函數(shù)方程的歸類及求解.doc

福建師范大學數(shù)計學院 中學代數(shù)研究期末論文函數(shù)方程歸類與求解目錄【摘要】2【關鍵字】2【正文】2一、函數(shù)方程相關概念2二、函數(shù)方程分類31按元分32按階分33按次分34按未知函數(shù)的個數(shù)來分35其他3三、函數(shù)方程的常用解法31、賦值法32、柯西法43、待定系數(shù)法64、代換法（換元法）75、遞推法76、不動點法87、解方程組法98、數(shù)學歸納法109、參數(shù)法1110、微積分程法1111、數(shù)列法1212、反證法12四、結(jié)束語13五、參考文獻13【摘要】含有未知函數(shù)的等式稱為函數(shù)方程，解函數(shù)方程的問題，就是求能使函數(shù)方程成立的一個函數(shù)或一類函數(shù)的集合，解函數(shù)方程沒有一般的方法，需要有較強的解題技能和技巧，本文通過例題介紹函數(shù)方程的幾種常見解法。而對于函數(shù)方程，本文給出了按元分，按階分，按次分，按未知數(shù)個數(shù)分以及其他的分類方法。函數(shù)方程的思想反映了數(shù)學內(nèi)部各個分支的密切聯(lián)系與邏輯思維，研究函數(shù)方程的解法不僅可以拓展對函數(shù)概念更深層的理解，而且對函數(shù)在實際生活中的應用具有一定的指導作用。【關鍵字】函數(shù)方程 分類 解法 賦值法 柯西法 遞推法【正文】一、函數(shù)方程相關概念在初等數(shù)學中遇到的所有方程(不外乎代數(shù)方程和超越方程兩類)，都可以定義為含有未知數(shù)的等式，例如、（）、。在以上列舉的方程中，作為未知的變量是一個或幾個特定的數(shù)值(當然，也可能無解)，我們不妨稱這類方程為“數(shù)值方程”這樣看來，在中學數(shù)學中所討論的各種方程都應該是所謂的“數(shù)值方程”。還有一類方程，在這類方程中作為未知的變量而要我們?nèi)デ蠼獾牟辉僦皇菙?shù)值而是一個或一類函數(shù)，這種方程通常被稱為函數(shù)方程，例如、等。其中(x)、 是未知函數(shù)。除此之外還有微分方程、積分方程也屬于函數(shù)方程，但由于中學階段比較少接觸，故本文不對這兩類函數(shù)方程討論。 1、函數(shù)方程的定義： 含有未知函數(shù)的等式統(tǒng)稱為函數(shù)方程。 2、函數(shù)方程的解： 如果函數(shù)在其定義域內(nèi)滿足所給的函數(shù)方程，就稱是該函數(shù)方程的解函數(shù)或解。3、解函數(shù)方程：求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程就叫解函數(shù)方程。二、函數(shù)方程分類1按元分函數(shù)方程中表示未知函數(shù)自變量的字母有幾個，就稱其為幾元函數(shù)方程，如、是一元函數(shù)方程，是二元函數(shù)方程。2按階分函數(shù)方程中未知函數(shù)經(jīng)過幾次迭代，就稱其為幾階函數(shù)方程，如就是二階函數(shù)方程，其中。3按次分函數(shù)方程中未知函數(shù)的最高次項的次數(shù)是幾，就稱其為幾次函數(shù)方程，如就是一個二階三次函數(shù)方程4按未知函數(shù)的個數(shù)來分如、都是含一個未知函數(shù)的函數(shù)方程；又如函數(shù)方程中就含有三個未知函數(shù)、。同“數(shù)值方程”類似，幾個函數(shù)方程也可以組成函數(shù)方程組5其他對于其他一些特殊類型的函數(shù)方程(即具有一定特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)方程)，則有其特殊的名稱。如多項式函數(shù)方程、迭代式函數(shù)方程、共軛型函數(shù)方程。三、函數(shù)方程的常用解法1、賦值法對函數(shù)方程中的變量帶入一些特殊式子或者數(shù)值，可以求出未知函數(shù)的一些特殊值，或者可以將原方程化簡，再結(jié)合其他條件解決問題，賦值法是處理函數(shù)方程問題最基本的策略。使用賦值法要求仔細觀察和勇于嘗試。且其多用于多變量函數(shù)方程求解中。例1、 證明：1） 2） 3）證明：1）令（則） 代入得 即 2）時，有，只須即可） 令，則有 不恒為零，使，取，則 3）令，則 即 證畢例2、，求解函數(shù)方程解：令，得當1、，令，解得 2、，令， 為任意實數(shù)常見的賦特殊值有0，-1,1等。此方法的特點是當函數(shù)方程的自變量多于一個時，將其中的一個或者幾個自變量用一些特殊值代入，常?？梢院喕匠?，或求得未知函數(shù)在某些特殊點的值，這樣能夠得到化難為易的效果。 2、柯西法定理：若f(x)是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)且滿足（柯西函數(shù)方程） 、則。（“爬坡式”的推理方法，即：首選變量為n探索方程的解的形式，然后逐次推出相同結(jié)果）證明： 首先由數(shù)學歸納法可得特別當時，1、時，取，則 （設） 時，2、時 ，即時，3、時，取，則 即時，4、時，構(gòu)造滿足 則 綜上述，許多函數(shù)方程都可以通過適當方法轉(zhuǎn)化為柯西函數(shù)方程求解 例、設是的連續(xù)函數(shù)，且不恒為0，,解。解：，則 假設存在使，則與不恒為0矛盾 故，對兩邊取對數(shù)有 令，則，且是連續(xù)函數(shù) 故是柯西函數(shù)方程則（c為常數(shù)）即則，其中類似的，利用柯西函數(shù)方程的解，在連續(xù)或單調(diào)的條件下可得：（1） 若,則； （2） 若 ,則(由初值給出)； （3） 若,則；（4） 若,則。3、待定系數(shù)法先由函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)預測這個函數(shù)方程解的函數(shù)類型，再將函數(shù)代人方程去確定它所包含的某些常數(shù)。當函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項式，或者已知函數(shù)的類型或某些特征時，都可考慮此法經(jīng)比較系數(shù)而得。其基本步驟為：（1）確定所求問題含待定系數(shù)的 ；（2）根據(jù)恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程；（3）解方程或消去待定系數(shù)。 例、已知是一次函數(shù)，且。，求， n=10 解：設，則 依次類推有：由題設知： ， ， 或， 或 4、代換法（換元法）函數(shù)方程對定義域內(nèi)的任意變量成立，因此可對方程中的變量進行適當變換。換元法即將函數(shù)方程中的自變量適當?shù)匾詣e的自變量代換（代換時應注意使函數(shù)的定義域不會發(fā)生變化），得到一個新的函數(shù)方程，然后設法求得未知函數(shù)。換元法一般適用于單變量函數(shù)，要求深刻理解方程中變量的含義，靈活看待方程中的變量。 例1：已知，求解：令，則 值得注意的是：在使用換元法時，最好要要遵循有利于運算的基本原則，還需注意的是換元后勿忘還原，而且換元后要注意變量范圍的確定，一定要使新變量的取值范圍相對應于原變量的取值范圍，不能擴大也不能縮小。5、遞推法從函數(shù)方程出發(fā)，由簡單情況入手，在推導公式中尋找遞推規(guī)律，求出方程的解。若函數(shù)方程是定義在自然數(shù)集上的遞歸公式形式表示時，可用此方法（通常有三種表示法：通項、遞推、遞歸）例1、自然數(shù)平方數(shù)列，它的通項公式：遞推公式：遞歸公式：值得注意的是：遞推、遞歸公式均是函數(shù)方程，而通項公式則是它們的解；：遞歸公式一般形式是： （k階遞歸公式）：通項公式一定由數(shù)列唯一確定，但遞推、遞歸不同，需給出第k項的值 （初始條件），不同初始條件，數(shù)列不同。例2、，求解：令，則 則相加得 即6、不動點法若存在使得成立，則稱為函數(shù)的不動點。不動點是由荷蘭數(shù)學家布勞威爾提出的。用圖像語言來說，不動點就是意味著函數(shù)與直線有公共點且此公共點為不動點。運用函數(shù)的不動點求解函數(shù)方程也是一個重要且有效地數(shù)學方法。例.已知：且滿足：（1）對任意的，有；（2）。 求函數(shù)。解：令則很顯然是的不動點，不動點集為 令得，則，得，故，所以有（舍去）也就是是的不動點，下證是的惟一不動點，假設若，由得當時，故與已知矛盾 若，由得得，且，也矛盾。故只有一個不動點1。從而，所以本題的求解關鍵是求出不動點，然后得出此數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出它的通項公式。不動點定理是應用十分廣泛的定理，很多數(shù)學問題都可以用到它的理論來解題，函數(shù)方程的解也不例外，同樣可以應用它，而且有時會覺得比其它方法更為簡單。7、解方程組法將函數(shù)方程的變量進行適當?shù)淖兞看鷵Q或幾次變量代換，得一個或多個新的函數(shù)方程，然后與原方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數(shù)，即可得出所求的函數(shù)方程的解例、設是定義在的函數(shù)，且，求分析： 令，代入原式得 ，代入原式得： 又： 三個方程中僅含有 由方程組 得 即 8、數(shù)學歸納法 第一數(shù)學歸納法：設是關于的一個命題若成立（遞推）假設成立，若成立，則對一切自然數(shù)都成立 由自然數(shù)集N的任何非空子集必有最大數(shù)（最大數(shù)原理）有第二數(shù)學歸納法：設是關于的一個命題若成立假設時成立，若也成立，則對一切自然數(shù)都成立 函數(shù)迭代是特殊的函數(shù)復合形式，在現(xiàn)代數(shù)學中有一定的地位，通常我們使用數(shù)學歸納法來求解。例、已知，若，求。解： ， , 猜想 （1） 設時（1）式成立，則當，我們可以得到 也成立。9、參數(shù)法如果函數(shù)未知數(shù)較多，為求解簡便，有時可增設一些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)），以便更好地溝通數(shù)量關系，這叫設參數(shù)法；運用參數(shù)法函數(shù)方程其基本步驟為：引入?yún)?shù)，消去參數(shù)，再求解；例 、已知有 ，求 解：設所求函數(shù)的參數(shù)方程為消去參數(shù)就可以得到 從而有10、微積分程法 所謂微積分法就是對于某些類型的函數(shù)方程，有時可以利用導數(shù)的定義，或者可先求導數(shù)，再設法轉(zhuǎn)化為形如的形式（其中可積），然后再通過積分求出，最后根據(jù)已知條件求出表達式。采用微分法也是解函數(shù)方程的一個重要的方法，對有些函數(shù)方程可以采取對其中某一變量求導的方法來求解。例、 已知，求。 解：令 可得 由導數(shù)的定義對于有 即，兩邊對積分可得，又，故所以即為所求。11、數(shù)列法利用等差、等比數(shù)列的相關知識，求定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。例、 設， f (1)= 1，f (2)= 5且滿足。 求f (n)。解： ， 是一個以4為公比的等比，且首項為 。 為數(shù)列中的第n-1項， ， 分別以2, 3, , n代入上式，我們可得 將他們加起來有： 。 12、反證法首先假設命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說原假設不成立，原命題得證。例、設是定義在上的實函數(shù)，且對所有的，滿足試證：若，且，對一切成立，則對一切成立證：有上界，則必有上確界設為顯然假設，使，則對任意有： 當是的上確界矛盾，不存在，使即時，對成立。四、結(jié)束語函數(shù)方程的思想反映了數(shù)學內(nèi)部各個分支的密切聯(lián)系與邏輯思維，研究函數(shù)方程的解法不僅可以拓展對函數(shù)概念更深層的理解，而且對函數(shù)在實際生活中的應用具有一定的指導作用。函數(shù)方程的解法千變?nèi)f化的，至今仍然還沒有一套完整的解函數(shù)方程的理論體系和方法。因此，本文著重選取了一些常用的方法進行探討，我們在探討這些方法的同時，更要注重其表現(xiàn)在數(shù)學思維和方法上的邏輯性和嚴謹性，對于培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識和邏輯思維起著重要的作用，這樣也是我們在日常生活分析問題和解決問題能力的一種升華