數學：1.1《兩個基本原理》課件(新人教b版選修2-3)

分類計數原理與分步計數原理 一 岳 問題1從岳陽到長沙 可以乘火車 也可以乘汽車 一天中 火車有3班 汽車有2班 那么一天中 乘坐這些交通工具從岳陽到長沙共有多少種不同的走法 長 3 2 5 種 情景探究 分類計數原理 分類計數原理又稱 加法原理 理解分類計數原理 各類辦法之間相互獨立 都能完成這件事 且辦法總數是各類辦法相加 所以這個原理又叫做加法原理 分類時 首先要在問題的條件之下確定一個分類標準 然后在確定的分類標準下進行分類 完成這件事的任何一種方法必屬于某一類 且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的 不重不漏 問題2從岳陽到益陽 要從岳陽先乘火車到長沙 再于次日從長沙乘汽車到益陽 一天中 火車有3班 汽車有2班 那么兩天中 從岳陽到益陽共有多少種不同的走法 火車1 汽車1火車1 汽車2火車2 汽車1火車2 汽車2火車3 汽車1火車3 汽車2 分步計數原理 完成一件事 需要分成 個步驟 做第1步有種不同的方法 做第2步有種不同的方法 做第 步有種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 分步計數原理又叫作 乘法原理 理解分步計數原理 各個步驟之間相互依存 且方法總數是各個步驟的方法數相乘 所以這個原理又叫做乘法原理 分步時首先要在問題的條件之下確定一個分步標準 然后在確定的分步標準下分步 完成這件事的任何一種方法必須并且只需連續(xù)完成每一個步驟 分類計數原理與分步計數原理的區(qū)別 分類計數原理與分步計數原理 回答的都是有關做一件事的不同方法總數的問題 區(qū)別在于 分類計數原理針對的是 分類 問題 其中各種方法相互獨立 用中任何一種方法都可以做完這件事 分步計數原理針對的是 分步 問題 各個步驟中的方法相互依存 只有各個步驟都完成才算做完這件事 例1書架的第1層放有4本不同的計算機書 第2層放有3本不同的文藝書 第3層放有2本不同的體育書 1 從書架上任取一本書 有多少種取法 2 從書架的第1 2 3層各取1本書 有多少種不同的取法 注意區(qū)別 分類 與 分步 典例分析 解 1 從第1層任取一本 有4種取法 從第2層任取一本 有3種取法 從第3層任取一本 有2種取法 共有4 3 2 9種取法 答 從書架上任意取一本書 有9種不同的取法 2 從書架的1 2 3層各取一本書 需要分三步完成 第1步 從第1層取1本書 有4種取法 第2步 從第2層取1本書 有3種取法 第3步 從第3層取1本書 有2種取法 由分步計數原理知 共有4 3 2 24種取法 答 從書架上的第1 2 3層各取一本書 有24種不同的取法 分類時要做到不重不漏 分步時做到不缺步 例2一種號碼鎖有4個撥號盤 每個撥號盤上有從0到9共10個數字 這4個撥號盤可以組成多少個四位數字的號碼 本題的特點是數字可以重復使用 例如0000 1111 1212等等 與分步計數原理比較 這里完成每一步的方法數m 10 有n 4個步驟 結果是總個數 N 10 10 10 10 104 解 由于號碼鎖的每個撥號盤有0到9這10個數字 每個撥號盤的數字有10種取法 根據分步計數原理 4個撥號盤上各取1數字組成的個數是 答 可以組成10000個四位數字號碼 N 104 典例分析 3 四名研究生各從A B C三位教授中選一位作自己的導師 共有 種選法 三名教授各從四名研究生中選一位作自己的學生 共有 種選法 2 在1 20共20個整數中取兩個數相加 使其和為偶數的不同取法共有多少種 答 10 9 10 9 2 90 種 43 1 逸夫教學樓共有3處樓梯口 問從1樓到5樓共有多少種不同的走法 答 3 3 3 3 34 81 種 34 變式訓練 例3要從甲 乙 丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班 有多少種不同的選法 解 從3名工人中選出2名分別上日班和晚班 可以看成是經過先選1名上日班 再選1名上晚班這兩個步驟完成 先選1名上日班 共有3種選法 上日班的工人選定后再選1名上晚班 上晚班的工人有2種選法 根據分步計數原理 所求的不同的選法數是 答 有6種不同的選法 典例分析 日班晚班 相應的排法 不同排法如下圖所示 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 日班晚班 例4用數字1 2 3 4 5可以組成多少個三位數 各位上的數字允許重復 解 要組成一個三位數可以分成三個步驟完成 第一步確定百位上的數字 從5個數字中任選一個數字 共有5種選法 第二步確定十位上的數字 由于數字允許重復 這仍有5種選法 第三步確定十位上的數字 同理 它也有5種選法 根據分步計數原理 得到組成的三位數的個數是 N 5 5 5 53 125 答 可以組成125個三位數 1 一件工作可以用兩種方法完成 有5人會用第一種方法完成 另有4人會用第二種方法完成 選出一個人來完成這件工作 共有多少種選法 2 乘積 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 5 展開后共有項 4 5 9 3 把四封不同的信任意投入三個信箱中 不同投法種數是 A 12B 64C 81D 7 4 火車上有10名乘客 沿途有5個車站 乘客下車的可能方式有 種A 510B 105C 50D 以上都不對 C A 練習鞏固 總結 分類計數原理 做一件事 完成它可以有n類辦法 在第一類辦法中有m1種不同的方法 在第一類辦法中有m2種不同的方法 在第n類辦法中有mn種不同的方法 那麼完成這件事共有N m1 m2 mn種不同的方法 分步計數原理 做一件事 完成它需要分成n個步驟 做第一步有m1種不同的方法 做第二步有m2種不同的方法 做第n步有mn種不同的方法 那麼完成