九年級數(shù)學(xué)下冊 24.6 正多邊形與圓同步課件 （新版）滬科版.ppt

24 6正多邊形與圓 情境導(dǎo)入 在七年級上冊4 6節(jié) 用尺規(guī)作線段與角 的數(shù)學(xué)活動中 曾介紹過畫正五角星 你還記得是怎么畫的嗎 下面就來研究這樣畫的道理 1 正多邊形的定義 各邊相等 各角也相等的多邊形叫做正多邊形 如果一個正多邊形有n條邊 那么這個正多邊形叫做正n邊形 正多邊形與圓有非常密切的關(guān)系 把一個圓分成n條相等的弧 就可以作出這個圓的內(nèi)接或外切正n邊形 情境導(dǎo)入 如圖24 56 點(diǎn)a b c d e把圓分成5等份 求證 依次連接各分點(diǎn)所得的五邊形是這個圓的內(nèi)接正五邊形 經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線 以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形是這個圓的外切正五邊形 圖24 56 知識精講 證明 1 ab bc cd de ea ab bc cd de ea bce cda 3ab 1 2 同理 2 3 4 5 又 頂點(diǎn)a b c d e都在 o上 五邊形abcde是 o的內(nèi)接正五邊形 知識精講 2 連接oa ob oc 則 oab oba obc ocb tp pq qr分別是以a b c為切點(diǎn)的 o的切線 oap obp obq ocq pab pba qbc qcb 知識精講 又 ab bc ab bc pab與 qbc是全等的等腰三角形 p q pq 2pa 同理 q r s t qr rs st tp 2pa 五邊形pqrst的各邊都與 o相切 五邊形pqrst是 o的外切正五邊形 由上可知 通過等分圓周的方法能作出正多邊形 知識精講 1 用量角器等分圓周 由在同圓中相等的弦所對的弧相等可知 在同一個圓中 先用量角器作一個等于360 n的圓心角 這個角所對的弧就是圓周的1 n 然后在在圓周上一次截取這條弧的等弧 就得到圓的n等份點(diǎn) 從而作出正n邊形 正五角星就是這樣作出的 2 用尺規(guī)等分圓周 對于一些特殊的正n邊形 還可以用直尺和圓規(guī)等分圓周 知識精講 正四邊形的作法如圖24 57 1 用直尺和圓規(guī)作 o的兩條互相垂直的直徑 就可以把 o分成四等份 從而作出正四邊形 我們再逐次平分各邊所對的弧 就可以作出正八邊形圖24 57 2 正十六邊形 如圖24 58 1 設(shè) o的半徑為r 通常先作出 o的一條直徑ab 然后分別以點(diǎn)a b為圓心 r為半徑作弧 與 o交于點(diǎn)c d e f 從而得到 o的6等份點(diǎn) 作出正六邊形 如果再逐次等分各邊所對的弧 就可作出正十二邊形 正二十四邊形等 我們可以連續(xù)6等份圓周的相間的兩個點(diǎn) 得到正三角形 如圖24 58 2 正六邊形的作法 知識精講 知識精講 如何畫一個邊長為2cm的正六邊形 探究 o a b c d e f 1 以2cm為半徑作一個 o 2 用量角器畫一個60 的圓心角 3 在圓上順次截取這個圓心角對的弧 4 順次連接分點(diǎn) 即為所求作的正六邊形 知識精講 將一個圓n等份 就可以作出這個圓的內(nèi)接或外切正n邊形 反過來 是不是每個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓呢 我們?nèi)匀灰哉暹呅螢槔齺磉M(jìn)行探究 2 正多邊形的性質(zhì) 如圖24 59 過正五邊形abcde的頂點(diǎn)a b c作 o 連接oa ob oc od oe ob oc 1 2 又 abc bcd 3 4 ab dc oab odc oa od 即點(diǎn)d在 o上同理 點(diǎn)e在 o上 所以正五邊形abcde有一個外接圓 o 由于正五邊形abcde的各邊是 o中相等的弦 所以弦心距相等 因此 以點(diǎn)o為圓心 以弦心距 oh 為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切 所以正五邊形abcde還有一個以o為圓心的內(nèi)切圓 知識精講 1 正五邊形的任意三個頂點(diǎn)都不在同一條直線上 2 它的任意三個頂點(diǎn)確定一個圓 即確定了圓心和半徑 3 其他兩個頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑 4 正五邊形的各頂點(diǎn)共圓 5 正五邊形有外接圓 6 圓心到各邊的距離相等 7 正五邊形有內(nèi)切圓 它的圓心是外接圓的圓心 半徑是圓心到任意一邊的距離 8 照此法證明 正六邊形 正七邊形 正n邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓 定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓 這兩個圓是同心圓 歸納 知識精講 知識精講 我們把一個正多邊形的外接圓 或內(nèi)切圓 的圓心叫做正多邊形的中心 外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑 內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距 正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等 正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角 正n邊形的每個中心角都等于360 n 正多邊形都是軸對稱圖形 一個正n邊形一共有n條對稱軸 每一條對稱軸都通過正多邊形的中心 如圖24 60 圖24 60 知識精講 如果一個正多邊形有偶數(shù)條邊 那么它又是中心對稱圖形 它的中心就是對稱中心 例求邊長為a的正六邊形的周長和面積 合作與交流 解如圖24 61 過正六邊形的中心o作og bc于g 連接ob oc設(shè)該正六邊形的周長和面積分別為c和s 圖24 61 多邊形abcdef是正六邊形 boc 60 boc是等邊三角形 c 6bc 6a 在 boc中 有 鞏固提高 1 正方形abcd的外接圓圓心o叫做正方形abcd的 2 正方形abcd的內(nèi)切圓 o的半徑oe叫做正方形abcd的 3 若正六邊形的邊長為1 那么正六邊形的中心角是 度 半徑是 邊心距是 它的每一個內(nèi)角是 4 正n邊形的一個外角度數(shù)與它的 角的度數(shù)相等 1 正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是 中心角是 正多邊形的中心角與外角的大小關(guān)系是 相等 3 正方形ab