【步步高】（四川專用）高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義 3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算 理 新人教A版.DOC

3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算2014高考會(huì)這樣考1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；2.考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算，尤其是簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解導(dǎo)數(shù)的意義，熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則；2.靈活進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)；3.會(huì)求某點(diǎn)處切線的方程或過(guò)某點(diǎn)的切線方程1 函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率為，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，則平均變化率可表示為.2 函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)3 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x) 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y.4 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c (c為常數(shù))f(x)_0_f(x)xn (nq*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a0)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)5. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)6 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 深刻理解“函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是一個(gè)常數(shù)；(2)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，是針對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x都可導(dǎo)，是指對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一個(gè)確定的值x0都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x0)這樣就在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù)，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)在不產(chǎn)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)2 曲線yf(x)“在點(diǎn)p(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)p(x0，y0)的切線”的區(qū)別與聯(lián)系(1)曲線yf(x)在點(diǎn)p(x0，y0)處的切線是指p為切點(diǎn)，切線斜率為kf(x0)的切線，是唯一的一條切線(2)曲線yf(x)過(guò)點(diǎn)p(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過(guò)p點(diǎn)點(diǎn)p可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條1 f(x)是函數(shù)f(x)x32x1的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值為_(kāi)答案3解析f(x)x22，f(1)(1)223.2. 如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)p處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)_.答案2解析如圖可知，f(5)3，f(5)1，因此f(5)f(5)2.3 已知f(x)x23xf(2)，則f(2)_.答案2解析由題意得f(x)2x3f(2)，f(2)223f(2)，f(2)2.4 已知點(diǎn)p在曲線f(x)x4x上，曲線在點(diǎn)p處的切線平行于3xy0，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1,0)解析由題意知，函數(shù)f(x)x4x在點(diǎn)p處的切線的斜率等于3，即f(x0)4x13，x01，將其代入f(x)中可得p(1,0)5曲線y在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為_(kāi)答案y2x1解析易知點(diǎn)(1，1)在曲線上，且y，切線斜率ky|x12.由點(diǎn)斜式得切線方程為y12(x1)，即y2x1.題型一利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x3在xx0處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f(x)x3在xx0處的切線與曲線f(x)x3的交點(diǎn)思維啟迪：正確理解導(dǎo)數(shù)的定義，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是本題的關(guān)鍵解f(x0) (x2xx0x)3x.曲線f(x)x3在xx0處的切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)探究提高求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)步驟：(1)求函數(shù)值的增量ff(x2)f(x1)；(2)計(jì)算平均變化率；(3)計(jì)算導(dǎo)數(shù)f(x) . 利用導(dǎo)數(shù)的定義，求：(1)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)；(2)f(x)的導(dǎo)數(shù)解(1)，f(1) .(2)，f(x) .題型二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yexln x；(2)yx；(3)ysin2；(4)yln(2x5)思維啟迪：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先要搞清函數(shù)的結(jié)構(gòu)；若式子能化簡(jiǎn)，可先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)解(1)y(exln x)exln xexex(ln x)(2)yx31，y3x2.(3)設(shè)yu2，usin v，v2x，則yxyuuvvx2ucos v24sincos2sin.(4)設(shè)yln u，u2x5，則yxyuux，因此y(2x5).探究提高(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行求導(dǎo)，有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量；(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，通過(guò)設(shè)中間變量，確定復(fù)合過(guò)程，然后求導(dǎo) 求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)y；(3)y(1sin x)2；(4)yln.解(1)y，y.(2)ycos xsin x，ysin xcos x.(3)設(shè)u1sin x，則y(1sin x)2，由yu2與u1sin x復(fù)合而成因此yf(u)u2ucos x2cos x(1sin x)(4)y(ln)()(x21)(x21).題型三導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3已知曲線yx3.(1)求曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)p(2,4)的切線方程；(3)求斜率為1的曲線的切線方程思維啟迪：求曲線的切線方程，方法是通過(guò)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線的斜率，再通過(guò)點(diǎn)斜式得切線方程解(1)p(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點(diǎn)p(2,4)處的切線的斜率為y|x24.曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過(guò)點(diǎn)p(2,4)的切線相切于點(diǎn)a，則切線的斜率為y|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點(diǎn)p(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為xy20或4xy40.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則切線的斜率為x1，x01.切點(diǎn)為(1,1)或，切線方程為y1x1或yx1，即xy20或3x3y20.探究提高利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問(wèn)題，一定要熟練掌握以下條件：(1)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)(2)切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上切線有可能和曲線還有其它的公共點(diǎn) 已知拋物線yax2bxc通過(guò)點(diǎn)p(1,1)，且在點(diǎn)q(2，1)處與直線yx3相切，求實(shí)數(shù)a、b、c的值解y2axb，拋物線在點(diǎn)q(2，1)處的切線斜率為ky|x24ab.4ab1.又點(diǎn)p(1,1)、q(2，1)在拋物線上，abc1，4a2bc1.聯(lián)立解方程組，得實(shí)數(shù)a、b、c的值分別為3、11、9. 一審條件挖隱含典例：(12分)設(shè)函數(shù)yx22x2的圖象為c1，函數(shù)yx2axb的圖象為c2，已知過(guò)c1與c2的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直(1)求a，b之間的關(guān)系；(2)求ab的最大值審題路線圖c1與c2有交點(diǎn)(可設(shè)c1與c2的交點(diǎn)為(x0，y0)過(guò)交點(diǎn)的兩切線互相垂直(切線垂直隱含著斜率間的關(guān)系)兩切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求兩切線的斜率：k12x02，k22x0a(2x02)(2x0a)1(交點(diǎn)(x0，y0)適合解析式)，即2x(a2)x02b0ababa2當(dāng)a時(shí)，ab最大且最大值為.規(guī)范解答解(1)對(duì)于c1：yx22x2，有y2x2，1分對(duì)于c2：yx2axb，有y2xa，2分設(shè)c1與c2的一個(gè)交點(diǎn)為(x0，y0)，由題意知過(guò)交點(diǎn)(x0，y0)的兩切線互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又點(diǎn)(x0，y0)在c1與c2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.6分(2)由(1)知：ba，aba2.9分當(dāng)a時(shí)，(ab)最大值.12分溫馨提醒審題包括兩方面內(nèi)容：題目信息的挖掘、整合以及解題方法的選擇；本題切入點(diǎn)是兩條曲線有交點(diǎn)p(x0，y0)，交點(diǎn)處的切線互相垂直，通過(guò)審題路線可以清晰看到審題的思維過(guò)程.方法與技巧1 在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)，特別要注意f(x0)與(f(x0)是不一樣的，f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值，不一定為0；而(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0)0.2 對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤失誤與防范1 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意到x與x的區(qū)別，這里的x是常量，x是變量2 利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆3 求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)p處的切線與過(guò)p點(diǎn)的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者4 曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()a1 b2 c2 d0答案b解析f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)且f(1)2，f(1)2.2 已知f(x)xln x，若f(x0)2，則x0等于()ae2 be c. dln 2答案b解析f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.3 若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()a4xy30 bx4y50c4xy30 dx4y30答案a解析切線l的斜率k4，設(shè)yx4的切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則k4x4，x01，切點(diǎn)為(1,1)，即y14(x1)，整理得l的方程為4xy30.4 (2011大綱全國(guó))曲線ye2x1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為 ()a. b. c. d1答案a解析y2e2x，ky|x02e02，切線方程為y22(x0)，即y2x2.如圖，y2x2與yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，y2x2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，s1.二、填空題(每小題5分，共15分)5 若以曲線yx3bx24xc (c為常數(shù))上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒為非負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)答案2,2解析yx22bx4，y0恒成立，4b2160，2b2.6 設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x)fsin xcos x，則f_.答案解析因?yàn)閒(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcos sin ，即f1，所以f(x)sin xcos x，故fcos sin .7 已知函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(x)1，則函數(shù)y的圖象在x5處的切線方程為_(kāi)答案5x16y30解析由yh(x)知yh(x)，得h(5).又h(5)，所以切線方程為y(x5)，即5x16y30.三、解答題(共22分)8 (10分)已知曲線yx3x2在點(diǎn)p0處的切線l1平行于直線4xy10，且點(diǎn)p0在第三象限(1)求p0的坐標(biāo)；(2)若直線ll1，且l也過(guò)切點(diǎn)p0，求直線l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y4.又點(diǎn)p0在第三象限，切點(diǎn)p0的坐標(biāo)為(1，4)(2)直線ll1，l1的斜率為4，直線l的斜率為.l過(guò)切點(diǎn)p0，點(diǎn)p0的坐標(biāo)為(1，4)，直線l的方程為y4(x1)，即x4y170.9 (12分)已知函數(shù)f(x)在x處的切線為l，直線g(x)kx與l平行，求f(x)的圖象上的點(diǎn)到直線g(x)的最短距離解因?yàn)閒(x)，所以f(x).所以切線l的斜率為kf1，切點(diǎn)為t.所以切線l的方程為xy0.因?yàn)榍芯€l與直線g(x)kx平行，所以k1，即g(x)x.f(x)的圖象上的點(diǎn)到直線g(x)x的最短距離為切線l：xy0與直線xy0之間的距離，所以所求最短距離為.b組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 若函數(shù)f(x)x2bxc的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)f(x)的大致圖象是()答案a解析f(x)x2bxc2c，由f(x)的圖象的頂點(diǎn)在第四象限得0，b0，所以由基本不等式可得k1.又k0，所以1k0，即1tan 0.所以.故選d.二、填空題(每小題5分，共15分)4 若函數(shù)f(x)x3f(1)x2f(2)x5，則曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線l的方程為_(kāi)答案xy50解析f(x)x2f(1)xf(2)，f(2)1，f(1)1.f(x)x3x2x5，f(x)x2x1.f(0)1，f(0)5.曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為yx5.5. 已知函數(shù)yf(x)及其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x) 在點(diǎn)p處的切線方程是_答案xy20解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何