福建省廈門市思明區(qū)外國語學校高考數(shù)學適應性試卷 理（含解析）.doc

2015年福建省廈門市思明區(qū)外國語學校高考數(shù)學適應性試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知復數(shù)z滿足：zi=1+i（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（）aibic1d12sin570的值是（）abcd3給出以下四個說法：繪制頻率分布直方圖時，各小長方形的面積等于相應各組的組距；線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，；設隨機變量服從正態(tài)分布n（1，32）則p（1）=；對分類變量x與y它們的隨機變量k2的觀測值k越大，則判斷“與x與y有關系”的把握程度越小其中正確的說法的個數(shù)是（）a1b2c3d44已知點m（6，5）在雙曲線c：=1（a0，b0）上，雙曲線c的焦距為12，則它的漸近線方程為（）ay=xby=xcy=xdy=x5執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入x=7，y=6，則輸出的有數(shù)對為（）a（11，12）b（12，13）c（13，14）d（13，12）6若函數(shù)f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則g（x）=loga（x+k）的是（）abcd7若f（x）=sin（2x+），則“f（x）的圖象關于x=對稱”是“=”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件8已知偶函數(shù)f（x）滿足當x0時，3f（x）2f（）=，則f（2）等于（）abcd9如圖，一隧道截面由一個長方形和拋物線構成現(xiàn)欲在隨道拋物線拱頂上安裝交通信息采集裝置若位置c對隧道底ab的張角最大時采集效果最好，則采集效果最好時位置c到ab的距離是（）a2mb2mc4 md6 m10若f（x）為定義在區(qū)間g上的任意兩點x1，x2和任意實數(shù)（0，1），總有f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2），則稱這個函數(shù)為“上進”函數(shù)，下列函數(shù)是“上進”函數(shù)的個數(shù)是（）f（x）=，f（x）=，f（x）=，f（x）=a4b3c2d1二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分11在各項為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a6=a5+2a4，則公比q=12如圖是甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)）的莖葉圖，則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑倪\動員是13已知（ax+1）5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等，則a=14直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于a，b兩點（其中a，b是實數(shù)），且aob是直角三角形（o是坐標原點），則點p（a，b）與點（1，0）之間距離的最小值為15一質(zhì)點從正四面體abcd的頂點a出發(fā)沿正四面體的棱運動，每經(jīng)過一條棱稱為一次運動第1次運動經(jīng)過棱ab由a到b，第2次運動經(jīng)過棱bc由b到c，第3次運動經(jīng)過棱ca由c到a，第4次經(jīng)過棱ad由a到d，對于nn*，第3n次運動回到點a，第3n+1次運動經(jīng)過的棱與3n1次運動經(jīng)過的棱異面，第3n+2次運動經(jīng)過的棱與第3n次運動經(jīng)過的棱異面按此運動規(guī)律，質(zhì)點經(jīng)過2015次運動到達的點為三、解答題：本大題共5小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2個、3個、4個，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3個，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球（1）若左右手各取一球，問兩只手中所取的球顏色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球的成功取法次數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學期望17已知在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為4的正方形，pad是正三角形，平面pad平面abcd，e、f、g分別是pa、pb、bc的中點（i）求證：ef平面pad；（ii）求平面efg與平面abcd所成銳二面角的大小18已知橢圓，過其右焦點f且垂直于x軸的弦mn的長度為b（）求該橢圓的離心率；（）已知點a的坐標為（0，b），橢圓上存在點p，q，使得圓x2+y2=4內(nèi)切于apq，求該橢圓的方程19如圖，摩天輪的半徑oa為50m，它的最低點a距地面的高度忽略不計地面上有一長度為240m的景觀帶mn，它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi)，且am=60m點p從最低點a處按逆時針方向轉(zhuǎn)動到最高點b處，記aop=，（0，）（1）當= 時，求點p距地面的高度pq；（2）試確定 的值，使得mpn取得最大值20已知函數(shù)f（x）=ax3+2xa，（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若a=n且nn*，設xn是函數(shù)fn（x）=nx3+2xn的零點（i）證明：n2時存在唯一xn且；（i i）若bn=（1xn）（1xn+1），記sn=b1+b2+bn，證明：sn121、22、23三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分7分，如果多做，則按所做的前兩題計分選修4-2：矩陣與變換21已知二階矩陣m有特征值1=4及屬于特征值4的一個特征向量=并有特征值2=1及屬于特征值1的一個特征向量=， =（）求矩陣m；（）求m5選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（共1小題，滿分7分）22在直角坐標系xoy中，以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線c1的極坐標方程為（sin+cos）=1，曲線c2的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（）求曲線c1的直角坐標方程與曲線c2的普通方程；（）試判斷曲線c1與c2是否存在兩個交點？若存在，求出兩交點間的距離；若不存在，說明理由選修4-5：不等式選講（共1小題，滿分0分）23（選做題）已知f（x）=|x+1|+|x1|，不等式f（x）4的解集為m（1）求m；（2）當a，bm時，證明：2|a+b|4+ab|2015年福建省廈門市思明區(qū)外國語學校高考數(shù)學適應性試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知復數(shù)z滿足：zi=1+i（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（）aibic1d1【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【解答】解：由zi=1+i，得，z的虛部為1故選：d【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題2sin570的值是（）abcd【考點】運用誘導公式化簡求值【專題】計算題【分析】原式角度變形后，利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡即可求出值【解答】解：原式=sin（720150）=sin150=故選b【點評】此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵3給出以下四個說法：繪制頻率分布直方圖時，各小長方形的面積等于相應各組的組距；線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，；設隨機變量服從正態(tài)分布n（1，32）則p（1）=；對分類變量x與y它們的隨機變量k2的觀測值k越大，則判斷“與x與y有關系”的把握程度越小其中正確的說法的個數(shù)是（）a1b2c3d4【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計【分析】由繪制頻率分布直方圖時，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，即可判斷；線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點（，）；設隨機變量服從正態(tài)分布n（1，32），利用對稱性可得結(jié)論；對分類變量x與y，它們的隨機變量k2的觀測值k來說，k越大，“x與y有關系”的把握程度越大，可得結(jié)論【解答】解：繪制頻率分布直方圖時，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，故錯；線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點（，），故正確；設隨機變量服從正態(tài)分布n（1，32）則p（1）=，正確；對分類變量x與y，它們的隨機變量k2的觀測值k來說，k越大，“x與y有關系”的把握程度越大，故不正確故選：b【點評】本題考查統(tǒng)計的基礎知識：頻率分布直方圖和線性回歸及分類變量x，y的關系，屬于基礎題4已知點m（6，5）在雙曲線c：=1（a0，b0）上，雙曲線c的焦距為12，則它的漸近線方程為（）ay=xby=xcy=xdy=x【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】通過點m（6，5）在雙曲線c：=1（a0，b0）上及雙曲線c的焦距為12，可得、a2+b2=36，計算即得結(jié)論【解答】解：點m（6，5）在雙曲線c：=1（a0，b0）上，又雙曲線c的焦距為12，12=2，即a2+b2=36，聯(lián)立、，可得a2=16，b2=20，漸近線方程為：y=x=x，故選：a【點評】本題考查求雙曲線的漸近線，注意解題方法的積累，屬于基礎題5執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入x=7，y=6，則輸出的有數(shù)對為（）a（11，12）b（12，13）c（13，14）d（13，12）【考點】循環(huán)結(jié)構【專題】算法和程序框圖【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構計算并輸出數(shù)對（x，y），模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【解答】解：當n=1時，滿足進行循環(huán)的條件，故x=7，y=8，n=2，當n=2時，滿足進行循環(huán)的條件，故x=9，y=10，n=3，當n=3時，滿足進行循環(huán)的條件，故x=11，y=12，n=4，當n=4時，不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出的數(shù)對為（11，12），故選：a【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答6若函數(shù)f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則g（x）=loga（x+k）的是（）abcd【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【專題】數(shù)形結(jié)合【分析】由函數(shù)f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k=1，a1，由此不難判斷函數(shù)的圖象【解答】解：函數(shù)f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是奇函數(shù)則f（x）+f（x）=0即（k1）（axax）=0則k=1又函數(shù)f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是增函數(shù)則a1則g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函數(shù)圖象必過原點，且為增函數(shù)故選c【點評】若函數(shù)在其定義域為為奇函數(shù)，則f（x）+f（x）=0，若函數(shù)在其定義域為為偶函數(shù)，則f（x）f（x）=0，這是函數(shù)奇偶性定義的變形使用，另外函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，在公共單調(diào)區(qū)間上：增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)也是解決本題的關鍵7若f（x）=sin（2x+），則“f（x）的圖象關于x=對稱”是“=”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡易邏輯【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：若f（x）的圖象關于x=對稱，則2+=+k，解得=+k，kz，此時=不一定成立，反之成立，即“f（x）的圖象關于x=對稱”是“=”的必要不充分條件，故選：b【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵8已知偶函數(shù)f（x）滿足當x0時，3f（x）2f（）=，則f（2）等于（）abcd【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用【分析】先利用方程組法，求出當x0時，函數(shù)f（x）的解析式，進而再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（2）=f（2）的值【解答】解：當x0時，3f（x）2f（）=，3f（）2f（x）=，3+2得：5f（x）=，故f（x）=，又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故f（2）=f（2）=，故選：d【點評】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知求出當x0時，函數(shù)f（x）的解析式，是解答的關鍵9如圖，一隧道截面由一個長方形和拋物線構成現(xiàn)欲在隨道拋物線拱頂上安裝交通信息采集裝置若位置c對隧道底ab的張角最大時采集效果最好，則采集效果最好時位置c到ab的距離是（）a2mb2mc4 md6 m【考點】拋物線的應用；兩點間的距離公式【專題】應用題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】建立如圖所示的坐標系，求出拋物線的方程，設c（x，y）（y6），由a（3，6），b（3，6），可得kca=，kcb=，求出tanbca，利用基本不等式，即可得出結(jié)論【解答】解：建立如圖所示的坐標系，設拋物線方程為x2=2py（p0），將點（4，4）代入，可得p=2，所以拋物線方程為x2=4y，設c（x，y）（y6），則由a（4，6），b（4，6），可得kca=，kcb=，tanbca=，令t=y+6（t0），則tanbca=t=2時，位置c對隧道底ab的張角最大，故選：a【點評】本題考查拋物線的方程與應用，考查基本不等式，確定拋物線的方程及tanbca，正確運用基本不等式是關鍵10若f（x）為定義在區(qū)間g上的任意兩點x1，x2和任意實數(shù)（0，1），總有f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2），則稱這個函數(shù)為“上進”函數(shù)，下列函數(shù)是“上進”函數(shù)的個數(shù)是（）f（x）=，f（x）=，f（x）=，f（x）=a4b3c2d1【考點】函數(shù)恒成立問題【專題】新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用【分析】由新定義可得函數(shù)在區(qū)間g上即為嚴格下凸函數(shù)，求f（x0恒成立即可判斷【解答】解：由區(qū)間g上的任意兩點x1，x2和任意實數(shù)（0，1），總有f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2），等價為對任意xg，有f（x）0成立（f（x）是函數(shù)f（x）導函數(shù)的導函數(shù)），f（x）=的導數(shù)f（x）=，f（x）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故為“上進”函數(shù)；f（x）=的導數(shù)f（x）=，f（x）=0恒成立，故不為“上進”函數(shù)；f（x）=的導數(shù)f（x）=，f（x）=0恒成立，故不為“上進”函數(shù)；f（x）=的導數(shù)f（x）=，f（x）=，當x（2，3）時，f（x）0恒成立故為“上進”函數(shù)故選c【點評】本題考查新定義的理解和運用，同時考查導數(shù)的運用，以及不等式恒成立問題，屬于中檔題二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分11在各項為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a6=a5+2a4，則公比q=2【考點】等比數(shù)列的通項公式【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式化簡a6=a5+2a4，列出關于q的方程，由各項為正數(shù)求出q的值【解答】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2q2=0，解得q=2或q=1，又各項為正數(shù)，則q=2，故答案為：2【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式，注意公比的符號，屬于基礎題12如圖是甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)）的莖葉圖，則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑倪\動員是甲【考點】莖葉圖【專題】計算題；概率與統(tǒng)計【分析】【解法一】計算甲、乙的平均數(shù)與方差，比較即得結(jié)論；【解法二】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用方差的意義，也可得出正確的結(jié)論【解答】解：【解法一】甲的平均數(shù)是=（87+89+90+91+93）=90，方差是= （8790）2+（8990）2+（9090）2+（9190）2+（9390）2=4；乙的平均數(shù)是=（78+88+89+96+99）=90，方差是= （7890）2+（8890）2+（8990）2+（9690）2+（9990）2=53.2；，成績較為穩(wěn)定的是甲【解法二】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲的5個數(shù)據(jù)分布在8793之間，分布相對集中些，方差小些；乙的5個數(shù)據(jù)分布在7899之間，分布相對分散些，方差大些；所以甲的成績相對穩(wěn)定些故答案為：甲【點評】本題考查了平均數(shù)與方差的計算與應用問題，是基礎題目13已知（ax+1）5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等，則a=【考點】二項式定理的應用；二項式系數(shù)的性質(zhì)【專題】計算題【分析】分別計算出（ax+1）5的展開式中x2的系數(shù)和的展開式中x3的系數(shù)，利用它們相等，建立方程關系，進行求解即可【解答】解：（ax+1）5的展開式中x2的項為=10a2x2，x2的系數(shù)為10a2，與的展開式中x3的項為=5x3，x3的系數(shù)為5，10a2=5，即a2=，解得a=故答案為：【點評】本題主要考查二項式定理的應用，利用展開式的通項公式確定項的系數(shù)是解決本題的關鍵14直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于a，b兩點（其中a，b是實數(shù)），且aob是直角三角形（o是坐標原點），則點p（a，b）與點（1，0）之間距離的最小值為【考點】直線與圓的位置關系【專題】計算題；直線與圓【分析】根據(jù)直線和圓的位置關系以及兩點間的距離公式即可得到結(jié)論【解答】解：aob是直角三角形（o是坐標原點），圓心到直線ax+by=1的距離d=，即d=，整理得a2+2b2=2，則點p（a，b）與點q（1，0）之間距離d=，點p（a，b）與點（1，0）之間距離的最小值為故答案為：【點評】本題主要考查直線和圓的位置公式的應用以及兩點間的距離公式，考查學生的計算能力15一質(zhì)點從正四面體abcd的頂點a出發(fā)沿正四面體的棱運動，每經(jīng)過一條棱稱為一次運動第1次運動經(jīng)過棱ab由a到b，第2次運動經(jīng)過棱bc由b到c，第3次運動經(jīng)過棱ca由c到a，第4次經(jīng)過棱ad由a到d，對于nn*，第3n次運動回到點a，第3n+1次運動經(jīng)過的棱與3n1次運動經(jīng)過的棱異面，第3n+2次運動經(jīng)過的棱與第3n次運動經(jīng)過的棱異面按此運動規(guī)律，質(zhì)點經(jīng)過2015次運動到達的點為d【考點】進行簡單的合情推理【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；推理和證明【分析】本題根據(jù)題意，得到質(zhì)點運動的規(guī)律，得到周期性運動的結(jié)論，再利用周期性，得到本題結(jié)論【解答】解：根據(jù)題意，質(zhì)點運動的軌跡為：abcadbacda接著是bcadbacda周期為9質(zhì)點經(jīng)過2015次運動，2015=2239+8，質(zhì)點到達點d故答案為：d【點評】本題考查了函數(shù)的周期性，本題難度不大，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2個、3個、4個，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3個，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球（1）若左右手各取一球，問兩只手中所取的球顏色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球的成功取法次數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；等可能事件的概率；離散型隨機變量及其分布列【專題】計算題【分析】（1）設事件a為“兩手所取的球不同色”，由此能求出p（a）=1（2）依題意，x的可能取值為0，1，2，左手所取的兩球顏色相同的概率為=，右手所取的兩球顏色相同的概率為=分別求出p（x=0），p（x=1），p（x=2），由此能求出x的分布列和ex【解答】解：（1）設事件a為“兩手所取的球不同色”，則p（a）=1（2）依題意，x的可能取值為0，1，2，左手所取的兩球顏色相同的概率為=，右手所取的兩球顏色相同的概率為=p（x=0）=（1）（1）=；p（x=1）=；p（x=2）=x的分布列為：x 0 1 2pex=0+1+2=【點評】本題考查概率的求法和求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是歷年高考的必考題型解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用17已知在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為4的正方形，pad是正三角形，平面pad平面abcd，e、f、g分別是pa、pb、bc的中點（i）求證：ef平面pad；（ii）求平面efg與平面abcd所成銳二面角的大小【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定【專題】計算題；證明題【分析】（i）先根據(jù)平面pad平面abcd，abad得到ab平面pad；再結(jié)合efab，即可得到ef平面pad；（ii）過p作ad的垂線，垂足為o，根據(jù)平面pad平面abcd，得po平面abcd；再取ao中點m，連og得到og即為面efg與面abcd的交線；最后根據(jù)em平面abcd且ogao，得到的ogeo求出eom 即可【解答】解：（i）證明：平面pad平面abcd，abad，ab平面pad，e、f為pa、pb的中點，efab，ef平面pad； （ii）解：過p作ad的垂線，垂足為o，平面pad平面abcd，則po平面abcd取ao中點m，連og，eo，em，efabog，og即為面efg與面abcd的交線又emop，則em平面abcd且ogao，故ogeoeom 即為所求 在rteom中，em=om=1taneom=，故eom=60平面efg與平面abcd所成銳二面角的大小是60【點評】本題主要考察直線與平面垂直的判定以及二面角的求法解決第二問的難點在于找到兩半平面的交線，進而求出二面角的平面角18已知橢圓，過其右焦點f且垂直于x軸的弦mn的長度為b（）求該橢圓的離心率；（）已知點a的坐標為（0，b），橢圓上存在點p，q，使得圓x2+y2=4內(nèi)切于apq，求該橢圓的方程【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（）設出m、n的坐標，因為橫坐標相同，所以mn的弦長為|y1y2|，把m、n的坐標代入橢圓方程，求出a與b的關系，從而得到離心率（）設出過點a的直線方程，根據(jù)圓心到直線的距離為半徑，求出k，發(fā)現(xiàn)切線ap、aq關于y軸對稱，p、q點縱坐標為2，代入橢圓方程求出x，再用兩點坐標表示出k，構造等式，求出b與a【解答】解：（）設f（c，0），m（c，y1），n（c，y2），則，得y1=，y2=，mn=|y1y2|=b，得a=2b，橢圓的離心率為： =（）由條件，直線ap、aq斜率必然存在，設過點a且與圓x2+y2=4相切的直線方程為y=kx+b，轉(zhuǎn)化為一般方程kxy+b=0，由于圓x2+y2=4內(nèi)切于apq，所以r=2=，得k=（b2），即切線ap、aq關于y軸對稱，則直線pq平行于x軸，yq=yp=2，不妨設點q在y軸左側(cè)，可得xq=xp=2，則=，解得b=3，則a=6，橢圓方程為：【點評】本題考查了橢圓的離心率公式，點到直線方程的距離公式，內(nèi)切圓的性質(zhì)19如圖，摩天輪的半徑oa為50m，它的最低點a距地面的高度忽略不計地面上有一長度為240m的景觀帶mn，它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi)，且am=60m點p從最低點a處按逆時針方向轉(zhuǎn)動到最高點b處，記aop=，（0，）（1）當= 時，求點p距地面的高度pq；（2）試確定 的值，使得mpn取得最大值【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用【專題】導數(shù)的綜合應用；三角函數(shù)的求值；解三角形【分析】（1）將所求的高度、已知的角與線段長度放在一個三角形中結(jié)合三角函數(shù)的定義求解即可；（2）借助于角，把mpn表示出來，然后利用導數(shù)研究該函數(shù)的最值【解答】解：（1）由題意得pq=5050cos，從而當時，pq=5050cos=75即點p距地面的高度為75米（2）由題意得，aq=50sin，從而mq=6050sin，nq=30050sin又pq=5050cos，所以tan，tan從而tanmpn=tan（npqmpq）=令g（）=（0，）則，（0，）由g（）=0，得sin+cos1=0，解得當時，g（）0，g（）為增函數(shù)；當x時，g（）0，g（）為減函數(shù)所以當=時，g（）有極大值，也是最大值因為所以從而當g（）=tanmnp取得最大值時，mpn取得最大值即當時，mpn取得最大值【點評】本題考查了與三角函數(shù)有關的最值問題，主要還是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進一步求其極值、最值20已知函數(shù)f（x）=ax3+2xa，（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若a=n且nn*，設xn是函數(shù)fn（x）=nx3+2xn的零點（i）證明：n2時存在唯一xn且；（i i）若bn=（1xn）（1xn+1），記sn=b1+b2+bn，證明：sn1【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】導數(shù)的綜合應用【分析】（）對f（x）求導得到單調(diào)區(qū)間（）（i）由（）得，fn（x）=nx3+2xn在r上單調(diào)遞增，證明fn（）=即可（ii）利用數(shù)列裂項求和和不等式放縮技巧證明即可【解答】解：（）f（x）=3ax2+2，若a0，則f（x）0，函數(shù)f（x）在r上單調(diào)遞增；若a0，令f（x）0，或，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（）（i）由（）得，fn（x）=nx3+2xn在r上單調(diào)遞增，又fn（1）=n+2n=20，fn（）=當n2時，g（n）=n2n10，n2時存在唯一xn且（i i）當n2時，（零點的區(qū)間判定），（數(shù)列裂項求和），又f1（x）=x3+2x1，（函數(shù)法定界），又，（不等式放縮技巧）命題得證【點評】本題主要考查了導數(shù)的求單調(diào)區(qū)間的方法和利用數(shù)列的裂項求和和不等式的放縮求和技巧解題，屬于難題21、22、23三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分7分，如果多做，則按所做的前兩題計分選修4-2：矩陣與變換21已知二階矩陣m有特征值1=4及屬于特征值4的一個特征向量=并有特征值2=1及屬于特征值1的一個特征向量=， =