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第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 39 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 剛體是一個特殊的質(zhì)點系統(tǒng) 但我們?nèi)匀豢梢赃\用質(zhì)點的運動的規(guī)律加以研 究從而使牛頓力學的研究范圍從質(zhì)點擴展到剛體 3 1 轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量 計劃學時 2 計劃學時 2 一 轉(zhuǎn)動動能一 轉(zhuǎn)動動能 剛體以角速度 轉(zhuǎn)動時 剛體上不同的質(zhì)點的線速度并不相同 我們找任意 一個質(zhì)點i 其質(zhì)量為 i m 定軸轉(zhuǎn)動的半徑為 i r 則該質(zhì)點的動能 2 22 2 1 2 1 iiii rmvm 則剛體的轉(zhuǎn)動動能就是所有質(zhì)點動能之和 2 22 k 2 1 2 1 i ii i ii rmvmE 基本概念 轉(zhuǎn)動慣量 質(zhì)量密度 重點 掌握 掌握 基本關(guān)系或規(guī)律 剛體轉(zhuǎn)動動能的描述 掌握 任務目標 1 理解質(zhì)點系和質(zhì)量連續(xù)分布剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算形式 2 理解常見物體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量的推到 并牢記牢記細棒對中心軸和端點 軸 圓環(huán)對中心軸和直徑軸 薄圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 3 了解平行軸定理和垂直軸定理 作業(yè) 物理教研室 Lyon 40 我們定義 i iir mI 2 為轉(zhuǎn)動慣量 則剛體的轉(zhuǎn)動動能 2 k 2 1 IE 我們把轉(zhuǎn)動動能和平動動能相比較 2 k 2 1 mvE v Im 可見 在 平動中 我們用質(zhì)量m來描述物體的慣性 在轉(zhuǎn)動中 我們用轉(zhuǎn)動慣量 moment of inertia I來描述轉(zhuǎn)動物體的慣性 轉(zhuǎn)動慣量的國際單位是 2 mkg 思考 孫悟空在耍金箍棒時 一般會手持什么地 方 手持中間部位與手持一端 用同樣力作用 達到 的轉(zhuǎn)動速度相同嗎 video 4m50s 慣性大小可以衡量一個物體的運動狀態(tài)是否容易改變 對于平動 只用質(zhì)量 的大小即可 但對于轉(zhuǎn)動 即使質(zhì)量相同的物體 如果形狀不同 質(zhì)量分布不同 轉(zhuǎn)動狀態(tài)是否容易改變也是不同的 所以 轉(zhuǎn)動的慣量 1 與質(zhì)量有關(guān) 2 與質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān) 即形狀 轉(zhuǎn)軸位置 二 轉(zhuǎn)動慣量的計算二 轉(zhuǎn)動慣量的計算 1 計算公式 計算公式 對于質(zhì)點系 i iir mI 2 對于質(zhì)量連續(xù)分布 m mrId 2 2 質(zhì)量密度 質(zhì)量密度 a 線密度 質(zhì)量沿線分布 線的長度遠遠大于線截面的直徑 Dl l m d d 若均勻分布 有 l m b 面密度 質(zhì)量分布在一個平面內(nèi) 面的線度遠遠大于面的厚度 hl S m d d 若均勻分布 有 S m c 面密度 質(zhì)量分布在三維立體內(nèi) V m d d 若均勻分布 有 V m 在今后的學習中 我們還會學習到電荷密度的概念 也會涉及到上述三種密 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 41 度分布 一定要領會好上述密度的概念 3 應用舉例 應用舉例 a 兩質(zhì)點組成的體系的轉(zhuǎn)動慣量 此模型屬于質(zhì)點系 則 22 22 2 22 2 11 2 sinsinsinmllmlm rmrmrmI i ii b 均勻細桿的轉(zhuǎn)動慣量 設細桿的質(zhì)量為m 長度為l 質(zhì)量屬 于連續(xù)分布 則質(zhì)量線密度 l m 我們?nèi)?一小段質(zhì)元 質(zhì)量為md 長度為xd x l m xmddd 我們分析如下三種情形 1 轉(zhuǎn)軸通過細桿中心且與細桿垂直 2 2 2 3 2 2 22 12 1 3 ddmlx l m x l m xmxI l l l l m 2 轉(zhuǎn)軸位于細桿一端且與細桿垂直 2 0 3 0 22 3 1 3 ddmlx l m x l m xmxI l l m 3 轉(zhuǎn)軸通過距離細桿中心h處一點 且 與細桿垂直 22 2 2 3 2 2 22 12 1 3 dd mhml x l m x l m xmxI h l h l h l h l m 在此 給出平行軸定理 設剛體繞通過其質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 0 I 如果 有另一條軸線與這個通過質(zhì)心的軸線平行 且兩軸線間的距離為h 則通過這個新 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 2 0 mhII c 均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量 物理教研室 Lyon 42 設圓環(huán)的質(zhì)量為m 半徑為R 質(zhì)量屬于連續(xù)分布 則質(zhì)量線密度 R m 2 我們?nèi)∫恍《钨|(zhì)元md 其長度為l d 則 d 2 d 2 dd m l R m lm 我們分析如下兩種情形 1 轉(zhuǎn)軸通過圓環(huán)中心且與圓環(huán)所 在平面垂直 我們選取的質(zhì)元md與轉(zhuǎn)軸的 距離總是R 則 222 ddmRmRmRI mm 2 轉(zhuǎn)軸通過圓環(huán)中心且在圓環(huán)所在平面內(nèi) 我們選取的質(zhì)元md到轉(zhuǎn)軸的距離為是 sinR 而 d 2 d m m 則 2 d 2 cos2 1 2 d 2 sindsin 2 2 0 2 2 0 2222 mRmRm RmRI m 我們看到 如果在 1 的情形下 如果以圓心為原點 圓環(huán)所在平面為xOy平 面 則 222 yxR 則 yx 222 z dddIImymxmRI mmm 在此 我們給出垂直軸定理 如果一剛體質(zhì)量分布在xOy平面內(nèi) 有 yxz III d 均勻薄圓盤繞過其圓心的垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量 設圓盤的質(zhì)量為m 半徑為R 質(zhì)量屬 于連續(xù)分布 則質(zhì)量面密度 2 R m 我們 取一同心小圓環(huán)作為微元進行研究 距離圓 心r 寬 度rd 則 這 個 圓 環(huán) 的 面 積 rrSd2d 其質(zhì)量為 rr R m rr R m Smd 2 d2dd 22 則這個微元圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為 rr R m mrId 2 dd 3 2 2 則整個圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 43 2 0 3 2 2 1 d 2 dmRrr R m II R e 球殼 球體繞通過球心的軸的轉(zhuǎn)動慣量的求法說明 1 球殼 取圓心角為 處的一環(huán)帶為微元 半徑為 sinRr 環(huán)帶面積 dsin2d2d 2 RRrS 則有環(huán)帶質(zhì)量 dsin2dd 2 RSm dsin2dd 342 RmrI 因此 2 0 34 3 2 dsin2dmRRII 2 球體 取半徑為r處的球殼為微元 然后對r由0至R積分可得 2 5 2 mRI f 轉(zhuǎn)動慣量綜合舉例 1 222 3 4 3 1 mlmlmlI 2 222 12 5 12 1 3 1 mlmlmlI 3 222 3 1 d 3 1 d 3 1 mamamaI mm g 不規(guī)則形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量 形狀不規(guī)則 則不能對物體的質(zhì)量分布進行積分 我們可以通過實驗測量的 方式得到其轉(zhuǎn)動慣量 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 45 3 2 角動量 力矩角動量 力矩 計劃學時 1 計劃學時 1 我們都知道 剛體的平動和轉(zhuǎn)動在處理上有很大的相似性 很多物理量都能 相互對應起來 那么 剛體平動中的動量 力等物理量 在轉(zhuǎn)動中又有什么物理 量相對應呢 我們引入角動量和力矩的概念來進行研究 一 角動量一 角動量 1 質(zhì)點的角動量 質(zhì)點的角動量 我們定義質(zhì)點繞O點轉(zhuǎn)動的角動量 angular momentum 為 質(zhì)點的位矢與其 動量的矢積 即 prL 其中 位矢r是由O點指向質(zhì)點的位矢 兩個矢量的矢積也是矢量 其方向 遵循右手定則 sinsinrmvrpL L 方向垂 直于r和p決定的平面 角動量的單位是 smkg 2 由于 sinr是位矢在垂直于動量方向上的大小 所以也把 sinr稱為動量臂 則 角動量也經(jīng)常被稱作動量矩 moment of momentum 通常 我們研究z方向的角動量 所以 cos z LL 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 剛體的角動量是由構(gòu)成剛體的各個質(zhì)點的角動量的矢量和 即 基本概念 角動量 力矩 重點 掌握 基本關(guān)系或規(guī)律 任務目標 作業(yè) 物理教研室 Lyon 46 i iii i i mvrLL 通常我們應用剛體對角速度方向所在的 z 軸的角動量 即 IrmL i ii 2 二 力矩二 力矩 思考 剛體受到外力的作用一定會發(fā)生轉(zhuǎn)動嗎 我們開門的時候 如果將力施 加到哪里門不會動 施加在門軸上 或者與門軸平行 1 力 力F對對 O 點的力矩點的力矩 我們將力對質(zhì)點的力矩 moment 定 義為 FrM 和角動量一樣 力矩也是矢積 有方 向 遵循右手定則 力矩的大小 sinrFM 方向垂直于 r和F決定的平面 力矩的國際單位是 mN 不難發(fā)現(xiàn) 力矩的大小等于以位矢 和力為鄰邊的平行四邊形的面積 如果作用在一個質(zhì)點上的力F是多個力的合力 即 i i FF 則合力矩 i i i i MFrFrM 可見 合力對質(zhì)點的合力矩是各分力對同一點的分力矩的矢量和 2 力 力F對軸的力矩對軸的力矩 在平面坐標系中 力矩可以寫為 kjiM zyx MMM 而 位矢kjirzyx 力kjiF yxz FFF 則 zyx xyzxyz z FFF zyxyFxFxFzFzFyF FFFzyx kji kji kjikjiFrM yx 我們一般研究力沿z軸方向的力矩 力矩只有沿轉(zhuǎn)軸的方向的分量才會起作 用 所以 一般只用力矩沿z軸方向分量的標量即可 即 cos z MM 如果F是 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 47 多個力的合力 即 i i FF 則沿 z 軸方向分量的合力矩 i i MM zz 也就是說 合力對轉(zhuǎn)軸的合力矩 等于分力對轉(zhuǎn)軸分力矩的代數(shù)和 所以 我們可以用正負號來反應力矩的方向性 3 力 力F作用于剛體上的力矩作用于剛體上的力矩 若力的作用點為 P r為轉(zhuǎn)軸到 P 的位矢 則力矩為FrM 若力與轉(zhuǎn)動平面有一夾角 則可以只考慮力在轉(zhuǎn)動平面上的分量 解 3 4 細棒上各點距離轉(zhuǎn)軸的距離r各不相同 所以 以轉(zhuǎn)軸為原點 沿棒的方向建立坐標軸 在x處取一微元xd 則微元所受摩擦力 x l mg mgfddd 則摩擦力矩 xx l mg fxMddd 則mglxx l mg MM l 4 1 d2d 2 0 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 49 3 3 力矩的功與轉(zhuǎn)動動能定理力矩的功與轉(zhuǎn)動動能定理 計劃學時 1 計劃學時 1 一 力矩的功和功率一 力矩的功和功率 質(zhì)點在外力的作用下發(fā)生了位移 我們說 力做了功 而剛體在力矩的作用 下發(fā)生了角位移 我們說 力矩也做了功 dddd z MrFSFdA rF 所以 力矩的功 0 d z MA 若M為以恒力矩 則 0z MA 合力矩的功 是沿 z 軸力分力矩的功的代數(shù)和 剛體內(nèi)部的能力成對出現(xiàn) 大小相等 方向相反 則內(nèi)力矩的總功0 內(nèi) A 類似的 我們也有功率的概念 z z d d d d M t M t A P 二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 我們知道 根據(jù)質(zhì)點平動的動能定理 合外力的功等于動能的增量 對于剛 體 這個定理仍然適用 由于剛體內(nèi)力矩的功為 0 則合外力的功體現(xiàn)為和外力矩 做功 動能則體現(xiàn)為剛體的轉(zhuǎn)動動能 所以 2 k 2 1 ddd IEA 則 2 0 2 z 2 1 2 1 d 0 IIMA 此式表明 剛體和外力矩的功等于體系轉(zhuǎn)動動能的增量 這就是剛體定軸轉(zhuǎn) 動的動能定理 基本概念 基本關(guān)系或規(guī)律 任務目標 1 會計算剛體力矩的功 2 掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 并會應用其解題 作業(yè) 二 1 物理教研室 Lyon 50 需要指出的是 公式中的角量 必須是針對同以轉(zhuǎn)軸的 解 3 5 1 細棒在下落的過程中 重力臂的大小 不斷發(fā)生變化 當桿與水平方向成 角時 重 力矩 cos 2 l mgM 則桿轉(zhuǎn)過極小的角位 移 d時 重力的元功 dcos 2 d l mgA 所 以整個過程 重力矩的功 2 l mgA 當然 此問也可用質(zhì)心的重力勢能計算 2 根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動的動能定理 0 2 1 2 2 I l mgA 其中 2 3 1 mlI 所以 l g3 3 由題意 gl l v3 2 1 2 解 3 6 根據(jù)機械能守恒 重物下落h高的勢能 轉(zhuǎn)化為兩部分 物體運動的動能 以及圓盤轉(zhuǎn) 動的轉(zhuǎn)動動能 因此 22 2 1 2 1 Imvmgh 其中 2 2 1 RmI 是圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 圓盤邊緣 的線速度與重物下落的速度始終相同 所以 Rv 則是重物下落的線速度 于是 22222 4 1 2 1 4 1 2 1 vmmvRmmvmgh 解得 2 2 mm mgh v 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 51 3 4 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 計劃學時 1 計劃學時 1 質(zhì)點在合外力的作用下產(chǎn)生了加速度 力是產(chǎn)生加速度的原因 那么角加速 度又是如何產(chǎn)生的呢 根據(jù)轉(zhuǎn)動動能定理有 k ddEA 則 dd d d d 2 1 dd 2 I t IIIM 所以 IM 這就是轉(zhuǎn)動定律 其表明 力矩是剛體產(chǎn)生角加速度的原因 對于剛體定軸轉(zhuǎn)動 角動量 IL 于是 t L t I t IIM d d d d d d 即 t L M d d 實驗表明 當物體的轉(zhuǎn)動慣量I發(fā)生變化時 上式仍然適用 應用轉(zhuǎn)動定律應 注意 1 M是合外力矩的代數(shù)和 2 力矩是角加速度產(chǎn)生的原因 M與 有瞬時關(guān)系 3 公式中的角量必須是針對同一個轉(zhuǎn)軸的 基本概念 基本關(guān)系或規(guī)律 轉(zhuǎn)動定律 IM 掌握 任務目標 1 掌握用剛體的轉(zhuǎn)動定律 并會應用其解題 2 掌握求解滑輪問題的一般步驟 作業(yè) 二 2 4 三 3 物理教研室 Lyon 52 解 3 7 由題意 力矩RtRFM2 根據(jù)轉(zhuǎn)動 定律 t IIRt d d 2 其中 2 2 1 mRI 是 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 所以 2 2 2 rad s4 4 2 1 2 t mR t mR Rt dd4mRtt 則 rad s4 2 2 mR t 解 3 8 首先 選擇沿圓盤轉(zhuǎn)動的順時針方向 為正方向 繩兩端的拉力 1 T和 2 T并不相 等 分別對物體應用牛頓定律 對圓盤應 用轉(zhuǎn)動定律有 對 1 m amgmT 111 對 2 m amTgm 222 對m IRTRT 12 其中 2 2 1 mRI 是圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 根據(jù)角量有線量的關(guān)系有 Ra 則根據(jù)上述公式得 mmm gmm a 21 12 22 2 mmm gmmm T 21 12 1 22 4 mmm gmmm T 21 22 2 22 4 可見 只有當圓盤的質(zhì)量0 m時 g mm mm TT 21 21 21 2 解決定滑輪問題 首先要選擇好正方向 順時針或逆時針 然后列三類方程 對物體列牛頓方程 對圓盤列轉(zhuǎn)動定律方程 列角量與線量關(guān)系方程 則可以解決定滑輪問題 第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律 53 3 5 角動量定理與角動量守恒定律角動量定理與角動量守恒定律 計劃學時 2 計劃學時 2 思考 為什么陀螺轉(zhuǎn)動起來就不容易倒 兩輪的 自行車在運行起來就不容易倒 VIDEO 1m13s 一 質(zhì)點角動量定理與角動量守恒定律一 質(zhì)點角動量定理與角動量守恒定律 質(zhì)點角動量的定義為vrLm 根據(jù)牛頓第二定律 vFm t d d 則 vrFrm t d d 由于 vrvvvrv r vrvrm t mm t m t m t m td d d d d d d d d d 則 vrFrm t d d 即 t d dL M 上式就是質(zhì)點的角動量定理 theorem of angular momentum 說明 作用于質(zhì) 點上的合力矩等于質(zhì)點的角動量對時間的變化率 若作用于質(zhì)點上的合力矩0 M 則0 d d t L 即角動量不隨時間變化 也就是 說 L是恒矢量 角動量守恒 注 基本概念 基本關(guān)系或規(guī)律 任務目標 1 掌握質(zhì)點的角動量定理 2 掌握質(zhì)點的角動量守恒定律 并會應用其解題 3 掌握剛體的角動量定理 4 掌握剛體的角動量守恒定律 并會應用其解題 作業(yè) 一 1 2 二 3 三 1 2 4 物理教研室 Lyon 54 1 0 FrM 有三種情形 0 r 如力的作用點在轉(zhuǎn)軸上 0 F 物體不受合外力的作用 Fr 即質(zhì)點受有心力的作用 如萬有引力 2 L是恒矢量 不僅角動量的大小不變 方向也不變 而角動量的方向