D8.1.2_第二型曲線積分.ppt

8 1 2第二型曲線積分 矢量場初步 例1 例2 矢量場初步 例3 例4 變力沿曲線所作的功 設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用 在xoy平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L移動到點B 求移動過程中變力所作的功W 常力沿直線所作的功 1 第二型曲線積分的概念 大化小 常代變 近似求和 取極限 解決辦法 1 大化小 2 常代變 把L分成n個小弧段 有向小弧段 近似代替 則有 所做的功為 則 用有向線段 3 近似和 4 取極限 其中 為n個小弧段的最大長度 定義 設(shè)L為xOy平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑 弧 若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點 都存在 在有向曲線弧L上 對坐標(biāo)的曲線積分 則稱此極限為函數(shù) 或第二類曲線積分 其中 L稱為積分弧段或積分曲線 稱為被積函數(shù) 在L上定義了一個向量函數(shù) 極限 若 為空間曲線弧 記 稱為對x的曲線積分 稱為對y的曲線積分 若記 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作 類似地 性質(zhì) 1 若L可分成k條有向光滑曲線弧 2 用L 表示L的反向弧 則 則 定積分是第二類曲線積分的特例 說明 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 例1 注 為方向余弦 2 第二型曲線積分的計算 例2 解 例3 解 取逆時針方向 取逆時針方向 定理 在有向光滑弧L上有定義且 L的參數(shù)方程為 則曲線積分 連續(xù) 證明 下面先證 存在 且有 對應(yīng)參數(shù) 設(shè)分點 根據(jù)定義 由于 對應(yīng)參數(shù) 因為L為光滑弧 同理可證 其他情形 3 對空間光滑曲線弧 類似有 代 將L的參數(shù)方程代入被積函數(shù) 換 定限 下限 起點參數(shù)值 上限 終點參數(shù)值 一代 二換 三定限 例4 計算 其中L為沿拋物線 解法1取x為參數(shù) 則 從點 的一段 例4 計算 其中L為沿拋物線 從點 的一段 解法2取y為參數(shù) 例5 計算 其中L為 1 半徑為a圓心在原點的 上半圓周 方向為逆時針方向 2 從點A a 0 沿x軸到點B a 0 解 1 取L的參數(shù)方程為 2 取L的方程為 則 則 例6 計算 其中L為 1 拋物線 2 拋物線 3 有向折線 解 1 原式 2 原式 3 原式 例7 設(shè)在力場 作用下 質(zhì)點由 沿 移動到 解 1 2 的參數(shù)方程為 試求力場對質(zhì)點所作的功 其中 為 例8 求 其中 從z軸正向看為順時針方向 解 取 的參數(shù)方程 設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)的參數(shù)方程為 已知L切向量的方向余弦為 則兩類曲線積分有如下聯(lián)系 3 第一型與第二型積分的關(guān)系 類似地 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是 令 二者夾角為 例9 設(shè) 曲線段L的長度為s 證明 續(xù) 證 設(shè) 說明 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分 在L上連 例10 將積分 化為對弧長的積 分 解 其中L沿上半圓周 1 定義 2 性質(zhì) 1 L可分成k條有向光滑曲線弧 2 L 表示L的反向弧 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 內(nèi)容小結(jié) 3 計算 對有向光滑弧 對有向光滑弧 4 兩類曲線積分的聯(lián)系 對空間有向光滑弧 原點O的距離成正比 思考與練習(xí) 1 設(shè)一個質(zhì)點在 處受 恒指向原點 沿橢圓 此質(zhì)點由點 沿逆時針移動到 提示 2 已知 為折線ABCOA 如圖 計算 提示 3 解 線移動到 向坐標(biāo)原點 其大小與作用點到xoy面的距離成反比 沿直 4 設(shè)曲線C為曲面 與曲面 從o