2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)信息卷(二,解析版).doc

Http:/2012高考數(shù)學(xué)信息卷二一、填空題1. 已知，且，則的值為.2. 函數(shù)的定義域?yàn)镽. ，對(duì)任意的R，則的解集為.提示：設(shè)，,故在R上為增函數(shù).又，由，即，得.3. 設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且，則的取值范圍是.提示： ,點(diǎn)在直線(xiàn)系上，點(diǎn)到直線(xiàn)系 上點(diǎn)的距離取值范圍是.4. 已知數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，的首項(xiàng)是1，隨后兩項(xiàng)都是2，接下來(lái)3項(xiàng)都是3，再接下來(lái)4項(xiàng)都是4，以此類(lèi)推，若，則= 211 .提示：，.5. 已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，、分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn). 為內(nèi)心，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為 2 .提示：, .6. 如圖，在中，在斜邊上，,則的值為 24 .7. 各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，且，若，且數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則=.提示：，,，,.二、解答題1. 如圖，以為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1)求的值； (2)若求的值.解：(1)由三角函數(shù)的定義得則原式= (2)， 2.如圖三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，M,N分別是的中點(diǎn).(1) 求證：;(2) 求證：. 證明：(1)如圖,連接,顯然AC1過(guò)點(diǎn)N.M,N分別是的中點(diǎn)， 又,. (2) 三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，,是正方形.,又的中點(diǎn),.，.3煙囪向其周?chē)貐^(qū)散落煙塵而污染環(huán)境。已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離成反比，現(xiàn)有兩座煙囪相距10，甲煙囪噴出的煙塵濃度是乙煙囪的2倍，在距甲煙囪1km處的煙塵濃度為2個(gè)單位/,現(xiàn)要在甲、乙兩煙囪之間建一所學(xué)校，問(wèn)學(xué)校建在何處，煙塵對(duì)學(xué)校的影響最小？解：設(shè)學(xué)校建立在離甲煙囪處，則該處甲、乙兩煙囪的煙塵濃度分別為 則在該處的煙塵濃度由已知 所以，.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故學(xué)校應(yīng)建立在離甲煙囪處煙塵對(duì)學(xué)校的影響最小.4, (1)求以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓E的方程.(2)點(diǎn)P在橢圓E上，點(diǎn)C(2,1)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，直線(xiàn)CP和DP的斜率都存在且不為0，試問(wèn)直線(xiàn)CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)平行于CD的直線(xiàn)交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn)的方程.解：(2)依題意得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-1），且D點(diǎn)在橢圓E上，直線(xiàn)CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，設(shè)P(x,y),.(3)直線(xiàn)CD的斜率為，CD平行于直線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為由，消去，整理得，, .點(diǎn)C到直線(xiàn)MN的距離為 當(dāng)且僅當(dāng)5. (1) 已知兩個(gè)等比數(shù)列，滿(mǎn)足.若數(shù)列唯一，求的值；(2)是否存在兩個(gè)等比數(shù)列，使得成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求，的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由.解：(1)設(shè)的公比為，則.由成等比數(shù)列得，即.（）由得，故方程（）有兩個(gè)不同的實(shí)根.再由唯一，知方程必有一根為0，將代入方程得.(2) 假設(shè)存在兩個(gè)等比數(shù)列，使得成公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)的公比為，的公比為.則， ， .由成等差數(shù)列得即 (*)-(*)得.由得或.當(dāng)時(shí)，由(*) (*)得或，這時(shí)，與公差不為0矛盾.當(dāng)時(shí)，由(*) (*)得或，這時(shí)，與公差不為0矛盾.綜上所述，不存在兩個(gè)等比數(shù)列，使得成公差不為0的等差數(shù)列.6.已知函數(shù),其中.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求函數(shù)的最值；(3)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，總存在唯一的，使得成立，試求m的取值范圍.解：（1）則當(dāng)時(shí)，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在及上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增.(2)由，可得.由(1)知，當(dāng)，函數(shù)在上是減函數(shù)，而函數(shù)在上也是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.當(dāng)時(shí), 函數(shù)取得最小值.(3)當(dāng)時(shí)，由于，則，由(1)知，此時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù)，從而若時(shí)，由于，則=，易知在上單調(diào)遞增，從而.要使成立，只需，即成立即可,設(shè)則易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以.三、理科附加題1.為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類(lèi)，這三類(lèi)工程所含項(xiàng)目個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任意一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).(1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率.(2)記X為3人中選擇的項(xiàng)目所屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai ，Bi ，Ci ，i=1，2，3.由題意，知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立, A i，B j，C k(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互獨(dú)立，且P (A i)=,P(B j)= ,P(C k)= .(1) 他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率P=3! P (A 1 B2 C3)= 6P (A 1) P (B2) P (C3)=.(2) 設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知所以 故X的分布列是X的數(shù)學(xué)期望是.2.已知函數(shù).(1)當(dāng)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：,(1)由題意可得 解得，因?yàn)榇藭r(shí)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即與直線(xiàn)平行，故所求a的值為3.(2)令得到，由可知. 當(dāng)時(shí)，.所以，故的單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí), ,所以在區(qū)間，在區(qū)間故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上；在區(qū)間上；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜合討論可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單