人教A版選修22 1.5定積分的概念1 學(xué)案.doc

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5定積分的概念1 - 學(xué) 案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法 2會求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程二、自主學(xué)習(xí)1.如果函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間i上的圖象是一條 的曲線，那么就把它稱為區(qū)間i上的連續(xù)函數(shù)2.由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為 ，如圖3.把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆分為一些 .對每個 “以直代曲”，即用 的面積近似代替 的面積，得到每個小曲邊梯形面積的 ，對這些近似值 ，就得到曲邊梯形面積的 如圖4.如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)vv(t)，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.1. “以直代曲”的思想求曲邊梯形的面積由于沒有曲邊梯形的面積公式，為計算曲邊梯形的面積，可以將它分割成許多個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形用相應(yīng)的小矩形近似代替，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值當(dāng)分割無限變細(xì)時，這個近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積 “分割”的目的在于 “以直代曲”，即以“矩形”代替“曲邊梯形”，隨著分割的等份數(shù)增多，這種“代替”就越精確當(dāng)n越大，所有小矩形的面積和就越趨近于曲邊梯形的面積2.用定積分的定義求定積分的技巧(1)熟記解題的四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限；(2) 在“近似代替”中，每個小區(qū)間上函數(shù)f(x)的值一般都取左端點的函數(shù)值代替或都取右端點的函數(shù)值代替。事實上，也可以取區(qū)間上的任意點代替，沒有統(tǒng)一的要求為了運算方便，通常取一些特殊點 (3)熟記以下結(jié)論：123n，122232n2，132333n3n2(n1)2.三、合作探究 題型一 曲邊梯形的面積例1求由直線x1，x2和y0及曲線yx3所圍成的曲邊梯形的面積思路導(dǎo)析：將曲邊梯形分割成許多個小曲邊梯形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形的面積的近似值，求它們的和，得到曲邊梯形的面積的近似值，當(dāng)n趨向于，即x趨向于0時，這個近似值就無限趨近于所求的曲邊梯形的面積解析：(1)把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，用分點，把區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間1，2。每個小區(qū)間的長度為x.過各點作x軸的垂線，把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：s1，s2，sn.(2)取各小區(qū)間的左端點i，以點i的縱坐標(biāo)為一邊，以小區(qū)間的長度x為其鄰邊的小矩形面積，近似代替小曲邊梯形的面積第i個小曲邊梯形面積可以近似地表示為six()3(i1,2，n)(3)因為每一個小矩形的面積都是可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形的面積的和就是曲邊梯形面積s的近似值，即s()3。(4)當(dāng)分點數(shù)目越多，即x越小時，和式的值就越接近曲邊梯形的面積s，因此n，即x0時，和式的極限就是所求的曲邊梯形的面積因為()3(ni1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3n(n1)33(n1)23(n1)n2(n1)2，所以s=歸納總結(jié)：本題在求和時，可先提取公因式，再將和式進行化簡會更簡潔，然后再求極限變式訓(xùn)練：求由直線x1，x2，y0及曲線y圍成的圖形的面積s.題型2 汽車行駛的路程例2 一輛汽車作變速直線運動，設(shè)汽車在時間t的速度v(t)，求汽車在t1到t2這段時間內(nèi)運動的路程思路導(dǎo)析：汽車在變速行駛過程中速度是變化的，無法直接求得路程，若將行駛過程中分為一段段的小區(qū)間，在每段小區(qū)間中便可近似的看做勻速直線運動，從將變速直線運動轉(zhuǎn)化為勻速直線運動解決。解析：（1）把區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間，(i1,2，n)，每個區(qū)間的長度t，每個時間段行駛的路程記為si(i1,2，n)故路程和(2)i(i1,2，n) siv()t6()2 (i1,2,3，n)（3）6n6n（4）歸納總結(jié)：利用用分割、近似代替、求和、取極限這四個步驟可以將求變速直線運動的路程問題轉(zhuǎn)化為求勻速直線運動的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想變式訓(xùn)練：彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即為f(x)kx(k為常數(shù)，x是伸長量)，求彈簧從平衡位置拉長b所做的功. 四、自主小測1在求由xa，xb(ab)，yf(x)f(x)0及y0圍成的曲邊梯形的面積s時，在區(qū)間a，b上等間隔地插入n1個分點，分別過這些分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，下列說法中正確的個數(shù)是()n個小曲邊梯形的面積和等于s；n個小曲邊梯形的面積和小于s；n個小曲邊梯形的面積和大于s；n個小曲邊梯形的面積和與s之間的大小關(guān)系無法確定a1b2 c3 d42設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0x1xi1xi0時為勻加速直線運動，a0時為勻減速直線運動，對于vat2btc(a0)，及vv(t)是t的三次、四次函數(shù)時，汽車做的都是變速(即變加速或變減速)直線運動答案：b4解析：將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為1，2，于是所求平面圖形的面積近似等于(1)1.02.答案：1.025解：(1)把區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間，(i1,2，n)，其長度為x，即把三角形分成一個小三角形和(n1)個小梯形，