一九八七年全國高中數學聯賽試題.doc

一九八七年全國高中數學聯賽試題(由河南省主辦)第一試一選擇題(每個小題選對得5分，不選得1分；選錯或選出的代號超過一個者得0分本題滿分20分)：1對任意給定的自然數n，若n6+3a為正整數的立方，其中a為正整數，則( ) A這樣的a有無窮多個 B這樣的a存在，但只有有限個 C這樣的a不存在 D以上A、B、C的結論都不正確 (上海供題) 2邊長為5的菱形，它的一條對角線的長不大于6，另一條不小于6，則這個菱形兩條對角線長度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12 (天津供題) 3在平面直角坐標系中縱橫坐標均為有理數的點稱為有理點，若a為無理數，則過(a，0)的所有直線中( ) A有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 B恰有n(2n+)條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 C有且僅有一條直線至少通過兩個有理點 D每條直線至多通過一個有理點(河南供題) 4如圖，ABC的頂點B在單位圓的圓心上，A、C在圓周上，ABC=2(00，B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|。若AB是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則的值為 (青海供題)3若k是大于1的整數，是x2kx+1=0的一個根，對于大于10的任意自然數n，+的個位數字總是7，則k的個位數字是 (河北供題)4現有邊長為3，4，5的三角形兩個，邊長為4，5，的三角形四個，邊長為，4，5的三角形六個，用上述三角形為面，可以拼成 個四面體(江西供題)5五對孿生兄妹參加k個組活動，若規(guī)定： 孿生兄妹不在同一組；非孿生關系的任意兩個人都恰好共同參加過一個組的活動，有一人只參加兩個組的活動，則k的最小值為 (命題組供題)一九八七年全國高中數學聯賽試題第一試參考答案一選擇題(每個小題選對得5分，不選得1分；選錯或選出的代號超過一個者得0分本題滿分20分)：1對任意給定的自然數n，若n6+3a為正整數的立方，其中a為正整數，則( ) A這樣的a有無窮多個 B這樣的a存在，但只有有限個 C這樣的a不存在 D以上A、B、C的結論都不正確 (上海供題) 解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k取a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k為任意正整數)，則n6+3a為正整數的立方，由于k可任意取值，且當k增大時，a也隨之增大即a有無數個選A2邊長為5的菱形，它的一條對角線的長不大于6，另一條不小于6，則這個菱形兩條對角線長度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12 (天津供題) 解：設x3，y3，且x2+y2=25滿足要求的點構成直角坐標系中一段弧(圖中粗線部分)令x+y=k，則當直線經過點(4，3)時取得最大值7即2x+2y14選B3在平面直角坐標系中縱橫坐標均為有理數的點稱為有理點，若a為無理數，則過(a，0)的所有直線中( ) A有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 B恰有n(2n+)條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 C有且僅有一條直線至少通過兩個有理點 D每條直線至多通過一個有理點 (河南供題) 解：若直線斜率為k，則當k=0時直線經過x軸上所有有理點當k0時，直線方程為y=k(xa)若k為有理數，則當x為有理數時，y為無理數；若k為無理數，若此時直線經過一個有理點A(x1，y1)，對于直線上與A不重合的點B(x2，y2)由y1=k(x1a)，y2=k(x2a)，由于a為無理數，故y10，x2a0，=m，當y2為有理數時，m為有理數，當y2y1時，m1，此時x2=mx1+(1m)a為無理數即此直線上至多有一個有理點選C4如圖，ABC的頂點B在單位圓的圓心上，A、C在圓周上，ABC=2(00 B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|若AB是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則的值為 (青海供題)解：集合A的圖形是依次連(，0)，(0，)，(，0)，(0，)四點的線段集合B的圖形是直線x=1，x=1，y=1，y=1它們交得一個正八邊形若此4條直線為圖中的4條實線，則=tan22.5+1= 或此正八邊形各邊與原點距離相等，知直線x+y=與原點距離=1= 若此4條直線為圖中的4條虛線，則=2+2，=2+ =2或2+ 3若k是大于1的整數，是x2kx+1=0的一個根，對于大于10的任意自然數n，+的個位數字總是7，則k的個位數字是 (河北供題)解：另一根=1，+1=k，記+kn(mod 10)，0kn3)名乒乓球選手單打若干場后，任意兩個選手已賽過的對手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個選手已賽過的對手仍然都不完全相同(北京供題)一九八七年全國高中數學聯賽試題第二試參考答案一如圖，ABC和ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，現固定ABC，而將ADE繞A點在平面上旋轉，試證：不論ADE旋轉到什么位置，線段EC上必存在點M，使BMD為等腰直角三角形(命題組供題)證明：以A為原點，AC為x軸正方向建立復平面設C表示復數c，點E表示復數e(c、eR)則點B表示復數b=c+ci，點D表示復數d=eei把ADE繞點A旋轉角得到ADE，則點E表示復數e=e(cos+isin)點D表示復數d=d(cos+isin)表示EC中點M的復數m=(c+e) 表示向量的復數：z1=b(c+e)=c+cice(cos+isin)=ecos+(cesin)i表示向量的復數：z2=dm=(eei)(cos+isin)ce(cos+isin)=(esinc)iecos顯然：z2=z1i于是|MB|=|MD|，且BMD=90即BMD為等腰直角三角形故證二在坐標平面上，縱橫坐標都是整數的點稱為整點試證：存在一個同心圓的集合，使得 每個整點都在此集合的某個圓周上； 此集合的每個圓周上，有且只有一個整點(辛澤爾定理) (四川供題) 證明 取一點，其兩個坐標都是無理數，例如W(，)，先證明，以W為圓心，任意長為半徑作的圓，至多通過一個格點設某個以W為圓心的圓通過兩個格點(m，n)，(p，q)(m，n，p，qZ)，則(m)2+(n)2=(p)2+(q)2展開整理得，m2+n2p2q2=2(pm)+2(qn)左邊是有理數，右邊當且僅當p=m，q=n時為有理數故證于是可知以W為圓心的圓至多通過一個格點現考慮，平面上所有的點與W的距離，這些距離沒有兩個相等故可以把所有的距離按從小到大排隊0=r0r1r2r3rn3)名乒乓球選手單打若干場后，任意兩個選手已賽過的對手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個選手已賽過的對手仍然都不完全相同(北京供題) 證明 方法一：用A、B、表示選手，而用(A)、(B)表示A、B已賽過的對手集合設A是對手集中元素最多的的選手若命題不成立，則存在兩個選手B、C使去掉A后，B、C的對手集相同，由于(B)(C)，故A必屬于(B)與(C)之一不妨設B(A)，C(A)同樣存在D、E，使D(C)，E(C)，去掉C后，(D)=(E)，由于A(C)，故DA：又D(C)，故D(B)，即B(D)=(E)C，從而B(E)，C(E)，而去掉A后，B、C的對手集相同，從而E=A于是(A)=(E)=(D)C，即(A)比(D)少一個元素C，這與A是“對手集中元素最多的”矛盾故證方法二：把這些選手編為1至n號，以n個點表示這n個人，各點也相應編為1至n號反設去掉任何一各選手后都有兩個選手的已賽過的對手完全相同于是先去掉1號選手，則有兩個選手的已賽過的對手完全相同，設為第i號與第j號，在表示此二人的點間連一條線，并在線上注上“1號”這說明，此二人在去掉1號選手之前必是一人與1號賽過，另一人與1號沒有賽過而且不可能在去掉1號后有三人都相同，否則，此三人與1號選手比賽的情況只有兩種：賽過或沒有賽過，如果去掉1號后，此三人的情況完全相同，則去掉1號之前必有2人賽過的對手完全相同如果去掉1號后有不止一對選手的已賽過對手完全相同，則只任取其中的一對連線，其余的對則不連線連線后把1號選手放回來，再依次去掉2號、3號，直至n號，每去掉1個選手，都會在某兩點之間連出1條線這樣，就在n個選手之間連了n條線且這些線上分別注了1至n號，每條線注了1個號碼，每個號碼只注在1條線上在這10個點中，總能找到一點，從這點出發(fā)，沿線前進，最后必能回到此點，否則，每到1點后