一次函數(shù)與反比例函數(shù)組合.doc

將一次函數(shù)與反比例函數(shù)巧妙組合，從而形成有一定難度的綜合題，是目前各類(lèi)考試命題的一個(gè)熱點(diǎn)，現(xiàn)舉幾例說(shuō)明. 例1 已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=(m-1)的圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P(x0，3). （1）求x0的值； (2)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式. 分析：從兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P這一關(guān)鍵點(diǎn)入手，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解. 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，3)是一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=的交點(diǎn)，所以有 3=x0+m，3=. 消去m，得3-x0=3x0-1，解得x0=1. (2)在3=x0+m中，當(dāng)x0=1時(shí)，m=2. 從而一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+2，反比例函數(shù)的解析式為y=. 例2 已知函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)A(1，4)，B(2，2)兩點(diǎn)，請(qǐng)你寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)不同的函數(shù)表達(dá)式，并簡(jiǎn)述解答過(guò)程，若能寫(xiě)出第三個(gè)，你就太棒了! 分析：本題屬于開(kāi)放型問(wèn)題，要求我們能根據(jù)題目的特點(diǎn)，利用自己已有的基礎(chǔ)知識(shí)，努力去搜尋結(jié)果.由于函數(shù)表達(dá)式的形式未確定，所以可以從直線(xiàn)型考慮，也可以考慮雙曲線(xiàn)型，還可以是其他形式. 解：若經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的函數(shù)圖像是直線(xiàn)，設(shè)其表達(dá)式為y=kx+b(k0). 將點(diǎn)A(1，4)，B(2，2)代入，得k=-2，b=6. 所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x+6. 由于A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積都等于4，所以經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的函數(shù)圖像還可以是雙曲線(xiàn)，其表達(dá)式為y=. 若能開(kāi)動(dòng)腦筋，還能想出其他的形式，如分段函數(shù). y=4x (x1)2x-2(x1). 例3 如圖1，一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)x=的圖像在第一象限交于一點(diǎn)A(a，b)，ABx軸，垂足為B.已知ABO的面積為3，試求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式. 解：由S=ab=3，得ab=6. 因點(diǎn)A(a，b)在y=上，即m=ab=6. 一次函數(shù)解析式為y=x+6，反比例函數(shù)解析式為y=. 例4 如圖2，已知一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖像與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=(m0)的圖像在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足為D.若OA=OB=OD=1. (1)求點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式. 解：(1)因?yàn)镺A=OB=OD=1， 所以A(-1，0)，B(0，1)，D(1，0). （2）因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線(xiàn)y=kx+b上， 將A(-1，0)，B(0，1)代入y=kx+b，有k=1，b=1. 所以一次函數(shù)的解析式為y=x+1. 由于CDx軸，由D(1，0)知C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1，把x=1 代入y=x+1，得y=2，所以C(1，2). 將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=，得m=2，反比例函數(shù)的解析式為y=. 例5 為了預(yù)防“非典”，某校對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間x(min)成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例(如圖3所示). 現(xiàn)測(cè)得藥物8min燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6mg. 請(qǐng)根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問(wèn)題： （1）藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 . （2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開(kāi)始，至少需經(jīng)過(guò)min后，學(xué)生才能回到教室. (3)若空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時(shí)間不低于10min時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效?為什么? 解：(1)因?yàn)閮珊瘮?shù)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(8，6)，故y=x(0x8)，y=(x8). (2)當(dāng)y=1.6時(shí)，代入y=，有x=30. (3)把y=3分別代入y=x和y=，解得x=4和x=16.因?yàn)?6-4=1210，即空氣中的含藥量有不低于3mg/m2的持續(xù)時(shí)間為12min，大于10min的有效消毒時(shí)間，所以此次消毒有效. 例6 已知反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=2x-1，