§2—3 單位元、逆元、消去律及有限群的另一定義.doc

第 6 講23 單位元、逆元、消去律及有限群的另一定義（1課時(shí)） ( Identity inverses cancellation law and another definition of finite group ) 教學(xué)目的和要求：消去律是群這個(gè)代數(shù)體系所固有的代數(shù)特征，根據(jù)這個(gè)特征我們可以對(duì)有限群做出新的定義。本講要求學(xué)生能理解消去律的意義和有限群的新定義。本講的重點(diǎn)和難點(diǎn)：有限群的另一定義的證明本身并不長(zhǎng)，但要吃透證明過程中的每一步驟，并非易事，要求同學(xué)能弄通這一定理的證明過程。注意：本講教材中的有些內(nèi)容，已在前講中討論過了（譬如：?jiǎn)挝辉?、逆元等概念），所以在本講中，對(duì)有些內(nèi)容只需一帶而過。一、復(fù)習(xí)本節(jié)中的許多概念在上節(jié)里都已出現(xiàn)，這里只稍微地提一下。（1）單位元 任一個(gè)群中都在唯一的單位元具有性質(zhì)：注：如果是加法群時(shí)，中的單位元換叫做“零元”，記為“0”（2）逆元 群中任一個(gè)元素，都在中有唯一的逆元，具有性質(zhì)： .注：如果是加法群時(shí)，的逆元改叫做“負(fù)元”，并記為“”.（3）群元素的指數(shù)律和倍數(shù)律（略）（4）模剩余類加群.課后思考題：模剩余類集合對(duì)于給定的“加法”確實(shí)能構(gòu)成一個(gè)加法群。那么對(duì)于整數(shù)的乘法是否也能成群？譬如規(guī)定：？為此，可做如下討論.（1）如果成為群，那么單位元就只能是這一點(diǎn)憑直覺就能察覺出。那么會(huì)充當(dāng)什么角色？有逆元嗎？（回答是否定的）（2）既然不能成群（都是 惹的禍）那么令. 這樣一來，就能成群?jiǎn)?？仔?xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)新問題：當(dāng)時(shí)，而這表明對(duì)運(yùn)算不封閉，故也成不了群.（3）試問: 有可能成為群?jiǎn)?對(duì)有什么要求?結(jié)論1：當(dāng)素?cái)?shù)時(shí)， 必是一個(gè)群.證明：（中元素對(duì)乘法是封閉的），則不整除，不整除. 由于是素?cái)?shù)，由素?cái)?shù)的性質(zhì)知不能整除（）。由等價(jià)類的定義（），這表明。（結(jié)合律成立），我們有.（存在單位元）是的單位元.（每個(gè)元都有逆元），由于是一個(gè)素?cái)?shù)結(jié)論2：設(shè)是一個(gè)monoid，令，實(shí)證是一個(gè)群.證明：因?yàn)槭强赡娴?，所以中有單位元，其次，那么分別是它們的逆元，即，于是，這表明：有逆元，.由于，故自然滿足結(jié)合律，所以是群.注：從上述討論中自然知道：若是群的單位元，若可逆也可逆且.二、元素的階前一講里，我們已介紹了群的階：中所含元素的個(gè)數(shù).下面利用單位元，能引入另一個(gè)新概念:定義1：設(shè)為群，而. 如果有整數(shù)，使，那么使這個(gè)等式成立的最小正整數(shù)叫做的階，記為. 如果這樣的不存在，則稱的階是無限的，記為=+.（省略）例1 乘法群中，是單位元，顯然，而同理知.例2 加法群中，是單位元，例3 加法群中，0是單位元. ，而其它元素=+.例4 乘法群中，1是單位元，而其它元素的階都是無限.注：加法群中，元素的階的定義自然需做相應(yīng)的變化：設(shè)，能夠使的最小正整數(shù)叫做的階，若這樣的不存在，則稱的階是無限的，的階仍記為.例5 設(shè)是由的三個(gè)復(fù)根組成的集合，而中的代數(shù)運(yùn)算“”是通常的乘法，那么必為一個(gè)乘法群. 其中習(xí)慣上記為，叫做3次單位根群。這里 .事實(shí)上（1）.（2）結(jié)合律顯然成立（因?yàn)閺?fù)數(shù)集中滿足結(jié)合律）.（3）是中的單位元.（4）的逆元是，與互為逆元.不僅如此，我們還知：.定理1：每一個(gè)群都適合消去律：證明：設(shè)且有，那么用的逆元左乘上等式兩端：成立，同理知也成立。（注：叫做左消去律，叫做右消去律）三、有限群的另一定義1. 問題的提出：若是群，則必滿足（1）封閉性（2）結(jié)合律（3）消去律。但如果代數(shù)體系能滿足（1）（2）和（3），是否可斷定就是群呢？先看下面的例子：代數(shù)體系顯然滿足（1）封閉性（2）結(jié)合律（3）消去律，但不是群（因?yàn)槌撕屯?，其他元素都沒有逆元）.上例所以不能成為群，關(guān)鍵是為無限集，如果是有限集，那情形就不一樣了。定理2：設(shè)是一個(gè)有限集，若滿足（1）封閉性（2）結(jié)合律（3）消去律，那么一定是一個(gè)群.證明：（只需證明方程和在中有解）先證在中有解，.因?yàn)槭怯邢藜?，不妨設(shè)，即，現(xiàn)用左乘中的每個(gè)元素，得到.由（1）中每個(gè)，所以又由于（3）只要，則中也含有個(gè)元素，于是又由于，即使的解.同理可以證明有解.思考題及課后訓(xùn)練：一、若=+，即使能滿足封閉性、結(jié)合律和消去律，則也不可能成為群，這種說法對(duì)嗎？二、設(shè)是個(gè)有限半群，那么為群中有消去律成立.三、設(shè)是群，那么（1），若存在，使（可知的階是有限的）（2）證明：（1）由于，這本身說明+，令，若，則與元素的階的定義矛盾，故知.（2）若，那么，另外，由（1）知，若，于是有，且，即.注：在（2）的證明中，用到“”.四、設(shè)為群，那么（1）.（2）.證明：（1）（2）由數(shù)學(xué)歸納法可證。五、For each of the following rules in a group G, tell us which is right.(1)If, then; (2) If, then; (3)(4) If, then; (5) If, then.六、Let and be elements of a group G, On each of the following, solve for in terms of and (1) If , then . (2) If , then .(3) and , then .(4) If and , then .(5) If and , then .(6) If and , then .七、Every element of group G is finite order if G is finite group.證明：設(shè)，若且=都是中的非零元，如果且，由消去律，這與無限矛盾，這說明只要是兩兩不同的，這與矛盾.八、If every element in group G, has , then G in commutative.證明：,而是可換群.作業(yè)： 2，3.證明思路：2、取有限群中一個(gè)階的元說明中階的元是成對(duì)出現(xiàn)的3、由上題2知階的元的個(gè)數(shù)是偶數(shù)階的元也必是偶數(shù)（是偶數(shù)），但，且只有一個(gè)階=2的元的個(gè)數(shù)為奇數(shù).由上討論可知：“若+”.這個(gè)命題的逆命題成立嗎？也就是說，“若且+”回答是否定的.反例：設(shè)，可以驗(yàn)證：是一個(gè)乘法群且是的單位元.顯然, 中每個(gè)元的階都有限. 但確有 .關(guān)于中元素的階我們有如下結(jié)論：結(jié)論1. 設(shè), 且若使 , 且 (但不能保證 )【證明】: 由整數(shù)的帶余除法知, 使 ,. 如果,那么 .結(jié)論2. 設(shè)且,那么 .【證明】：“”正是結(jié)論1. “” .結(jié)論3. 設(shè)且,