線性代數(shù) 線性方程組習題課 - ppt課件.ppt

線性代數(shù) 向量線性方程組典型例題 線性方程組習題課 2 任一n維向量都是Rn的基本單位向量組的線性組合 1 是的線性組合 可由線性表示 有解 組合系數(shù)就是方程組的一個解 3 一 向量 有非零解 無 只有零解 r n r n 5 線性相關(guān) 4 重要結(jié)論 行變換不改變列向量間的線性關(guān)系 可否由線性表示 豎排行變換 放末列 是否線性相關(guān) 豎排行變換 線性無關(guān) 任一向量都不能由其余向量線性表示 定理3 部分相關(guān) 則整體相關(guān) 整體無關(guān) 則部分無關(guān) 定理4 短無關(guān) 則長無關(guān) 長相關(guān) 則短相關(guān) 定理1 n個n維向量線性相關(guān) 線性無關(guān) 不為0 定理2 向量個數(shù) 向量維數(shù) 其排成的行列式值為0 向量組線性相關(guān) 定理8 向量組與其極大無關(guān)組等價 推論向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價 定理7 向量組 I 可由 II II 可由 線性表示 向量組 I 可由 線性表示 定理9向量組可由線性表示 若t s 則向量組線性相關(guān) 定理10 推論 等價的向量組秩相等 可由線性表示 推論2等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)相等 推論3向量組的所有極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等 定理11矩陣A的行秩 列秩 秩 重要結(jié)論 行變換不改變列向量間的線性關(guān)系 定理1設非齊次方程組Am nX b 則 返回 有解判定定理 二 線性方程組 推論1當齊次線性方程組方程個數(shù)m 未知數(shù)個數(shù)n時 必有非零解 定理2設齊次方程組Am nX O r A r 則 1 r n 原方程組有唯一零解 2 r n 原方程組有非零解 有無窮多組解 推論2若齊次方程組An nX O系數(shù)行列式 A 0 則必有非零解 齊次線性方程組有非零解 解的判定定理 1 齊次線性方程組解的性質(zhì) 1 兩解之和仍是解 2 常數(shù)乘以解仍是解 一般地 解的線性組合仍是解 導出組 2 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 1 1 的兩解之差是其導出組的解 2 1 的一解與其導出組的一解之和仍是 1 的解 解的性質(zhì)定理 1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定義 齊次線性方程組解向量組的一個極大無關(guān)組稱作齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系 定理3對齊次線性方程組 2 若r A r n 則基礎(chǔ)解系存在 且均含n r個解 齊次線性方程組 2 當不存在基礎(chǔ)解系 r A n時只有零解 當r A r n時 有 解的結(jié)構(gòu)定理 2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定理2若是非齊次線性方程組 1 的一個解 是其導出組 2 的全部解 則方程組 1 的全部解 通解 一般解 為 k1 k2 kn r為任意常數(shù) 三 典型問題剖析 例1設A是m n矩陣 則線性方程組AX 0只有零解的充要條件是A的 A 行向量組線性無關(guān) B 行向量組線性相關(guān) C 列向量組線性無關(guān) D 列向量組線性相關(guān) 若 例2設矩陣A的伴隨矩陣不為零 是非齊次線性方程組AX b的互不相等的解 則對應的齊次方程組AX O的基礎(chǔ)解系 A 僅含一個非零解向量 B 含有兩個線性無關(guān)的解向量 C 不存在 D 含有三個線性無關(guān)的解向量 練習卷P23第二題第3題 練習卷P23第二題第5題 例3 94考研 設向量組 求向量組的一個極大無關(guān)組 向量組的秩 并寫出其余向量用該極大無關(guān)組的線性表達式 r 3 答案 例4 95考研 已知向量組 I II III 如果各向量組的秩分別為r I r II 3 r III 4 證明向量組的秩為4 線性無關(guān) 線性相關(guān) 可由線性表示 證 設 練習卷P25第四題第6題 線性無關(guān) k1 k2 k3 k4 0 線性無關(guān) 請思考本題的其他解法 例5設為非齊次線性方程組AX b的一個解 是其導出組AX 0的一個基礎(chǔ)解系 證明 線性無關(guān) 練習卷P25第四題第4題 思考 練習卷P28第六題 例6設 證明 向量組與等價 思考 設是齊次線性方程組AX 0的一個基礎(chǔ)解系 證明 也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系 練習卷P25第四題第5題 練習卷P25第四題第2題 例7a取何值時 下列線性方程組無解 有唯一解 有無窮多解 在方程組有解時 求出它的解 練習卷P23第三題第2題 例8已知向量組與的秩相等