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第十六屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽得分 初二 第2試2005年4月17日 上午830至1030一、選擇題(每小題5分,共50分)以下每題的四個選項中,僅有一個是正確的,請將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號內.1、若a,b均為正整數(shù),m=ab(ab),則( )Am一定是奇數(shù) Bm一定是偶數(shù) C只有當a,b均為偶數(shù)時,m是偶數(shù) D只有當a,b一個為偶數(shù),另一個為奇數(shù)時,m是偶數(shù)2、設,則等于( )A B C3 D33、Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,then the value of is( )A14 B13 C12 D 11(英漢詞典 positive integers:正整數(shù). prime numbers:質數(shù))_4、購買鉛筆7支,作業(yè)本3個,圓珠筆1支共需3元;購買鉛筆10支,作業(yè)本4個,圓珠筆1支共需4元,則購買鉛筆11支,作業(yè)本5個,圓珠筆2支共需( )A4.5元 B5元 C6元 D6.5元5、計算機將信息轉換成二進制數(shù)來處理.二進制是“逢二進一”,如二進制數(shù)(1101)2轉換成十進制數(shù)是123122021120=13,那么二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)是( )A220041 B22005 C220051 D220051 6、已知ABC的三個內角的比是m(m1) (m2),其中是m大于1的正整數(shù),那么ABC是( )A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形7、已知ABC的三條高的比是345,且三條邊的長均為整數(shù),則ABC的邊長可能是( )A10 B12 C14 D168、已知兩位數(shù)能被3整除,它的十位數(shù)字與個位數(shù)字的乘積等于它的個位數(shù)字,且它的任意次冪的個位數(shù)字等于它的個位數(shù)字。這樣的兩位數(shù)共有( )A1個 B3個 C4個 D5個9、放成一排的2005個盒子中共有4010個小球,其中最左端的盒子中放了a個小球,最右端的盒子中放了b個小球,如果任何相鄰的12個盒子中的小球共有24個,則( )Aa=b=2 Ba=b=1 Ca=1,b=2 Da=2,b=110、已知整數(shù),滿足,且那么x2y2z2的值等于( )A2 B14 C2或14 D14或17二、填空題(每小題5分,共50分.含兩個空的小題,前空3分,后空2分.)11、如果|a|=3,|b|=5,那么|ab|ab|的絕對值等于 .12、已知,則= .13、某汽車從A地駛向B地,若每分鐘行駛a千米,則11點到達,若每分鐘行駛a千米,則1120時距離B地還有10千米;如果改變出發(fā)時間,若每分鐘行駛a千米,則11點到達,若每分鐘行駛a千米,則1120時已經(jīng)超過B地30千米。A、B兩地的路程是 千米。14、若是一個六位數(shù),其中a,b,c是三個互異的數(shù)字,且都不等于0,1,2,3,又M是7的倍數(shù),那么M的最小值是 .15、分解因式: .16、若在凸n(n為大于3的自然數(shù))邊形的內角中,最多有M個銳角,最少有m個銳角,則M= ;m= .17、如圖1,等腰RtABC的直角邊長為32,從直角頂點A作斜邊BC的垂線交BC于D1,再從D1作D1D2AC交AC于D2,再從D2作D2D3BC交BC于D3,則AD1D2D3D4D5D6D7D8D9= 圖1ABCD1D2D3D4D5 ;D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10= .ABCDEFG圖4ABCFE圖2圖318、如圖2,將三角形紙片ABC沿EF折疊可得圖3(其中EFBC),已知圖3的面積與原三角形的面積之比為34,且陰影部分的面積為8平方厘米,則原三角形面積為 平方厘米。19、如圖4,ABC中,BCAC=35,四邊形BDEC和ACFG均為正方形,已知ABC與正方形BDEC的面積比是35,那么CEF與整個圖形的面積比等于 .20、如果正整數(shù)n有以下性質:n的八分之一是平方數(shù),n的九分之一是立方數(shù),它的二十五分之一是五次方數(shù),那么n就稱為“希望數(shù)”,則最小的希望數(shù)是 .甲甲圖5乙乙AB三、解答題(每題10分,共30分) 要求:寫出推算過程.21、圖5是一個長為400米的環(huán)形跑道,其中A、B為跑道對稱軸上的兩點,且A、B之間有一條50米的直線通道。甲、乙兩人同時從A點出發(fā),甲按逆時針方向以速度v1沿跑道跑步,當跑到B點處時繼續(xù)沿跑道前進,乙按順時針方向以速度v2沿跑道跑步,當跑到B點處時沿直線通道跑回A點處。假設兩人跑步時間足夠長。求:如果v1v2=32,那么甲跑了多少路程后,兩人首次在A點處相遇?如果v1v2=56,那么乙跑了多少路程后,兩人首次在B點處相遇?22、如果a是小于20的質數(shù),且可化為一個循環(huán)小數(shù),那么a的取值有哪幾個?如果a是小于20的合數(shù),且可化為一個循環(huán)小數(shù),那么a的取值有哪幾個?圖6ABCDP23、如圖6,正三角形ABC的邊長為a,D是BC的中點,P是AC邊上的點,連結PB和PD得到PBD。求:當點P運動到AC的中點時,PBD的周長;PBD的周長的最小值。第十六屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽參考答案及評分標準初中二年級 第2試一、選擇題(每小題5分) 題號12345678910答案BCDBCABCAA二、填空題(每小題5分,含兩個空的小題,前空3分,后空2分) 題號11121314151617181920答案6544683213;031;3116215320512三、解答題21、設甲跑了n圈后,兩人首次在A點處相遇,再設甲、乙兩人的速度分別為v1=3m,v2=2m,由題意可得在A處相遇時,他們跑步的時間是 (2分)是 (3分)因為乙跑回到A點處,所以應是250的整數(shù)倍,從而知n的最小值是15,(4分)所以甲跑了15圈后,兩人首次在A點處相遇 (5分)設乙跑了米,甲跑了米時,兩人首次在B點處相遇,設甲、乙兩人的速度分別為v1=5m,v2=6m,由題意可得,即 , (7分)所以,即(p,q均為正整數(shù))。所以p,q的最小值為q=2,p=4, (8分)此時,乙跑過的路程為2504200=1200(米)。 (9分)所以乙跑了1200米后,兩人首次在B點處相遇。 (10分)22、小于20的質數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19 (2分)除了2和5以外,其余各數(shù)的倒數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù), (4分)所以a可以?。?,5,7,11,13,17,19。 (5分)由可知,只要合數(shù)a的因數(shù)中含有2或5以外的質數(shù),那么該數(shù)的倒數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù),(8分)所以a可以?。?,9,12,14,15,18。 (10分)23、如圖1,當點P運動到AC的中點時,BPAC,DPAB, (2分)所以 , (4分)即ABC的周長為BPDPBD=。 (5分)圖2ABCDPGFE圖1ABCDP如圖2,作點B關
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