 正解 整數(shù)a b不都是奇數(shù) 12345 答案 d 12345 2用反證法證明 自然數(shù)a b c中恰有一個偶數(shù) 時的正確假設(shè)為 a a b c都是奇數(shù)b a b c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)c a b c都是偶數(shù)d a b c中至少有兩個偶數(shù)解析 a b c三個數(shù)的奇偶性有以下幾種情況 全是奇數(shù) 有兩個奇數(shù) 一個偶數(shù) 有一個奇數(shù) 兩個偶數(shù) 全是偶數(shù) 因為要否定 所以假設(shè)應為 a b c全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 答案 b 12345 3兩條異面直線在同一個平面內(nèi)的射影不可能是 a 兩條平行直線b 兩條相交直線c 一點與一條直線d 同一條直線解析 假設(shè)兩條直線在同一個平面內(nèi)的射影是同一條直線 則這兩條直線的位置關(guān)系為平行或相交或重合 這均與兩條直線異面矛盾 故異面直線在同一個平面中的射影不可能為同一條直線 答案 d 12345 4用反證法證明命題 如果a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一個能被5整除 時 假設(shè)的內(nèi)容是 解析 至少有一個 的反設(shè)詞是 一個都沒有 即 都不能 答案 a b都不能被5整除 12345 5求證 當x2 bx c2 0有兩個不相等的非零實數(shù)根時 bc 0 分析 bc 0的否定形式為bc 0 包括 b 0 c 0 b 0 c 0 b 0 c 0三種情況 故需要分類討論 證明 假設(shè)bc 0 1 若b 0 c 0 方程變?yōu)閤2 0 則x1 x2 0是方程x2 bx c2 0的