江蘇省重點中學高三數(shù)學高考復習：思想方法之1（函數(shù)與方程）新人教版.ppt

第一部分數(shù)學思想方法 專題一函數(shù)與方程的思想方法 函數(shù)與方程是兩個不同的概念 但它們之間有著密切的聯(lián)系 方程f x 0的解就是函數(shù)y f x 的圖象與x軸的交點的橫坐標 函數(shù)y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通過方程進行研究 就中學數(shù)學而言 函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面 一是借助有關初等函數(shù)的性質 解有關求值 解 證 不等式 解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題 二是在問題的研究中 通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù) 把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質 達到化難為易 化繁為簡的目的 許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決 反之 許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決 函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想 也是歷年高考的重點 專題一函數(shù)與方程的思想方法 知識概要 1 函數(shù)的思想 是用運動和變化的觀點 分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系 建立函數(shù)關系或構造函數(shù) 運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題 轉化問題 從而使問題獲得解決 函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質認識 用于指導解題就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察 分析和解決問題 2 方程的思想 就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系 建立方程或方程組 或者構造方程 通過解方程或方程組 或者運用方程的性質去分析 轉化問題 使問題獲得解決 方程的思想是對方程概念的本質認識 用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題 方程思想是動中求靜 研究運動中的等量關系 專題一函數(shù)與方程的思想方法 知識概要 3 1 函數(shù)和方程是密切相關的 對于函數(shù)y f x 當y 0時 就轉化為方程f x 0 也可以把函數(shù)式y(tǒng) f x 看做二元方程y f x 0 函數(shù)問題 例如求反函數(shù) 求函數(shù)的值域等 可以轉化為方程問題來求解 方程問題也可以轉化為函數(shù)問題來求解 如解方程f x 0 就是求函數(shù)y f x 的零點 2 函數(shù)與不等式也可以相互轉化 對于函數(shù)y f x 當y 0時 就轉化為不等式f x 0 借助于函數(shù)圖象與性質解決有關問題 而研究函數(shù)的性質 也離不開解不等式 專題一函數(shù)與方程的思想方法 知識概要 3 數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) 用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要 4 函數(shù)f x ax b n n n 與二項式定理是密切相關的 利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題 5 解析幾何中的許多問題 例如直線和二次曲線的位置關系問題 需要通過解二元方程組才能解決 涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論 6 立體幾何中有關線段 角 面積 體積的計算 經常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決 專題一函數(shù)與方程的思想方法 知識概要 1 對任意a 1 1 函數(shù)f x x2 a 4 x 4 2a的值總大于零 則x的取值范圍是 a 1 x 3b x 1或x 3c 1 x 2d x 1或x 2 解析 依題意有x2 a 4 x 4 2a 0恒成立 即 x 2 a x2 4x 4 0恒成立 令g a x 2 a x2 4x 4 把g a 看作是關于主元a的函數(shù) 則g a 是一次函數(shù) x 2 或是常數(shù)函數(shù) x 2 因為a 1 1 要g a 0恒成立 只需 解得x 1或x 3 故選b 點評 本題中 體現(xiàn)了主元的思想 對于多個字母恒成立的問題 這是一種基本方法 b 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 2 已知 a b c r 則有 a b2 4acb b2 4acc b2 4acd b2 4ac 解析 解法1 依題意有 a 5 b c 0 是實系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0的一個實根 b2 4ac 0 b2 4ac 故選b 解法2 去分母 移項 兩邊平方得 5b2 25a2 10ac c2 10ac 2 5ac 20ac b2 4ac 點評 解法1通過簡單轉化 將其看作一個一元二次方程的解 敏銳地抓住了數(shù)與式的內在特點 利用方程思想使問題迎刃而解 解法2轉化為b2關于a c的函數(shù) 可看作是二元函數(shù) 利用重要不等式求解 其求解的思想實質是函數(shù)的思想方法 b 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 3 不等式4x log3x x2 5的解集為 a rb r c x x 1 d x x 2 解析 考察函數(shù)f x 4x log3x x2 定義域為 0 在 0 上不難得知函數(shù)f x 為單調遞增的 當x 1時 f x 5 故4x log3x x2 5的解集為 x x 1 點評 此題初一看上去 是一個含有指數(shù) 對數(shù)的不等式的題 感覺很難求解 但此題的解法卻是巧妙地構造了函數(shù) 利用函數(shù)的單調性進行求解 這也體現(xiàn)了函數(shù)的思想在解題中的應用 c 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 4 已知sin cos 則tan 的值是 a b c d 解析 設tan x x 0 則 解得x 2 再用萬能公式 選a a 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 5 已知等差數(shù)列的前n項和為sn 且sp sq p q p q n 則sp q 解析 利用是關于n的一次函數(shù) 設sp sq m 則 p q x p q 在同一直線上 由兩點斜率相等解得x 0 0 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 6 已知f x lg 且f 1 0 當x 0時 總有f x f lgx 1 求f x 的解析式 2 若方程f x lg m x 的解集是 求實數(shù)m的取值范圍 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 解析 1 由f 1 0得 a b 2 又f x f lgx lg lg lgx 從而 x x 0 a b x 1 0對x 0總成立 則a b 由 解得 a b 1 f x lg 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 2 原方程f x lg m x 可化為 m x 且x 0或x 1 令g x x x 1 3 當x 0時 1 x 2 x 1時取等號 g x 3 2 當x 1時 x 1 2 x 1時取等號 g x 3 2 故方程g x m的解集為 時 m的取值范圍為 3 2 3 2 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 點評 1 列出方程 運用方程思想求解參數(shù)是求參數(shù)常用的基本方法 2 構造輔助函數(shù)g x 運用函數(shù)思想求值域是確定參數(shù)m的取值范圍的關鍵 其次要注意求補集思想的運用 一般地 函數(shù)g x 的值域為d 則方程g x m有解的充要條件是m d 解集是 的充要條件是m crd 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 7 對于函數(shù)f x 若存在x0 r 使f x0 x0成立 則稱x0為f x 的不動點 已知函數(shù)f x ax2 b 1 x b 1 a 0 1 若a 1 b 2時 求f x 的不動點 2 若對任意實數(shù)b 函數(shù)f x 恒有兩個相異的不動點 求a的取值范圍 3 在 2 的條件下 若y f x 圖象上a b兩點的橫坐標是函數(shù)f x 的不動點 且a b關于直線y kx 對稱 求b的最小值 解析 1 當a 1 b 2時 f x x2 x 3 由題意可知x x2 x 3 得x1 1 x2 3故當a 1 b 2時 f x 的兩個不動點為 1 3 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 2 f x ax2 b 1 x b 1 a 0 恒有兩個不動點 x ax2 b 1 x b 1 即ax2 bx b 1 0恒有兩相異實根 b2 4ab 4a 0 b r 恒成立于是 4a 2 16a 0解得0 a 1故當b r f x 恒有兩個相異的不動點時 0 a 1 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 3 由題意a b兩點應在直線y x上 設a x1 x1 b x2 x2 又 a b關于y kx 對稱 k 1設ab的中點為m x y x1 x2是方程ax2 bx b 1 0的兩個根 x y 又點m在直線y x 上有 即 a 0 2a 2當且僅當2a 即a 0 1 時取等號 故b 得b的最小值 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 8 如圖 正方形abcd abef的邊長都是1 而且平面abcd abef互相垂直 點m在ac上移動 點n在bf上移動 若cm bn a 0 a 求mn的長 當a為何值時 mn的長最小 分析 取a作為變量 建立mn的長的表達式 利用函數(shù)思想求mn的最小值 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 解析 作mp ab交bc于點p nq ab交be于點q 連結pq 依題意可得mp nq 且mp nq 即mnqp是平行四邊形 所以mn pq 由已知 cm bn a cb ab be 1 所以ac bf 即cp bq 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 由 得mn 所以 當a 時 mnmin 即m n分別移動到ac bf的中點時 mn的長最小 最小值為 點評 利用函數(shù)關系建立mn的長與a的函數(shù)關系是解決本題的關鍵 立體幾何中的最值問題常借助函數(shù)思想求得 專題一函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 1 函數(shù)思想的應用主要有 求變量的取值范圍 從而轉化為求該函數(shù)的值域 構造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn) 運用函數(shù)思想要抓住事物在運動過程中保持不變的規(guī)律和性質 從而更快更好地解決問題 運用方程觀點解決問題主要有兩個方面 一是從分析問題的結構入手 找主要矛盾 抓住某一關鍵變量 將等式看成關于這個主變量 常稱主元 的方程 然后具體研究這個方程 二是在中學中常見的如求曲線交點 求函數(shù)值域等問題 經常轉化為方程問題去解決 專題一函數(shù)與方程的思想方法 規(guī)律總結 2 在數(shù)