19范數(shù)理論及其應(yīng)用.doc

第十九講 范數(shù)理論及其應(yīng)用一、向量范數(shù)范數(shù)可以看作長度概念的推廣，主要用于逼近的程度。 1. 向量范數(shù)定義：設(shè)V為數(shù)域K上的向量空間，若對于V的任一向量x，對應(yīng)一個實值函數(shù)，并滿足以下三個條件： （1）非負性 ，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立； （2）齊次性 （3）三角不等式。則稱為V中向量x的范數(shù)，簡稱為向量范數(shù)。例1. ，它可表示成， 就是一種范數(shù)證明：（i）非負性 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x0時，0 （ii）齊次性 （iii） ， 根據(jù)Hlder不等式：， 2. 兩類向量范數(shù)（1）推廣到 ，A為厄米正定矩陣（橢圓范數(shù)）當(dāng)， 加權(quán)范數(shù)（2） （p1）,稱為向量的p-范數(shù)或范數(shù)。證明：顯然滿足非負性和齊次性 （iii），應(yīng)用Hlder不等式 即 3. 向量范數(shù)的等價性定理1. 設(shè)、為的兩種向量范數(shù)，則必定存在正數(shù)m、M，使得 ，（m、M與x無關(guān)），它就稱為向量范數(shù)的等價性。同時有二、矩陣范數(shù)1. 矩陣范數(shù)定義：設(shè)表示數(shù)域k上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A，均對應(yīng)一個實值函數(shù)，并滿足以下四個條件： （1）非負性： ，等號當(dāng)且僅當(dāng)A=0時成立； （2）齊次性： （3）三角不等式：則稱為廣義矩陣范數(shù)； （4）相容性： 則稱為矩陣范數(shù)。2. 常用的矩陣范數(shù)（1）p-范數(shù)：，,x為所有可能的向量， ，可以證明： 列（和）范數(shù)譜范數(shù) 行（和）范數(shù) （2）Frobenius范數(shù)（F-范數(shù)）和導(dǎo)出性范數(shù) F-范數(shù)： 導(dǎo)出性范數(shù)：設(shè)為數(shù)域k上n維向量空間（k=R或C）的一種向量范數(shù)?？啥x矩陣范數(shù)為： 三、應(yīng)用逼近和誤差估計是矩陣范數(shù)應(yīng)用的主要領(lǐng)域。 矩陣條件數(shù)：由相容性可知：對于導(dǎo)出性范數(shù) 條件數(shù)反映了誤差放大的程度，條件數(shù)越大，矩陣越病態(tài)。對于方程 考慮兩種情況：(1) b存在誤差； (2) A存在誤差（1） b存在誤差，求出的x存在誤差，考察相對誤差，求 （2） A存在誤差，求出