四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）課件 新人教A版選修21.ppt

2 4 2拋物線的簡單幾何性質(zhì) 1 問題 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 與橢圓 雙曲線一樣 通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以研究它的幾何性質(zhì) 以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 來研究它的幾何性質(zhì) 1 范圍 因?yàn)閜 0 由方程可知x 0 所以拋物線在y軸的右側(cè) 當(dāng)x的值增大時(shí) y 也增大 這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸 2 對稱性 以代 方程不變 所以拋物線關(guān)于軸對稱 我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸 3 頂點(diǎn) 拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn) 在方程中 當(dāng)時(shí) 因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn) 4 離心率 拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比 叫做拋物線的離心率 由拋物線的定義可知 其它三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)可類似地求得 x軸 拋物線的幾何性質(zhì) x軸 y軸 y軸 問題 與橢圓 雙曲線的幾何性質(zhì)比較 拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn) 1 拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi) 雖然它也可以無限延伸 但沒有漸近線 2 拋物線只有一條對稱軸 沒有對稱中心 拋物線又叫做無心圓錐曲線 3 拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn) 一條準(zhǔn)線 4 拋物線的離心率是確定的 為1 例1 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2 4x的焦點(diǎn) 與拋物線交于兩點(diǎn)a b 求線段ab的長 解 另解 焦點(diǎn)弦 過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交的直線 被拋物線截取的線段叫拋物線的焦點(diǎn)弦 拋物線的焦點(diǎn)弦長公式 設(shè) 則 焦點(diǎn)弦中與對稱軸垂直的弦叫做拋物線的通徑 長度為2p 這是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義 解 由定義得 x y ab af bf 思考 拋物線中過焦點(diǎn)的弦有最小值嗎 如果有 在何處取得 a b 由上題可知 通徑是拋物線中過焦點(diǎn)的最短弦長度為2p 這是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義 例2 在拋物線y2 8x上求一點(diǎn)p 使p到焦點(diǎn)f的距離與到q 4 1 的距離的和最小 并求最小值 解 k 思考 當(dāng) pf pq 為最大時(shí) 點(diǎn)p的坐標(biāo)是 例3 過拋物線y2 2px的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)a x1 y1 b x2 y2 通過點(diǎn)a和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)c 求證 y1y2 p2 證明 又 2 7 以cd為直徑的圓與弦ab相切于焦點(diǎn)f 6 以ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 性質(zhì) 過拋物線y