數(shù)學競賽輔導資料最短路程問題.doc

數(shù)學競賽輔導資料最短路程問題數(shù)學競賽輔導資料最短路程問題“螞蟻覓捷徑”問題，融知識性和趣味性于一體，有利于提高同學們的空間想象能力，培養(yǎng)同學們的探究意識和創(chuàng)新精神。現(xiàn)選取幾例供大家參考。例1 如圖1，一只螞蟻要從棱長為1的正方體的一個頂點A沿著表面爬到與它相距最遠的另一個頂點G。螞蟻爬行的最短路程是多少？圖1分析解答：解答“螞蟻覓捷徑”問題最關鍵的就是確定最短爬行路線。對于本題，有的同學可能會認為最短路程是或等。這些都是錯誤的。本題要求同學們展開自己的空間想象能力，把正方體沿FG、GC、BC剪開，使面BCGF與面ABFE在同一個平面內，如圖2所示，你會發(fā)現(xiàn)最短路程就是的斜邊AG之長（兩點之間線段最短）。利用勾股定理易得，所以螞蟻爬行的最短路程為。圖2不過，路線可不止一條，你還能再找出來嗎？我們不難發(fā)現(xiàn)，若正方體的棱長為a，最短路程就是。當螞蟻在正方體內時，最短路線有6條，它們都同樣是。例2 如圖3，一只螞蟻從長、寬、高分別為5，4，3的長方體的一個頂點A沿著表面爬行到與之最遠的另一個頂點G，最短路程是多少？圖3分析解答：通過解答例1給我們的啟發(fā)，對此問題，將有六種方式對長方體表面進行剪開鋪平求解。究竟哪條線路最短，下面逐一解答再比較。（1）剪開FG、GC、CB鋪平得。（2）剪開HG、GC、CD鋪平得。（3）剪開EF、FG、GH鋪平得。（4）剪開FB、FG、CG鋪平得。（5）剪開FG、GH、HE鋪平得。（6）剪開DH、HG、GC鋪平得。因此最短路程為，這樣的路線有兩條。由此我們知道，若長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且時，最短路程就是。例3 如圖4，一只螞蟻繞圓柱一周從母線AB的端點A爬到B點。若圓柱的高為，底面半徑為2，求螞蟻爬行的最短路程。圖4分析解答：將圓柱側面沿母線AB剪開展平得圖5，則螞蟻沿圖5中的路線AB爬行是最短路線。在中，由勾股定理得。這樣的路線有兩條。圖5想一想，如果螞蟻從圖4中的A點出發(fā)，沿圓柱側面爬到上底面的C點，你能求出最短路程嗎？這樣的路線有幾條？例4 如圖6，一個圓錐底面半徑為10，母線長為30，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐側面爬行一周回到A點，所走過的最短路程是多少？圖6分析解答：把圓錐的側面沿母線AB剪開再展平得圖7，則所求最短路線就是圖7中線段的長度。圖7因為所以。在RtABC中，已知，由三角函數(shù)知識或勾股定理均可得到。其路線有兩條。例5 如圖8，已知圓錐底面半徑為5，母線長為20。一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐側面繞行一周到母線AB中點C處，它爬行的最短路程是多少？圖8分析與解答：將圓錐的側面沿母線AB剪開再展平得圖9，則所求長度為圖9中AC的長。圖9在ABC中，。已知，根據(jù)勾股定理得。路線同樣有兩條。想一想，當其條條件不變，如果A