七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料.docx

第一講數(shù)的整除一、內(nèi)容提要：如果整數(shù)A除以整數(shù)B(B0)所得的商A/B是整數(shù),那么叫做A被B整除。0能被所有非零的整數(shù)整除. 一些數(shù)的整除特征除 數(shù) 能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除 4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771，54324) 11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13從右向左每三位為一段,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的數(shù)的特征：抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)的2倍其差能被7整除。如1001100298（能被7整除）又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的數(shù)的特征：抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)其差能被11整除如1001100199（能11整除）又如10285102851023102399（能11整除）二、例題例1已知兩個(gè)三位數(shù)328和的和仍是三位數(shù)且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整數(shù)，能被9整除，y=6.328567，x=3例2已知五位數(shù)能被12整除，求解：五位數(shù)能被12整除，必然同時(shí)能被3和4整除，當(dāng)1234能被3整除時(shí)，x=2，5，8當(dāng)末兩位能被4整除時(shí)，0，4，88例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30，41，52，63，均可，五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。練習(xí)一1、分解質(zhì)因數(shù)：（寫成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積）75618591287327610101102962、若四位數(shù)能被3整除，那么 a=_3、若五位數(shù)能被11整除，那么_4、當(dāng)m=_時(shí)，能被25整除5、當(dāng)n=_時(shí)，能被7整除6、能被11整除的最小五位數(shù)是_,最大五位數(shù)是_7、能被4整除的最大四位數(shù)是_，能被8整除的最大四位數(shù)是_。8、8個(gè)數(shù)：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號(hào)）：6_,8_,9_,11_9、從1到100這100個(gè)自然數(shù)中，能同時(shí)被2和3整除的共_個(gè)，能被3整除但不是5的倍數(shù)的共_個(gè)。10、由1，2，3，4，5這五個(gè)自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有幾個(gè)？為什么？11、已知五位數(shù)能被15整除，試求A的值。12、求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13、在十進(jìn)制中，各位數(shù)碼是0或1，并能被225整除的最小正整數(shù)是_（1989年全國初中聯(lián)賽題） 第二講 倍數(shù)約數(shù)一、內(nèi)容提要1、兩個(gè)整數(shù)A和B（B0），如果B能整除A（記作BA），那么A叫做B的倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如315，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。2、因?yàn)?除以非0的任何數(shù)都得0，所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3、整數(shù)A（A0）的倍數(shù)有無數(shù)多個(gè)，并且以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，0，A，2A，都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有5，10，。4、整數(shù)A（A0）的約數(shù)是有限個(gè)的，并且也是以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)的，其中必包括1和A。例如6的約數(shù)是1，2，3，6。5、通常我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾個(gè)正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最大的公約數(shù)。6、公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（例如15與28互質(zhì)）。7、在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)除數(shù)商數(shù)余數(shù)。若用字母表示可記作：ABQR，當(dāng)A，B，Q，R都是整數(shù)且B0時(shí)，AR能被B整除。例如23372，則232能被3整除。二、例題例1寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計(jì)其個(gè)數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應(yīng)用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)21，2231，32231，2，3，64221，2，43321，3，3232231，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其規(guī)律是：設(shè)Aambn(a，b是質(zhì)數(shù),m，n是正整數(shù))，那么合數(shù)A的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（m+1）(n+1)例如求360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：36023325，360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（31）（21）（11）24（個(gè)）例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24，90最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解：24233，902325最大公約數(shù)是23， 記作（24，90）6最小公倍數(shù)是23325360， 記作24,90=360例3已知32，44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公約數(shù)（30，42）6，而6的正約數(shù)有1，2，3，6經(jīng)檢驗(yàn)1和2不合題意，N6，3例4一個(gè)數(shù)被10除余9，被9除余8，被8除余7，求適合條件的最小正整數(shù)分析：依題意如果所求的數(shù)加上1，則能同時(shí)被10，9，8整除,所以所求的數(shù)是10，9，8的最小公倍數(shù)減去1。解：10,9,8=360,所以所求的數(shù)是359練習(xí)二1、12的正約數(shù)有_,16的所有約數(shù)是_2、分解質(zhì)因數(shù)300_,300的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是_3、用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4、一個(gè)三位數(shù)能被7，9，11整除，這個(gè)三位數(shù)是_5、能同時(shí)被3，5，11整除的最小四位數(shù)是_，最大三位數(shù)是_6、已知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2，則A_7、寫出能被2整除，且有約數(shù)5，又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。8、一個(gè)長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈，要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數(shù)寸作為邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9、一條長階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階；如果每步跨3階，那么最后剩2階；如果每步跨4階，那么最后剩3階；如果每步跨5階，那么最后剩4階；如果每步跨6階，那么最后剩5階；只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？第三講質(zhì)數(shù)合數(shù)一、內(nèi)容提要1、正整數(shù)的一種分類： 質(zhì)數(shù)的定義：如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素?cái)?shù)）。合數(shù)的定義：一個(gè)正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。根椐質(zhì)數(shù)定義可知質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個(gè)正約數(shù)。質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2。如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個(gè)是2；如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有一個(gè)是2。3、任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。二、例題例1兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a (a5)，求這兩個(gè)數(shù)。解：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)必有一個(gè)是2所求的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和a2。例2已知兩個(gè)整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m, 求這兩個(gè)數(shù)。解：質(zhì)數(shù)m只含兩個(gè)正約數(shù)1和m, 又（1）（m）=m所求的兩個(gè)整數(shù)是1和m或者1和m.例3已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30，求適合條件的a,b,c的值。解：分解質(zhì)因數(shù)：30235適合條件的值共有： ， 應(yīng)注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2357，那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例4試寫出4個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設(shè)N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N235那么N2，N3，N4，N5就是適合條件的四個(gè)合數(shù)即32，33，34，35就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n 個(gè)。令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合數(shù)。練習(xí)三1、小于100的質(zhì)數(shù)共_個(gè)，它們是_2、已知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11，則P_，Q_3、已知兩個(gè)素?cái)?shù)的差是41，那么它們分別是_4、如果兩個(gè)自然數(shù)的積等于19，那么這兩個(gè)數(shù)是_；如果兩個(gè)整數(shù)的積等于73，那么它們是_；如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于15，則它們是_。5、兩個(gè)質(zhì)數(shù)x和y，已知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y=_.6、三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于1990，那么7、能整除311513的最小質(zhì)數(shù)是_8、已知兩個(gè)質(zhì)數(shù)A和B適合等式AB99，ABM，求M及的值。9、試寫出6個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。10、具備什么條件的最簡(jiǎn)正分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)？11、求適合下列三個(gè)條件的最小整數(shù)：大于1沒有小于10的質(zhì)因數(shù)不是質(zhì)數(shù)12、某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個(gè)質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是_13、一個(gè)質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個(gè)質(zhì)數(shù)是_。第四講 零的特性一、內(nèi)容提要（一）零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。1、零是表示具有相反意義的量的基準(zhǔn)數(shù)。例如：海拔0米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高收支平衡可記作結(jié)存0元。2、零是判定正、負(fù)數(shù)的界限。若a 0則a是正數(shù)，反過來也成立，若a是正數(shù)，則 a0記作a0 a是正數(shù)讀作a0等價(jià)于a是正數(shù)bb時(shí),a-b0；當(dāng)ab時(shí),a-b0.（三）在近似數(shù)中，當(dāng)0作為有效數(shù)字時(shí)，它表示不同的精確度。例如近似數(shù)1.6米與1.60米不同，前者表示精確到0.1米（即1分米）,誤差不超過5厘米； 后者表示精確到0.01米（即1厘米），誤差不超過5毫米?？捎貌坏仁奖硎酒渲捣秶缦拢?.55近似數(shù)1.61.651.595近似數(shù)1.60a, a2 a2, aa, a+1a3、x表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：_句。（x2）2有最小值0，x+3|有最大值0，2x2有最大值2，3x1有最小值3。4、絕對(duì)值小于5的有理數(shù)有幾個(gè)？它們的積等于多少？為什么？5、要使下列等式成立，字母、應(yīng)取什么值？0，0，06、下列說法正確嗎？為什么？a的倒數(shù)是方程（a1）3的解是n表示一切自然數(shù)，2n1表示所有的正奇數(shù)如果ab, 那么m2am2b (a 、b 、m都是有理數(shù) )7、取什么值時(shí)，下列代數(shù)式的值是正數(shù)？（1）（1）（2） 第五講 an 的個(gè)位數(shù)一、內(nèi)容提要1. 整數(shù)a的正整數(shù)次冪an,它的個(gè)位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次冪的個(gè)位數(shù)字相同。例如20023與23的個(gè)位數(shù)字都是8。2. 0，1，5，6，的任何正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字都是它們本身。例如57的個(gè)位數(shù)是5，620的個(gè)位數(shù)是6。2，3，7的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律見下表：指數(shù)12345678910底數(shù)224862486243397139713977931793179其規(guī)律是：2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)是按2、4、8、6四個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1與21，24k2與22，24k3與23，24k4與24的個(gè)位數(shù)是相同的（K是正整數(shù)）。3和7也有類似的性質(zhì)。4. 4，8，9的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用422，823，932轉(zhuǎn)化為以2、3為底的冪。5. 綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)有如下的一般規(guī)律：a4km與am的個(gè)位數(shù)相同(k,m都是正整數(shù))。二、例題20032003的個(gè)位數(shù)是多少？解：20032003與32003的個(gè)位數(shù)是相同的，200345003，32003與33的個(gè)位數(shù)是相同的，都是7，2003的個(gè)位數(shù)是7。試說明6320001472002的和能被10整除的理由解：20004500，200245002632000與34的個(gè)位數(shù)相同都是1，1472002與72的個(gè)位數(shù)相同都是9，6320001472002的和個(gè)位數(shù)是0，6320001472002的和能被10整除。k取什么正整數(shù)值時(shí)，3k2k是5的倍數(shù)？解：列表觀察個(gè)位數(shù)的規(guī)律k12343的個(gè)位數(shù)39712的個(gè)位數(shù)24863k2k的個(gè)位數(shù)55從表中可知，當(dāng)k1，3時(shí)，3k2k的個(gè)位數(shù)是5，am與a4n+m 的個(gè)位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)）;當(dāng)k為任何奇數(shù)時(shí)，3k2k是5的倍數(shù)。練習(xí)五1、在括號(hào)里填寫各冪的個(gè)位數(shù)（k是正整數(shù)）220的個(gè)位數(shù)是（） 45的個(gè)位數(shù)是（）330的個(gè)位數(shù)是（）87的個(gè)位數(shù)是（）74K+1的個(gè)位數(shù)是（） 31179的個(gè)位數(shù)是（） 216314的個(gè)位數(shù)是（）32k-172k-1的個(gè)位數(shù)是（）72k32k的個(gè)位數(shù)是（） 74k-164k-3的個(gè)位數(shù)是（）7710331522205525的個(gè)位數(shù)是（）2、目前知道的最大素?cái)?shù)是22160911，它的個(gè)位數(shù)是_。3、說明如下兩個(gè)數(shù)都能被10整除的理由。5353333319871989199319914、正整數(shù)m取什么值時(shí)，3m1是10的倍數(shù)？5、設(shè)n是正整數(shù)，試說明2 n 7n+2能被5整除的理由。6、若a4的個(gè)位數(shù)是5，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_若a4的個(gè)位數(shù)是1，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_若a4的個(gè)位數(shù)是6，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_若a2k-1的個(gè)位數(shù)是7，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_7、 12+22+32+92的個(gè)位數(shù)是_，12+22+32+192的個(gè)位數(shù)是_，12+22+32+292的個(gè)位數(shù)是_。8、 a,b,c是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321第六講 數(shù)學(xué)符號(hào)一、內(nèi)容提要數(shù)學(xué)符號(hào)是表達(dá)數(shù)學(xué)語言的特殊文字。每一個(gè)符號(hào)都有確定的意義，即當(dāng)我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學(xué)符號(hào)一般可分為：1、元素符號(hào)：通常用小寫字母表示數(shù)，用大寫字母表示點(diǎn)，用和表示圓和三角形等。2、關(guān)系符號(hào)：如等號(hào)，不等號(hào)，相似，全等，平行，垂直等。3、運(yùn)算符號(hào)：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對(duì)值等。4、邏輯符號(hào)：略5、約定符號(hào)和輔助符號(hào)：例如我們約定正整數(shù)a和b中，如果a除以b的商的整數(shù)部分記作Z（），而它的余數(shù)記作R（）， 那么Z（）3，R（）1；又如設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，那么5，6，0，3。正確使用符號(hào)的關(guān)健是明確它所表示的意義（即定義）對(duì)題設(shè)中臨時(shí)約定的符號(hào)，一定要扣緊定義，由簡(jiǎn)到繁，由淺入深，由具體到抽象，逐步加深理解。在解題過程中為了簡(jiǎn)明表述，需要臨時(shí)引用輔助符號(hào)時(shí)，必須先作出明確的定義，所用符號(hào)不要與常規(guī)符號(hào)混淆。二、例題例1設(shè)表示不大于Z的最大整數(shù)，n為正整數(shù)n除以3的余數(shù) 計(jì)算：132004解：原式4（3）100原式14202例2求19871988的個(gè)位數(shù) 說明1987198919931991能被10整除的理由解：設(shè)N（x）表示整數(shù)x的個(gè)位數(shù)N（19871988）N（74497）N（74）1N（19871989）N（19931991）N（744971）N（344973）N（71）N（33）7701987198919931991能被10整除 由于引入輔助符號(hào)，解答問題顯得簡(jiǎn)要明了。例3.定義一種符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則為：ab=2a+b試計(jì)算：53（17）4解：5325313（17）4（217）49429422設(shè)ab=a(ab+7), 求等式3x=2(-8)中的x解：由題設(shè)可知：等式3x=2(-8)就是3（3x7）22（8）79x+21=18x=4練習(xí)六設(shè)Qx 表示有理數(shù)x 的整數(shù)部分，那么Q2.15_，Q12.3=_， Q0.03_，Q_。2、設(shè)n表示不小于n的最小整數(shù)，那么4.3_，2.3_，2_，0.30.3_。3、設(shè)表示不大于m的最大整數(shù)若m=2，則= _ 若n= 3.5，則=_ 若10，則_若7b8，則_若=4，則_x_若nCn1則_4、正整數(shù)a和b中，設(shè)a除以b的商的整數(shù)部分記作Z（）余數(shù)記作R（），ab的個(gè)位數(shù)記作n（ab）,寫出下列各數(shù)的結(jié)果：R（）R（）_Z（）Z（）_n(19891990)= _ 5、設(shè)n！表示自然數(shù)由1到n的連乘積，例如5！12345120計(jì)算：1203!6、設(shè)= a1b2a2b1，計(jì)算：；7、定義一種符號(hào)的運(yùn)算法則為ab=， 那么32_ 23_（12）3_（3）（10）_8、a,b都是正整數(shù)，設(shè)ab表示從a起b個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和。例如23234，545678已知52005，求9、設(shè)x表示不大于x數(shù)的最大整數(shù)且xx，求10、設(shè)a表示不大于數(shù)a的最大整數(shù)，例如1，2，那么3x+12x-的所有的根的和是_（1987年全國初中聯(lián)賽題）第七講 用字母表示數(shù)內(nèi)容提要和例題1、用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡(jiǎn)明而普遍地表達(dá)出來，從具體的數(shù)字計(jì)算到用抽象的字母概括運(yùn)算規(guī)律上，是一種飛躍。2、用字母表示數(shù)時(shí)，字母所取的值，應(yīng)使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實(shí)際問題有意義。例如寫出數(shù)a的倒數(shù)用字母表示一切偶數(shù)解：當(dāng)a0時(shí)，a的倒數(shù)是設(shè)n為整數(shù)，2n可表示所有偶數(shù)。3、命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒有說明的情況下，它表示所學(xué)過的數(shù)，并且能使題設(shè)有意義。例題化簡(jiǎn)：x 3（x3） | x+5|解：x3,x30，x3（x3）x3當(dāng)x5時(shí)，x5x5，當(dāng)x 0，b0，那么 a+b0，不可逆絕對(duì)值性質(zhì) 如果a0,那么|a|=a，也不可逆(若|a|=a則a0)7、有規(guī)律的計(jì)算，?？捎米帜副硎酒浣Y(jié)果，或概括成公式。 例1：正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個(gè)？不同的n位數(shù)呢？ 解：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999減去最小五位數(shù)10000前的所有正整數(shù)，即99999-9999=90000. 推廣到n位正整數(shù)，則要觀察其規(guī)律一位正整數(shù),從1到9共9個(gè)， 記作91二位正整數(shù)從10到99共90個(gè)， 記作910三位正整數(shù)從100到999共900個(gè)， 記作9102四位正整數(shù)從1000到9999共9000個(gè)， 記作9103 (指數(shù)3=4-1) n位正整數(shù)共910 n-1個(gè)例2 在線段AB上加了3個(gè)點(diǎn)C、D、E后，圖中共有幾條線段？ 加n點(diǎn)呢？解：以A為一端的線段有： AC、AD、AE、AB 共4條以C為一端的線段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3條以D為一端的線段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2條以E為一端的線段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1條共有線段1+2+3+4=10 (條) 注意：3個(gè)點(diǎn)時(shí)，是從1加到4， 因此 如果是n個(gè)點(diǎn)，則共有線段1+2+3+n+1= =條練習(xí)七1、右邊代數(shù)式中的字母應(yīng)取什么值？ S正方形=a2 3的倍數(shù)3n2、用字母表示：一切奇數(shù)；所有正偶數(shù)；一個(gè)三位數(shù)；n個(gè)a相乘的結(jié)果；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。3、寫出：從1開始，n 個(gè)自然數(shù)的和是_從11開始到2n+1 連續(xù)奇數(shù)的和( n5)是_m個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽所需場(chǎng)數(shù)是_4、已知999=1031, 9999=1041, 那么各位數(shù)都是9的n位數(shù)=_5、計(jì)算112=_，1112= _，=_6、寫出圖中所有三角形并計(jì)算其個(gè)數(shù)，如果線段上有個(gè)點(diǎn)呢？ 第八講 抽屜原則一、內(nèi)容提要1、4個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜，有一種必然的結(jié)果：至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋果不少于2個(gè)（即等于或多于2個(gè)）；如果7個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜，那么至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋果不少于3個(gè)（即等于或多于3個(gè)），這就是抽屜原則的例子。2、如果用表示不小于的最小整數(shù)，例如3， 。那么抽屜原則可定義為：m個(gè)元素分成n個(gè)集合（m、n為正整數(shù)mn）,則至少有一個(gè)集合里元素不少于個(gè)。3、根據(jù)的定義，已知m、n可求；己知，則可求的范圍，例如已知3，那么23；已知2，則 12，即3x6，x有最小整數(shù)值4。二、例題例1某校有學(xué)生2000人，問至少有幾個(gè)學(xué)生生日是同一天？分析：我們把2000名學(xué)生看作是蘋果，一年365天（閏年366天）看作是抽屜，即把m（2000）個(gè)元素，分成n(366)個(gè)集合，至少有一個(gè)集合的元素不少于個(gè)解：56答：至少有6名學(xué)生的生日是同一天例2 從1到10這十個(gè)自然數(shù)中，任意取出6個(gè)數(shù)，其中至少有兩個(gè)是倍數(shù)關(guān)系，試說明這是為什么。解：我們把1到10的奇數(shù)及它們的倍數(shù)放在同一集合里，則可分為5個(gè)集合，它們是：1，2，4，8，3，6，5，10，7，9。要在5個(gè)集合里取出6個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)是在同一集合，而在同一集合里的任意兩個(gè)數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系。（本題的關(guān)鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3 袋子中有黃、紅、黑、白四種顏色的小球各6個(gè),請(qǐng)你從袋中取出一些球，要求至少有3個(gè)顏色相同，那么至少應(yīng)取出幾個(gè)才有保證。分析：我們可把4種球看成4個(gè)抽屜（4個(gè)集合），至少有3個(gè)球同顏色，看成是至少有一個(gè)抽屜不少于3個(gè)（有一個(gè)集合元素不少于3個(gè)）。解：設(shè)至少應(yīng)取出x個(gè)，用表示不小于的最小整數(shù)，那么3，23，即8x 12，最小整數(shù)值是9。答：至少要取出9個(gè)球，才能確保有三個(gè)同顏色。例4 等邊三角形邊長為2，在這三角形內(nèi)部放入5個(gè)點(diǎn)，至少有2個(gè)點(diǎn)它們的距離小于1，試說明理由。 解：取等邊三角形各邊中點(diǎn)，并連成四個(gè)小三角形，（如圖）它們邊長等于1，5個(gè)點(diǎn)放入4個(gè)三角形，至少有2個(gè)點(diǎn)放在同一個(gè)三角形內(nèi)，而同一個(gè)三角形內(nèi)的2個(gè)點(diǎn)之間的距離必小于邊長1。練習(xí)八1、初一年新生從全縣17個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有_人來自同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2、任取30個(gè)正整數(shù)分別除以7，那么它們的余數(shù)至少有_個(gè)是相同的。3、在2003m中，指數(shù)m任意取10個(gè)正整數(shù)，那么這10個(gè)冪的個(gè)位數(shù)中相同的至少有_個(gè).4、暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各30只，為確保取出的祙子至少有1雙（2只同規(guī)格為1雙），那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5、袋子里有黑、白球各一個(gè)，紅、藍(lán)、黃球各6個(gè)，請(qǐng)你拿出一些球，要確保至少有4個(gè)同顏色，那么最少要取幾個(gè)？6、任意取11個(gè)正整數(shù)，至少有兩個(gè)它們的差能被10整除，這是為什么？7、右圖有3行9列的方格，若用紅、藍(lán)兩種顏色涂上，則至少有2列的涂色方式是一樣的，試說明這是為什么。8、任意取3個(gè)正整數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)。試說明理由。9、90粒糖果分給13個(gè)小孩，每人至少分1粒，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多，這是為什么？10、11個(gè)互不相同的正整數(shù)，它們都小于20，那么一定有兩個(gè)是互質(zhì)數(shù)。（最大公約數(shù)是1的兩個(gè)正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）11、任意6個(gè)人中，或者有3個(gè)人他們之間都互相認(rèn)識(shí)，或者有3個(gè)人他們之間都互不相識(shí)，兩者必居其一，這是為什么？ 第九講 一元一次方程解的討論一、內(nèi)容提要1、方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分別是x=3, x=0或x=1, x=6, 所有的數(shù)，無解。2、關(guān)于x 的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡(jiǎn)方程ax=b后，討論它的解：當(dāng)a0時(shí)，有唯一的解x=；當(dāng)a=0且b0時(shí)，無解；當(dāng)a=0且b0時(shí)，有無數(shù)多解。（不論x取什么值，0x0都成立）3、求方程ax=b(a0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當(dāng)ab時(shí)，方程有整數(shù)解；當(dāng)ab，且a、b同號(hào)時(shí)，方程有正整數(shù)解；當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應(yīng)先化為最簡(jiǎn)方程ax=b二、例題例1 a取什么值時(shí)，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？無解？有無數(shù)多解？是正數(shù)解？解：當(dāng)a0且a2 時(shí)，方程有唯一的解，x=當(dāng)a=0時(shí)，原方程就是0x= 8，無解；當(dāng)a=2時(shí)，原方程就是0x=0有無數(shù)多解由可知當(dāng)a0且a2時(shí)，方程的解是x=,只要a與4同號(hào)，即當(dāng)a0且a2時(shí)，方程的解是正數(shù)。例2 k取什么整數(shù)值時(shí)，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整數(shù)？（1x）k=6的解是負(fù)整數(shù)？解：化為最簡(jiǎn)方程（k2）x=4當(dāng)k+2能整除4，即k+2=1，2，4時(shí)，方程的解是整數(shù) k=1，3，0，4，2，6時(shí)方程的解是整數(shù)?；癁樽詈?jiǎn)方程kx=k6，當(dāng)k0時(shí)x=1，只要k能整除6,即 k=1，2，3，6時(shí)，x就是整數(shù)當(dāng)k=1,2,3時(shí)，方程的解是負(fù)整數(shù)5，2，1。例3已知方程a(x2)=b(x+1)2a無解。問a和b應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：原方程化為最簡(jiǎn)方程：(ab)x=b方程無解，ab=0且b0a和b應(yīng)滿足的關(guān)系是a=b0。例4a、b取什么值時(shí)，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有無數(shù)多解？解：原方程化為最簡(jiǎn)方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根據(jù)0x0時(shí)，方程有無數(shù)多解，可知當(dāng)時(shí)，原方程有無數(shù)多解。解這個(gè)方程組得答：當(dāng)a=2且b=1時(shí)，原方程有無數(shù)多解。練習(xí)九1、根據(jù)方程的解的定義，寫出下列方程的解：(x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x2、關(guān)于x的方程ax=x+2無解，那么a_3、在方程a(a3)x=a中，當(dāng)a取值為_時(shí)，有唯一的解；當(dāng)a_時(shí)無解；當(dāng)a_時(shí),有無數(shù)多解；當(dāng)a_時(shí),解是負(fù)數(shù)。4、k取什么整數(shù)值時(shí)，下列等式中的x是整數(shù)？x= x= x= x=5、k取什么值時(shí)，方程xk=6x的解是 正數(shù)？ 是非負(fù)數(shù)？6、m取什么值時(shí)，方程3（m+x）=2m1的解 是零？ 是正數(shù)？7、已知方程的根是正數(shù)，那么a、b應(yīng)滿足什么關(guān)系？8、m取什么整數(shù)值時(shí)，方程的解是整數(shù)?9、已知方程有無數(shù)多解，求a、b的值。第十講 二元一次方程的整數(shù)解一、內(nèi)容提要1、二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b）|c 則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時(shí)一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整數(shù)解。反過來也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都沒有整數(shù)解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公約數(shù)，（a,b）中的a,b實(shí)為它們的絕對(duì)值。2、二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無數(shù)多個(gè)，常引入整數(shù)k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解解：x= (1) , 設(shè)是整數(shù)），則y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整數(shù)解是（k是整數(shù)）方法二：公式法：設(shè)ax+by=c有整數(shù)解則通解是（x0,y0可用觀察法）求二元一次方程的正整數(shù)解：求出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值用觀察法直接寫出。二、例題例1求方程5x9y=18整數(shù)解的通解解：x=設(shè)（k為整數(shù)），y=35k,代入得x=99k 原方程整數(shù)解是（k為整數(shù)） 又解：當(dāng)x=o時(shí)，y=2，方程有一個(gè)整數(shù)解它的通解是（k為整數(shù)）從以上可知整數(shù)解的通解的表達(dá)方式不是唯一的。例2求方程5x+6y=100的正整數(shù)解解：x=(1)， 設(shè)(k為整數(shù))，則y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，解不等式組得0k,k的整數(shù)解是1，2，3，正整數(shù)解是，例3甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？解：設(shè)甲種書買x本，乙種書買y本，根據(jù)題意得3x+5y=38（x,y都是正整數(shù)）x1時(shí)，y=7，是一個(gè)整數(shù)解通解是（k為整數(shù)）解不等式組得解集是整數(shù)k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整數(shù)解，答：甲、乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本。練習(xí)十1、求下列方程的整數(shù)解公式法：x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42、求方程的正整數(shù)解：5x+7y=875x+3y=1103、一根長10000毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米，乙種毛坯長250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？4、兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的歲數(shù)。5、下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個(gè)？答：_ （填編號(hào)）4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6、一張?jiān)噹営?0道選擇題，選對(duì)每題得5分，選錯(cuò)每題反扣2分，不答得0分，小軍同學(xué)得48分，他最多得幾分？7、用觀察法寫出方程3x+7y=1幾組整數(shù)解：y=142x=第十一講 二元一次方程組解的討論一、內(nèi)容提要：二元一次方程組的解的情況有以下三種：當(dāng)時(shí)，方程組有無數(shù)多解。（兩個(gè)方程等效）當(dāng)時(shí)，方程組無解。（兩個(gè)方程是矛盾的）當(dāng)（即a1b2a2b10）時(shí)，方程組有唯一的解：（這個(gè)解可用加減消元法求得）方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當(dāng)已知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見例2、3）二、例題例1.選擇一組a,c值使方程組有無數(shù)多解，無解，有唯一的解解：當(dāng)5a=12=7c時(shí)，方程組有無數(shù)多解解比例得a=10,c=14。當(dāng)5a127c時(shí)，方程組無解。解得a=10,c14。當(dāng)5a12時(shí)，方程組有唯一的解，即當(dāng)a10時(shí)，c不論取什么值，原方程組都有唯一的解。例2.a取什么值時(shí)，方程組 的解是正數(shù)？解：把a(bǔ)作為已知數(shù)，解這個(gè)方程組得解不等式組得解集是6答：當(dāng)a的取值為6時(shí)，原方程組的解是正數(shù)。例3.m取何整數(shù)值時(shí)，方程組的解x和y都是整數(shù)？解：把m作為已知數(shù)，解方程組得x是整數(shù)，m8取8的約數(shù)1，2，4，8。y是整數(shù)，m8取2的約數(shù)1，2。取它們的公共部分，m81，2。解得m=9，7，10，6。經(jīng)檢驗(yàn)m=9，7，10，6時(shí)，方程組的解都是整數(shù)。例4（古代問題）用100枚銅板買桃，李，欖橄共100粒，己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板，而欖橄7粒1枚銅板。問桃，李，欖橄各買幾粒？解：設(shè)桃，李，欖橄分別買x,y,z粒,依題意得由（1）得x= 100yz (3)把（3）代入（2），整理得y=200+3z 設(shè)(k為整數(shù))得z=7k, y=200+20k, x=30027kx,y,z都是正整數(shù)解得（k是整數(shù)）10k3和不等式（2）的解集x2的交集，x3。如右上圖數(shù)軸所示： 4一類問題，它的答案要同時(shí)符合幾個(gè)條件，一般可用交集來解答。把符合每個(gè)條件的所有的解（即解的集合）分別求出來，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案。有時(shí)可以先求出其中的一個(gè)（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一篩選、剔除，求得答案。（如例2）二、例題例1.一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)自然數(shù)的最小值。解：除以3余2的自然數(shù)集合A2