人教版小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案

目錄 目錄 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)說(shuō)明 .1 一、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo) .1 二、教材的編寫(xiě)特點(diǎn) .4 三、教學(xué)中需要準(zhǔn)備的教具和學(xué)具 .14 四、課時(shí)安排 .15 各單元的教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .17 一、圖形的變換 .17 （一）教學(xué)目標(biāo) .17 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .17 （三）具體內(nèi)容的說(shuō)明和教學(xué)建議 .19 二、因數(shù)與倍數(shù) .28 （一）教學(xué)目標(biāo) .28 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .28 （三）各小節(jié)的教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .31 1. 因數(shù)和倍數(shù) .31 2. 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 .36 3. 質(zhì)數(shù)和合數(shù) .41 （四）參考資料 .44 1. 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 .44 2. 質(zhì)數(shù)表 .45 3. 篩法 .46 三、長(zhǎng)方體和正方體 .47 （一）教學(xué)目標(biāo) .47 （二） 教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .47 （三）各小節(jié)的教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .50 1. 長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí) .50 2. 長(zhǎng)方體和正方體的表面積 .56 3. 長(zhǎng)方體和正方體的體積 .61 （四）參考教案 .78 課題一：長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)（片斷） .78 課題二：體積和體積單位 .81 綜合應(yīng)用：粉刷圍墻 .86 四、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì) .89 （一）教學(xué)目標(biāo) .89 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .89 （三）各小節(jié)的教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .95 1. 分?jǐn)?shù)的意義 .95 2. 真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù) .106 3. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) .114 4. 約分 .120 5. 通分 .130 6. 分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化 .144 （四）參考教案 .152 課題一：分?jǐn)?shù)的意義 .152 課題二：最小公倍數(shù) .155 （五）參考資料 .159 1. 輾轉(zhuǎn)相除法 .159 2. 利用最大公因數(shù)求最小公倍數(shù) .160 3. 數(shù)的擴(kuò)充 .161 4. 無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù) .162 五、分?jǐn)?shù)的加法和減法 .164 （一）教學(xué)目標(biāo) .164 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .164 （三）各小節(jié)的教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .169 1. 同分母分?jǐn)?shù)加、減法 .169 2. 異分母分?jǐn)?shù)加、減法 .178 3. 分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算 .185 （四）參考教案 .192 課題：異分母分?jǐn)?shù)加減法 .192 六、統(tǒng)計(jì) .198 （一）教學(xué)目標(biāo) .198 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .198 （三）具體內(nèi)容的說(shuō)明和教學(xué)建議 .200 綜合應(yīng)用：打電話 .206 七、數(shù)學(xué)廣角 .212 （一）教學(xué)目標(biāo) .212 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 .212 （三）具體內(nèi)容的說(shuō)明和教學(xué)建議 .214 八、總復(fù)習(xí) .219 （一）教學(xué)目標(biāo) .219 （二 ）教材說(shuō)明 .219 （三）教學(xué)建議 .221 五年級(jí)下冊(cè)說(shuō)明 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)說(shuō)明 人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室、課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編寫(xiě)的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)，是以全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）（以下簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)）的基本理念和所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，在總結(jié)現(xiàn)行九年義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教材研究和使用經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上編寫(xiě)的。編者一方面努力體現(xiàn)新的教材觀、教學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀 ，同時(shí)注意所采用措施的可行性，使實(shí)驗(yàn)教材具有創(chuàng)新、實(shí)用、開(kāi)放的特點(diǎn)。另一方面注意處理好繼承與發(fā)展的關(guān)系，既注意反映數(shù)學(xué)教育改革的新理念，又注意保持我國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，使教材具有基礎(chǔ)性、豐富性和發(fā)展性。 下面就這冊(cè)教材中幾個(gè)主要問(wèn)題作一簡(jiǎn)要說(shuō)明，以供教師參考。 一、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo) 這一冊(cè)教材包括下面一些內(nèi)容：圖形的變換，因數(shù)與倍數(shù)，長(zhǎng)方體和正方體，分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的加法和減法，統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)廣角和綜合應(yīng)用等。 因數(shù)與倍數(shù)，長(zhǎng)方體和正方體，分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的加法和 減法，統(tǒng)計(jì)等是本冊(cè)教材的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。 在數(shù)與代數(shù)方面，這一冊(cè)教材安排了因數(shù)與倍數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的加法和減法。因數(shù)與倍數(shù)，在前面學(xué)習(xí)整數(shù)及其四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上教學(xué)初等數(shù)論的一些基礎(chǔ)知識(shí)，包括因數(shù)和倍數(shù)的意義， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)。教材在三年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的加法、減法，結(jié)合約分教學(xué)最大公因數(shù)，結(jié)合通分教學(xué)最小公倍數(shù)。 在空間與圖形方面，這一冊(cè)教材安排了圖形的變換、長(zhǎng)方體和正方體兩個(gè)單元。在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)豐富的現(xiàn)實(shí)的數(shù) 學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生獲得探究學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，認(rèn)識(shí)圖形的軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換；探索并體會(huì)長(zhǎng)方體和正方體的特征、圖形之間的關(guān)系，及圖形之間的轉(zhuǎn)化，掌握長(zhǎng)方體、正方體的體積及表面積公式，探索某些實(shí)物體積的測(cè)量方法，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的進(jìn)一步發(fā)展。 在統(tǒng)計(jì)方面，本冊(cè)教材讓學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)眾數(shù)和復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)。在學(xué)習(xí)平均數(shù)和中位數(shù)的基礎(chǔ)上，本冊(cè)教材教學(xué)眾數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)。平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較穩(wěn)定、可靠，但易受極端數(shù)據(jù)的影響；中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，但不受極端 數(shù)據(jù)的影響；眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，也不受極端數(shù)據(jù)的影響。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，適宜選擇眾數(shù)或中位數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。 在用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題方面，教材一方面結(jié)合分?jǐn)?shù)的加法和減法、長(zhǎng)方體和正方體兩個(gè)單元，教學(xué)用所學(xué)的知識(shí)解決生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題；另一方面，安排了 “ 數(shù)學(xué)廣角 ”的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)向?qū)W生滲透優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化的方法解決問(wèn)題的有效性，感受數(shù)學(xué)的魅力。 本冊(cè)教材根據(jù)學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，安排了兩個(gè)數(shù) 學(xué)綜合應(yīng)用活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)小組合作的探究活動(dòng)或有現(xiàn)實(shí)背景的活動(dòng)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，體會(huì)探索的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，感受用數(shù)學(xué)的愉悅，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和實(shí)踐能力。 這一冊(cè)教材的教學(xué)目標(biāo)是，使學(xué)生： 1. 理解分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)，會(huì)比較分?jǐn)?shù)的大小，會(huì)把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)，會(huì)進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)的互化，能夠比較熟練地進(jìn)行約分和通分。 2. 掌握因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)等概念，以及 2、 3、 5 的倍數(shù)的特征；會(huì)求 100 以內(nèi)的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。 3. 理解分?jǐn)?shù)加、減法的意義，掌握分?jǐn)?shù)加、減法 的計(jì)算方法，比較熟練地計(jì)算簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加、減法，會(huì)解決有關(guān)分?jǐn)?shù)加、減法的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。 4. 知道體積和容積的意義及度量單位，會(huì)進(jìn)行單位之間的換算，感受有關(guān)體積和容積單位的實(shí)際意義。 5. 結(jié)合具體情境，探索并掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積和表面積的計(jì)算方法，探索某些實(shí)物體積的測(cè)量方法。 6. 能在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形，以及將簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn) 90 ；欣賞生活中的圖案，靈活運(yùn)用平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計(jì)圖案。 7. 通過(guò)豐富的實(shí)例，理解眾數(shù)的意義，會(huì)求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并解釋結(jié)果的實(shí)際意義；根據(jù)具體的問(wèn)題， 能選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量表示數(shù)據(jù)的不同特征。 8. 認(rèn)識(shí)復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖，能根據(jù)需要選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表示數(shù)據(jù)。 9. 經(jīng)歷從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)在日常生活中的作用，初步形成綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。 10. 體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的有效性，感受數(shù)學(xué)的魅力。形成發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)的意識(shí)，初步形成觀察、分析及推理的能力。 11. 體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。 12. 養(yǎng)成認(rèn)真作業(yè)、書(shū)寫(xiě)整潔的良好習(xí)慣。 二、教 材的編寫(xiě)特點(diǎn) 本冊(cè)教材對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的編排和處理，是以整套實(shí)驗(yàn)教材的編寫(xiě)思想、編寫(xiě)原則等為指導(dǎo)，力求使教材的結(jié)構(gòu)符合教育學(xué)、心理學(xué)的原理和學(xué)生的年齡特征，繼續(xù)體現(xiàn)前幾冊(cè)實(shí)驗(yàn)教材中的風(fēng)格與特點(diǎn)。本冊(cè)教材仍然具有內(nèi)容豐富、關(guān)注學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)、體現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程、鼓勵(lì)算法及解決問(wèn)題的策略多樣化、改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，體現(xiàn)開(kāi)放性的教學(xué)方法等特點(diǎn)。同時(shí)，由于教學(xué)內(nèi)容的不同，本冊(cè)教材還具有下面幾個(gè)明顯的特點(diǎn)。 1. 改進(jìn)因數(shù)與倍數(shù)教學(xué)的編排，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新理念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 在小學(xué)階 段，有關(guān)因數(shù)與倍數(shù)的知識(shí)是傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，以往人們認(rèn)為，它既是小學(xué)生應(yīng)該掌握的重要的基礎(chǔ)知識(shí)，又是發(fā)展小學(xué)生邏輯思維的良好素材。同時(shí)，人們普遍認(rèn)為，這部分內(nèi)容概念集中，比較抽象，概念之間的聯(lián)系緊密，學(xué)生理解起來(lái)比較困難。也由于以往對(duì)這部分內(nèi)容的編排，聯(lián)系實(shí)際的素材不多，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，既需要學(xué)生理解并記憶一些概念，又要求能夠運(yùn)用這些概念進(jìn)行一定的推理、判斷。所以，學(xué)習(xí)過(guò)程顯得比較枯燥。因此，這部分內(nèi)容向來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容。 本套教材對(duì)這部分內(nèi)容的處理，主要的依據(jù)是標(biāo)準(zhǔn)的要求和所提倡的理念 ?！?在標(biāo)準(zhǔn)中這部分內(nèi)容的要求有所降低，明確在 1 100 的自然數(shù)中認(rèn)識(shí)有關(guān)的概念和性質(zhì)，并且這部分內(nèi)容不作為一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域出現(xiàn)，在教材的編排中可以將這部分內(nèi)容分散到數(shù)的認(rèn)識(shí)和計(jì)算中去。 ” （劉兼孫曉天主編全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）解讀第 204 頁(yè)，北京師范大學(xué)出版社 2002 年 5 月第 1版。） 本冊(cè)教材的編排既注意體現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于因數(shù)與倍數(shù)教學(xué)與教材編排的要求，同時(shí)注意體現(xiàn)近年來(lái)有關(guān)這部分內(nèi)容教學(xué)改革的經(jīng)驗(yàn)。首先，將以往教材 “ 因數(shù)與倍數(shù) ” 的教學(xué)內(nèi)容分散編排，安排在本冊(cè)的兩個(gè)單元里教學(xué)。第二 單元 “ 因數(shù)與倍數(shù) ” 包括因數(shù)和倍數(shù)的意義， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義等，重點(diǎn)是讓學(xué)生了解和掌握這些重要的概念；在第四單元 “ 分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì) ” 中，結(jié)合約分教學(xué)最大公因數(shù)的概念和求法，結(jié)合通分教學(xué)最小公倍數(shù)的概念和求法。其次，注意所涉及的數(shù)的范圍在 1 100 的自然數(shù)內(nèi)，避免題目中的數(shù)目過(guò)大。此外，在例題的安排、素材的選取、習(xí)題的設(shè)計(jì)等方面都采取了新的措施，使得上述兩單元中相關(guān)內(nèi)容的編排與以往的教材相比有下面幾個(gè)特點(diǎn)： （ 1）精簡(jiǎn)教學(xué)內(nèi)容，突出基本概念教學(xué)。 不再以整除概念為基礎(chǔ)引出因數(shù)與倍數(shù) ，而是在直觀的基礎(chǔ)上，通過(guò)乘法算式得出因數(shù)與倍數(shù)的概念。由于學(xué)生已經(jīng)積累了豐富的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)整除的含義能夠清晰的理解，不出現(xiàn)整除的定義不會(huì)對(duì)學(xué)生理解其他概念產(chǎn)生影響。因此，本套教材中不再出現(xiàn) “ 整除 ” 的數(shù)學(xué)化定義，而是借助整除的模式 na b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。 “ 分解質(zhì)因數(shù) ”和 “ 用短除法分解質(zhì)因數(shù) ” 不作為正式教學(xué)內(nèi)容。在以往的教材中， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 及“ 用短除法分解質(zhì)因數(shù) ” 是作為求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能安排的，因此， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 一直作為必學(xué)內(nèi)容編排。而在本冊(cè)教材中 ，由于允許學(xué)生采用多種方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 失去了其基礎(chǔ)知識(shí)的作用，因此不再作為正式教學(xué)內(nèi)容，而只作為一個(gè)補(bǔ)充知識(shí)，安排在 “ 你知道嗎？ ” 中介紹。 （ 2）增加了直觀和聯(lián)系實(shí)際。以往人們普遍認(rèn)為，這部分內(nèi)容的教學(xué)過(guò)于形式化，一系列的概念引出，似乎都與現(xiàn)實(shí)生活無(wú)關(guān)；從概念到概念，似乎都難以直觀。而小學(xué)數(shù)學(xué)的大多數(shù)教學(xué)內(nèi)容的引出都注意從實(shí)際引入，注重提供直觀支柱。因此，本套教材對(duì)這部分內(nèi)容的編排，盡量聯(lián)系實(shí)際，內(nèi)容的呈現(xiàn)、展開(kāi)注意貼近學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。例如， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征的教學(xué)， 例題和習(xí)題，都增加了聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際的素材和插圖；用鋪地磚的問(wèn)題情境引出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的概念等。這樣的處理便于揭示數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，有利于學(xué)生理解有關(guān)概念的現(xiàn)實(shí)意義，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。 （ 3）增加探索性和開(kāi)放性。例如， “3 的倍數(shù)的特征 ” 的得出， “ 做 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表 ” ，找出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的過(guò)程，等等，都體現(xiàn)了放手讓學(xué)生探究，鼓勵(lì)用多種方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。 （ 4）加強(qiáng)了拓展性和知識(shí)性。內(nèi)容精簡(jiǎn)之后，出于拓展學(xué)生知識(shí)面的考慮，教材在 相關(guān)教學(xué)內(nèi)容之后，利用 “ 你知道嗎？ ”“ 生活中的數(shù)學(xué) ” 等欄目，安排較多的拓展性知識(shí)作為閱讀資料提供給學(xué)生。例如，介紹完全數(shù)（第 14 頁(yè)）、互質(zhì)數(shù)（第 83 頁(yè)）的概念，奇數(shù)和偶數(shù)在日常生活中的應(yīng)用，哥德巴赫猜想，以及怎樣利用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)（第 81 頁(yè)）等，以豐富學(xué)生的數(shù)論知識(shí)，激發(fā)繼續(xù)探求的欲望，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探索數(shù)學(xué)持久而穩(wěn)定的興趣。 綜上所述可以看出，這樣的編排使因數(shù)與倍數(shù)教學(xué)的教育價(jià)值得到擴(kuò)充與提高。通過(guò)這樣的教學(xué)，不僅可以使學(xué)生很好的掌握與數(shù)論相關(guān)的最基礎(chǔ)的知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和實(shí)際價(jià)值，同時(shí)可使學(xué)生獲得邏輯思維的訓(xùn)練，自主探索意識(shí)和能力的培養(yǎng)，從而逐步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 2. 改進(jìn)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的編排，注重溝通知識(shí)間的相互聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。 從本學(xué)期開(kāi)始，學(xué)生將要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。同整數(shù)、小數(shù)知識(shí)一樣，分?jǐn)?shù)知識(shí)也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科所必需的基礎(chǔ)知識(shí)。分?jǐn)?shù)的概念比較難理解，計(jì)算起來(lái)也比較復(fù)雜。為了便于學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)，本套教材仍然采用了以往教材的編排體系，把分?jǐn)?shù)劃分為兩個(gè)階段教學(xué)。第一段安排在 三年級(jí)上冊(cè)，借助操作直觀，使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)有初步的認(rèn)識(shí)，雖然也出現(xiàn)了簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)大小比較和同分母分?jǐn)?shù)加、減法，目的是為了幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的初步概念，給學(xué)生積累一些感性知識(shí)。在系統(tǒng)認(rèn)識(shí)了小數(shù)和初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，本冊(cè)將引導(dǎo)學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，概括出分?jǐn)?shù)的意義，比較完整地從分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等方面加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，進(jìn)而學(xué)習(xí)并理解與分?jǐn)?shù)有關(guān)的基本概念，掌握必要的約分、通分、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化等技能，以及分?jǐn)?shù)的加、減法計(jì)算。在具體安排上，本套教材一方面注意體現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)所提倡的教學(xué)理念，提供豐 富的學(xué)習(xí)素材，在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上闡述新的內(nèi)容，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探索的空間，同時(shí)，還注意采取下面幾個(gè)方面的措施： （ 1）加強(qiáng)直觀，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。 在小學(xué)數(shù)學(xué)里，引進(jìn)分?jǐn)?shù)概念是小學(xué)生數(shù)概念的一次重要擴(kuò)展。對(duì)于小學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)比較抽象，學(xué)生在實(shí)際生活中遇到分?jǐn)?shù)也比較少，因此理解和掌握是比較困難的。教材的編排比以往更重視用直觀的手段幫助學(xué)生體會(huì)、理解有關(guān)知識(shí)。例如， “ 分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生 ” 提供古人測(cè)量與孩子分物的兩幅直觀圖，幫助學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)是怎樣產(chǎn)生的，促進(jìn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解； “ 分?jǐn)?shù)的意義 ” 則通過(guò)直觀插圖，從兩個(gè)方面說(shuō)明 1/4 的含義（可以表示一個(gè)物體的 1/4，也可以表示一些物體的 1/4），在此基礎(chǔ)上給出分?jǐn)?shù)單位的概念，揭示分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解。 （ 2）對(duì)部分教學(xué)內(nèi)容作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整或精簡(jiǎn)。其一，分?jǐn)?shù)大小比較與通分結(jié)合在一起教學(xué)。其二，將以往 “ 約數(shù)與倍數(shù) ” 的部分內(nèi)容與分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)結(jié)合起來(lái)教學(xué)。即：將公因數(shù)、最大公因數(shù)與約分編為一節(jié)，同樣，將公倍數(shù)、最小公倍數(shù)與通分編為一節(jié)。這樣的調(diào)整，分散了教學(xué)的難點(diǎn)，充分利用學(xué)生已有知識(shí)的遷移，降低了學(xué)習(xí)的難度，有利于學(xué) 生認(rèn)識(shí)的螺旋上升。 （ 3）加強(qiáng)開(kāi)放性，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維和解決問(wèn)題的能力。例如，教學(xué)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，不再采用唯一的、固定的短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法，而是引導(dǎo)學(xué)生采用多種方法 “ 找 ” 最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。教學(xué)分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法，改進(jìn)了過(guò)去只介紹單一的一般算法的做法，還介紹了把分母不是 10， 100， 1000， 的分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)改寫(xiě)成分母是 10， 100， 1000， 的分?jǐn)?shù)，再改寫(xiě)成小數(shù)的方法。這樣的編排體現(xiàn)了算法多樣化、尊重學(xué)生個(gè)性化的選擇，培養(yǎng)學(xué)生善于從不同的角度思考和解決問(wèn)題 的意識(shí)和能力。 （ 4）加強(qiáng)聯(lián)系實(shí)際，從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出數(shù)學(xué)知識(shí)。如前所述，有關(guān)分?jǐn)?shù)、整除的知識(shí)都比較抽象，本套教材特別注意聯(lián)系實(shí)際，從解決實(shí)際問(wèn)題的角度入手探討新知識(shí)。例如，無(wú)論是公因數(shù)與最大公因數(shù)、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的引入，還是約分、通分的給出，教材都創(chuàng)設(shè)了適當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，進(jìn)而在解決實(shí)際問(wèn)題中，抽象出數(shù)學(xué)概念，得出數(shù)學(xué)方法，揭示數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。這樣編排既有利于學(xué)生理解公因數(shù)、最大公因數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)意義，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn) 題的能力。 3. 提供豐富的空間與圖形的教學(xué)內(nèi)容，注重動(dòng)手實(shí)踐與自主探索，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。 小學(xué)階段空間與圖形教學(xué)的主要目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的空間觀念，與前幾冊(cè)一樣，本冊(cè)教材繼續(xù)把促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展作為空間與圖形內(nèi)容編排的研究重點(diǎn)。在教學(xué)內(nèi)容方面安排了 “ 圖形的變換 ”“ 長(zhǎng)方體和正方體 ” 兩個(gè)單元。 “ 圖形的變換 ” 的內(nèi)容是在第一學(xué)段學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的進(jìn)一步擴(kuò)展和提高。在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生初步感知了生活中的對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象 ,初步認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形 ,能在方格紙上畫(huà)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形或畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn) 單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形。本冊(cè)在此基礎(chǔ)上 ,讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的軸對(duì)稱，探索圖形成軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)，學(xué)習(xí)在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形和畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn) 90 后的圖形 ,發(fā)展空間觀念。教材的編排，首先注意利用學(xué)生已有知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生探索新知識(shí)。例如，探索圖形成軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)，先讓學(xué)生復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形和畫(huà)對(duì)稱軸，再讓學(xué)生觀察軸對(duì)稱圖形的特征和畫(huà)出一個(gè)軸對(duì)稱圖形的另一半 ,從而使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上加深對(duì)軸對(duì)稱圖形特征的認(rèn)識(shí)。其次，加強(qiáng)直觀教學(xué)圖形的特征。例如，圖形的旋轉(zhuǎn)的教學(xué) ,讓學(xué)生觀察鐘表表 針和風(fēng)車旋轉(zhuǎn)的過(guò)程 ,認(rèn)識(shí)它們是怎樣按照順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的，明確旋轉(zhuǎn)的含義，探索圖形的旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。第三，設(shè)計(jì)大量的活動(dòng)，幫助學(xué)生理解圖形的性質(zhì)和變換，發(fā)展空間觀念。不僅設(shè)計(jì)了畫(huà)一畫(huà)、剪一剪等操作活動(dòng)，而且還設(shè)計(jì)了需要學(xué)生想像、猜測(cè)和推理進(jìn)行的探究活動(dòng)。例如，讓學(xué)生判斷某個(gè)圖案分別是由哪種方法剪出來(lái)的，這就需要學(xué)生根據(jù)圖案的特征，在頭腦中對(duì)這個(gè)圖案進(jìn)行“ 折疊 ” 和 “ 剪開(kāi) ” ，從而使學(xué)生的空間想像力和思維能力得到鍛煉的機(jī)會(huì)。 “ 長(zhǎng)方體和正方體 ” 單元，則是學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)識(shí)立體圖形特征的開(kāi)始。從認(rèn)識(shí)平面圖 形擴(kuò)展到認(rèn)識(shí)立體圖形，是學(xué)生發(fā)展空間觀念的一次飛躍。長(zhǎng)方體和正方體是最基本的立體圖形。通過(guò)教學(xué)不僅可以使學(xué)生掌握有關(guān)立體圖形方面的最基礎(chǔ)的知識(shí)，而且可以使學(xué)生對(duì)自己周圍的空間和空間中的物體形成初步的觀念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)與發(fā)展打下基礎(chǔ)。在以往的教材中，這些部分內(nèi)容的編排往往側(cè)重于理解和掌握立體圖形的特征和表面積、體積的計(jì)算方法，而對(duì)于促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展在學(xué)習(xí)素材和實(shí)踐操作方面都顯不夠。本套教材在編排上突出的變化是，加強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，使學(xué)生得到較多的有關(guān)空間觀念的訓(xùn)練機(jī)會(huì)。例如 ，每種圖形的特征，均采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，自主探索得到；通過(guò) “ 烏鴉喝水 ” 的故事，石頭放在盛水的杯子里的實(shí)驗(yàn)等，以形象、生動(dòng)的方式，為學(xué)生感知物體占有空間，理解體積概念提供豐富的感性經(jīng)驗(yàn)。又如，長(zhǎng)方體體積的計(jì)算方法，先讓學(xué)生用方木塊拼擺長(zhǎng)方體，通過(guò)對(duì)擺法不同的長(zhǎng)方體的相關(guān)數(shù)據(jù)的觀察、分析和歸納，自己發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積與它的長(zhǎng)、寬、高之間的內(nèi)在聯(lián)系，再總結(jié)出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式。教材編排還加強(qiáng)了聯(lián)系實(shí)際。例如，從現(xiàn)實(shí)生活素材抽象出長(zhǎng)方體和正方體的幾何圖形；在介紹了容積概念后，還介紹了用排水法求不規(guī)則物體體積的方法； 在練習(xí)中適當(dāng)增加了解決實(shí)際問(wèn)題的題目（如第 32 頁(yè)第 6、 7 題）；等等。這些新的變化使以往知識(shí)容量大且比較抽象的這一單元，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)，都提供了更為豐富的學(xué)習(xí)素材和開(kāi)放的教學(xué)空間。 4. 加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，逐步形成從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考問(wèn)題的思維習(xí)慣。 通過(guò)四年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在統(tǒng)計(jì)與概率方面，學(xué)生已經(jīng)掌握了一定的知識(shí)，形成了一定的能力，積累了一定的經(jīng)驗(yàn)。本冊(cè)教材關(guān)于統(tǒng)計(jì)的教學(xué)主要有兩部分，其一，教學(xué)新的統(tǒng)計(jì)知識(shí) 眾數(shù)，了解眾數(shù)的含義，學(xué)會(huì)找出數(shù)據(jù)的眾數(shù)，在統(tǒng)計(jì)分 析中能根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量來(lái)描述數(shù)據(jù)的特征；其二，教學(xué)復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖，使學(xué)生更好地理解統(tǒng)計(jì)知識(shí)在解決問(wèn)題中的作用，形成良好的統(tǒng)計(jì)觀念。 在教材的具體編排上，一是注意與先前學(xué)習(xí)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解所學(xué)的新內(nèi)容。例如，眾數(shù)的含義是通過(guò)與平均數(shù)、中位數(shù)的對(duì)比得到的；復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖也是由單式折線統(tǒng)計(jì)圖引出的。這樣既有助于加深對(duì)前面所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解，也便于對(duì)新知識(shí)的領(lǐng)悟。二是注意提供豐富的現(xiàn)實(shí)生活素材，凸現(xiàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法的價(jià)值。 本冊(cè)教材所選素材涉及到體育、氣象、消費(fèi)等方面，擴(kuò)大了學(xué)生處 理信息的范圍，更好地體會(huì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法在實(shí)際生活中的作用，有利于發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，形成從數(shù)學(xué)的角度思考問(wèn)題的良好習(xí)慣。 5. 有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅可以使學(xué)生獲得參與社會(huì)生活必不可少的知識(shí)和能力，而且還能有效地提高學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)而奠定發(fā)展更高素質(zhì)的基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)要達(dá)到的重要目標(biāo)之一。本套教材總體設(shè)想之一是：系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，嘗試把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過(guò)學(xué)生可以理解的簡(jiǎn)單形式，采用 生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來(lái)。通過(guò)教學(xué)使學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，形成探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣與欲望，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。據(jù)此，在本冊(cè)教材的 “ 數(shù)學(xué)廣角 ”單元，安排了 “ 找次品 ” 的教學(xué)，旨在通過(guò) “ 找次品 ” 滲透優(yōu)化思想，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系。優(yōu)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用之可有效地分析和解決問(wèn)題。教材以 “ 找次品 ” 這一探索性操作活動(dòng)為載體，讓學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)等方式感受解決問(wèn)題策略的多樣性，再通過(guò)歸納、推理的方法體會(huì)運(yùn)用優(yōu)化策略解決問(wèn)題的有效性，感受數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)觀察、分析、推理以及解決問(wèn)題 的能力。 用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一，因此解決問(wèn)題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的作用。它既是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，又是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑。與前面幾冊(cè)教材一樣，本冊(cè)教材仍然注意將解決問(wèn)題的教學(xué)融合于各部分內(nèi)容的教學(xué)中，通過(guò)各部分內(nèi)容的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力。同時(shí)在 “ 數(shù)學(xué)廣角 ” 單元以及數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用活動(dòng)中，加強(qiáng)了綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題和解決問(wèn)題策略多樣化的教學(xué)，使學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。本冊(cè)教材設(shè)計(jì)了 “ 粉刷圍墻 ” 和 “ 打電話 ” 兩個(gè)數(shù) 學(xué)綜合運(yùn)用活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)小組合作的探究性活動(dòng)，綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法（如簡(jiǎn)單的優(yōu)化思想方法、通過(guò)畫(huà)圖的方式發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律等），動(dòng)手實(shí)踐、解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，不斷提高學(xué)生的實(shí)踐能力和解決問(wèn)題的能力。 6. 情感、態(tài)度、價(jià)值觀的培養(yǎng)滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中，用數(shù)學(xué)的魅力和學(xué)習(xí)的收獲激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)在動(dòng)機(jī)。 本次數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生情感、態(tài)度和價(jià)值觀的培養(yǎng)，全面提高學(xué)生的素質(zhì)。小學(xué)高年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具有了一定的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)自然與社會(huì)現(xiàn)象 有了一定的探求欲望，此時(shí)需要教育者進(jìn)行有目的的啟發(fā)與引導(dǎo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是要通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生形成豐富的情感、積極的態(tài)度和正確的價(jià)值觀，這同樣是學(xué)生學(xué)習(xí)、生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。本冊(cè)教材不僅內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個(gè)領(lǐng)域，為學(xué)生探索奇妙的數(shù)學(xué)世界提供了豐富素材，而且注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容安排了許多體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的閱讀材料、數(shù)學(xué)史實(shí)等，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)豐富多彩、充滿魅力。這些都有助于學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望。 （ 1）提供豐富的培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣愛(ài)好的 素材。 考慮到學(xué)生年齡的增長(zhǎng)、視野的擴(kuò)大等因素，本套教材注意選擇知識(shí)內(nèi)容深刻、內(nèi)涵更豐富的教學(xué)素材，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，受到情感、態(tài)度、價(jià)值觀的熏陶。例如， “ 圖形的變換 ” 單元 ,呈現(xiàn)了大量現(xiàn)實(shí)生活中利用對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)出的美麗的事物和圖案；數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用 “ 打電話 ” 、數(shù)學(xué)廣角 “ 找次品 ” 等，都蘊(yùn)涵了優(yōu)化的思想方法，這些簡(jiǎn)潔、巧妙的解決問(wèn)題策略體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)方法。 “ 數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價(jià)值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美 ” 。（ M. 克萊因）這些都有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成穩(wěn)定的探索 數(shù)學(xué)的愛(ài)好。 （ 2）注意反映數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系以及數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。 與前幾冊(cè)教材一樣，本冊(cè)教材仍然注意采用閱讀材料的形式，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容編排一些有關(guān)的數(shù)學(xué)史料，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的整體認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與欲望。如安排了 14 個(gè) “ 你知道嗎？ ”6 個(gè) “ 生活中的數(shù)學(xué) ” 。介紹了現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)家的故事等等。這些內(nèi)容不僅可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生濃厚的興趣，激勵(lì)他們擴(kuò)大知識(shí)面和進(jìn)一步探索研究的欲望，而且對(duì)學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀的形成與發(fā)展也能起到潛移默化的作用。 （ 3）通過(guò)自主探索的活動(dòng)，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)成功的體驗(yàn)，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。 結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容，本冊(cè)教材設(shè)計(jì)了很多需要學(xué)生自主探索的活動(dòng)。例如，教學(xué)質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念，教材設(shè)計(jì)了讓學(xué)生自主探索 1 20 各數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)有什么規(guī)律的活動(dòng)，從而為理解質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念獲得豐富的感性經(jīng)驗(yàn)；再如，找出 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，讓學(xué)生自主探索，體驗(yàn)找質(zhì)數(shù)的一般方法 “ 篩法 ” 。長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的推出，讓學(xué)生小組合作探索出長(zhǎng)方體中所含體積單位的數(shù)量與它的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，再總結(jié)出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式。求最大公因數(shù)和最 小公倍數(shù)的教學(xué)，教材展示了學(xué)生自主探索出多種方法，具有較強(qiáng)的自主性和開(kāi)放性，等等。讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行自主探索的實(shí)踐，并通過(guò)這些活動(dòng)獲得自己成功、能力增強(qiáng)等良好體驗(yàn)，從而逐步增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)、會(huì)用數(shù)學(xué)的信心。 三、教學(xué)中需要準(zhǔn)備的教具和學(xué)具 在前面幾冊(cè)的教師教學(xué)用書(shū)中，已經(jīng)介紹了許多教具和學(xué)具，其中的一些仍可繼續(xù)使用。本冊(cè)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，介紹一些新教具和學(xué)具，供參考。 1. 長(zhǎng)方體和正方體實(shí)物及模型 教師和學(xué)生收集一些長(zhǎng)方體和正方體形的實(shí)物，如藥盒、牙膏盒、火柴盒、化妝品盒、積木等。教科 書(shū)第 145、 147 頁(yè)還印有長(zhǎng)方體和正方體的展開(kāi)圖，可讓學(xué)生剪下來(lái)貼在厚紙上，然后制成長(zhǎng)方體和正方體。 2. 演示分?jǐn)?shù)用的教具 教師可以自制演示分?jǐn)?shù)用的教具，制作的方法是：用硬紙板做兩個(gè)大小相同而顏色不同的圓，順著一條半徑分別剪開(kāi)，將兩個(gè)圓從剪開(kāi)的地方互相交叉放在一起 ，并使它們重合（如下圖）。教學(xué)時(shí)，教師轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)圓，可以演示不同的分?jǐn)?shù)。在圓周上，可以畫(huà)出刻度，表示 1/2， 1/3， 1/4， 3. 其他教具 教師還可以根據(jù)各部分教學(xué)內(nèi)容的需要自己準(zhǔn)備或設(shè)計(jì)制作一些教具和學(xué)具。如教學(xué)體積時(shí)制備 1 m3、 1 dm3 模型，容納 1 L、 100 ml 液體的量杯；教學(xué)因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，可根據(jù)教科書(shū)上的圖制成教具等。教師還可以根據(jù)需要自己制作其他適用的教具。 四、課時(shí)安排 根據(jù)義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見(jiàn)稿）中的 “ 各學(xué)段課程內(nèi)容參考教學(xué)時(shí)間一覽表 ” ，實(shí)驗(yàn)教材的編者為 五年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)教學(xué)安排了 60 課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。各部分教學(xué)內(nèi)容教學(xué)課時(shí)大致安排如下，教師教學(xué)時(shí)可以根據(jù)本班具體情況適當(dāng)靈活掌握。 一、圖形的變換（ 4 課時(shí)） 二、因數(shù)與倍數(shù)（ 6 課時(shí)） 1 因數(shù)和倍數(shù) 2 課時(shí)左右 2 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 .3 課時(shí)左右 3 質(zhì)數(shù)和合數(shù) .1 課時(shí)左右 三、長(zhǎng)方體和正方體（ 12 課時(shí)） 1 長(zhǎng)方體和正方體的 認(rèn)識(shí) .2課時(shí)左右 2 長(zhǎng)方體和正方體的表面積 .2課時(shí)左右 3 長(zhǎng)方體和正方體的體積 .7課時(shí)左右 整理和復(fù)習(xí) 1 課時(shí) 粉刷圍墻 1 課時(shí) 四、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)（ 20 課時(shí)） 1 分?jǐn)?shù)的意義 .4 課時(shí)左右 2 真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù) .3 課時(shí)左右 3 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) .2 課時(shí)左右 4 約分 .4 課時(shí)左右 5 通分 .4 課時(shí)左右 6 分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化 .2課時(shí)左右 整理和復(fù)習(xí) 1 課時(shí) 五、分?jǐn)?shù)的加法和減法 （ 7 課時(shí)） 1 同分母分?jǐn)?shù)加、減法 .2 課時(shí)左右 2 異分母分?jǐn)?shù)加、減法 .3 課時(shí)左右 3 分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算 .2課時(shí)左右 六、統(tǒng)計(jì)（ 3 課時(shí)） 打電話 .1 課時(shí) 七、數(shù)學(xué)廣角（ 2 課時(shí)） 八、總復(fù)習(xí)（ 4 課時(shí)） 一、圖形的變換 （一）教學(xué)目標(biāo) 1. 使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的軸對(duì)稱，探索圖形成軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)，能在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形。 2. 進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn) ,探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，能在方格紙上把簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90 。 3. 初步學(xué)會(huì)運(yùn) 用對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)的方法在方格紙上設(shè)計(jì)圖案 ,進(jìn)一步增強(qiáng)空間觀念。 4. 讓學(xué)生在上述活動(dòng)中，欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美 ,進(jìn)一步感受對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)在生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 教材說(shuō)明 學(xué)生在二年級(jí)已經(jīng)初步感知了生活中的對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象 ,初步認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形 ,能在方格紙上畫(huà)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形 ,也能在方格紙上畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形。在此基礎(chǔ)上 ,本單元讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的軸對(duì)稱，探索圖形成軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)，學(xué)習(xí)在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形和畫(huà) 出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn) 90 后的圖形 ,發(fā)展空間觀念。結(jié)合本單元的學(xué)習(xí) , 還安排了數(shù)學(xué)游戲 “ 設(shè)計(jì)鑲嵌圖案 ” 。 本單元教材在編排上有以下幾個(gè)特點(diǎn)。 1. 重視學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，探索兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)。 在二年級(jí)學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了日常生活中的對(duì)稱現(xiàn)象，有了軸對(duì)稱圖形的概念，并能畫(huà)出一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸和它的另一半 ,這里是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的概念，探索圖形成軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)，并學(xué)習(xí)在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形。本單元教材先設(shè)計(jì)了畫(huà)對(duì)稱軸，觀察軸對(duì)稱圖形的特征和畫(huà)出一個(gè)軸對(duì)稱圖形 的另一半的活動(dòng) ,加深對(duì)軸對(duì)稱圖形特征的認(rèn)識(shí)，從而讓學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上探索新知識(shí)。 2. 注重聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生在具體情境中認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)。 本單元聯(lián)系具體情境 ,讓學(xué)生觀察鐘表的表針和風(fēng)車旋轉(zhuǎn)的過(guò)程 ,分別認(rèn)識(shí)這些實(shí)物怎樣按照順時(shí)針和逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，明確旋轉(zhuǎn)的含義，探索圖形的旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì) ,再讓學(xué)生學(xué)會(huì)在方格紙上把簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn) 90 。 3. 通過(guò)大量的活動(dòng)，幫助學(xué)生理解圖形的對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換，增強(qiáng)空間觀念。 本單元不僅設(shè)計(jì)了看一看、畫(huà)一畫(huà)、剪一剪等操作活動(dòng)，而且注意設(shè)計(jì)需要 學(xué)生進(jìn)行想像、猜測(cè)和推理進(jìn)行探究的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想像力和思維能力。例如，讓學(xué)生判斷幾個(gè)圖案分別是由哪種方法剪出來(lái)的。這就要求學(xué)生要根據(jù)圖案的特征，不斷在頭腦中對(duì)這個(gè)圖案進(jìn)行 “ 折疊 ” ，并將最后的結(jié)果與下面的剪法對(duì)應(yīng)起來(lái)。而且還讓學(xué)生思考 “ 還有什么剪法 ” ，從而使學(xué)生的空間想像力和思維能力得到充分的鍛煉。 教學(xué)建議 1. 注意讓學(xué)生真正地、充分地進(jìn)行活動(dòng)和探究。 由于本單元知識(shí)是在學(xué)生已有的關(guān)于對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)基礎(chǔ)上，并結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境進(jìn)行安排的，學(xué)生完全可以通過(guò)觀察、想像、分析和推理 等過(guò)程，獨(dú)立探究出來(lái)。因此，教師要切實(shí)組織好學(xué)生的課堂活動(dòng)，為學(xué)生創(chuàng)造進(jìn)行探究的時(shí)間和空間。不要讓教師的演示或少數(shù)學(xué)生的活動(dòng)和回答代替每一位學(xué)生的親自動(dòng)手、親自體驗(yàn)和獨(dú)立思考。這樣學(xué)生的空間想像力和思維能力才能得以鍛煉，空間觀念才能得到發(fā)展。 2. 本單元內(nèi)容可以用 4 課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。 （三）具體內(nèi)容的說(shuō)明和教學(xué)建議 （第 2 11頁(yè)） 1. 主題圖。 教科書(shū)第 2 頁(yè)，呈現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)生活中利用對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)出的許多美麗的事物和圖案，引出本單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)。目的是從現(xiàn)實(shí)生活的事物引入，讓學(xué)生在欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美好事物的過(guò)程中 ,進(jìn)一步感受對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)在生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。 教學(xué)時(shí)，教師可以先讓學(xué)生觀察，說(shuō)一說(shuō)這些圖形有什么特征。學(xué)生可能會(huì)根據(jù)圖形的變換把這些圖形分成幾類，教師可從此處引出本單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)。 到本單元內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束后， 還可以再讓學(xué)生觀察這幅主題圖，用所學(xué)的圖形變換的知識(shí)對(duì)這些圖形的設(shè)計(jì)進(jìn)行分析，體會(huì)所學(xué)知識(shí)的作用和價(jià)值。 2. 例 1 上面的內(nèi)容及例 1。 教材通過(guò)例 1 上面的內(nèi)容，讓學(xué)生畫(huà)對(duì)稱軸的活動(dòng)，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)已有的關(guān)于軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，在此基礎(chǔ)上教學(xué)例 1。在 “ 例 1” 中，首先 通過(guò)看一看、數(shù)一數(shù)的活動(dòng)，使學(xué)生由觀察 “ 松樹(shù) ” 這個(gè)軸對(duì)稱圖形，進(jìn)一步觀察兩個(gè) “ 小草 ” 圖形成軸對(duì)稱 ,從而引出兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的概念，并引導(dǎo)學(xué)生從整體上概括出軸對(duì)稱的特征。接下來(lái)，再引導(dǎo)學(xué)生觀察軸對(duì)稱圖形（松樹(shù)）及成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形（小草）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與對(duì)稱軸之間有什么關(guān)系，使學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)，并為例 2 教學(xué) “ 在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形 ” 做準(zhǔn)備。 教學(xué)時(shí)，可以分三步進(jìn)行。 （ 1）復(fù)習(xí)舊知。 讓學(xué)生獨(dú)立畫(huà)出例 1 上面圖形的對(duì)稱軸，幫助學(xué)生回憶軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，以便在此基礎(chǔ)上 教學(xué)例 1。 （ 2）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的軸對(duì)稱。 先讓學(xué)生觀察圖中的 “ 松樹(shù) ” 和 “ 小草 ” 圖案有什么特征。根據(jù)已有的知識(shí)，學(xué)生很容易判斷出 “ 松樹(shù) ” 圖案是軸對(duì)稱圖形，圖中的虛線是它的對(duì)稱軸（教師也可以先不出示這條虛線，讓學(xué)生畫(huà)出它的對(duì)稱軸。）進(jìn)一步學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果沿虛線折疊，兩個(gè) “ 小草 ” 圖案，也將完全重合。這時(shí)教師可以適時(shí)的引出兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的概念，并引導(dǎo)學(xué)生從整體上概括出軸對(duì)稱的特征。 （ 3）探索圖形成軸對(duì)稱的基本性質(zhì)?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生分別觀察 “ 小樹(shù) ” 這個(gè)軸對(duì)稱圖形和成軸對(duì)稱的兩個(gè) “ 小草 ” 圖案的 各對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ A 與 A 、 B 與 B 、 C 與 C ）與對(duì)稱軸之間有什么關(guān)系，使學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)圖形成軸對(duì)稱的基本性質(zhì)。 這一部分內(nèi)容教學(xué)需要特殊注意的是，我們不要求學(xué)生說(shuō)出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，只要學(xué)生能用自己的語(yǔ)言描述出他發(fā)現(xiàn)的特征和性質(zhì)就可以了。 例如，兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)概念是 “ 如果平面到其自身的一一變換的每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) A、 A ，都垂直于同一直線 l,且被直線 l 平分，則這種變換叫做關(guān)于直線 l 的軸對(duì)稱。直線 l 叫做對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)點(diǎn) A 和 A 叫做關(guān)于軸 l 的對(duì)稱點(diǎn)，在直線反射下的對(duì)應(yīng)圖形叫做關(guān)于軸 l 的對(duì)稱圖形 。 ” （馬忠林，幾何學(xué)，吉林人民出版社， 1984年 4 月第 1 版。）在初中數(shù)學(xué)中，概括成 “ 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形 關(guān)于這條直線對(duì)稱 ，這條直線叫對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做 對(duì)稱點(diǎn) 。 ” （義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)，人民教育出版社， 2004 年 12 月第 1 版。）在小學(xué)階段，我們不要求學(xué)生說(shuō)得這么準(zhǔn)確，只要學(xué)生能用自己的語(yǔ)言把 “ 折疊 ”“ 重合 ” 這些基本特征概括出來(lái)就可以。 再如，圖形成軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，在初中數(shù)學(xué)中概括成 “ 如果兩個(gè)圖形關(guān)于 某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。 ” （義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)，人民教育出版社， 2004 年 12 月第 1 版。）我們不要求學(xué)生概括出這樣的結(jié)論，只要學(xué)生能像書(shū)上的學(xué)生那樣直觀描述就可以了，使學(xué)生知道 “ 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等 ” 。 3. 例 2 及 “ 做一做 ” 。 （ 1）例 2。 教材通過(guò)讓學(xué)生畫(huà)小房子的另一半的活動(dòng)，借助學(xué)生已經(jīng)掌握的關(guān)于軸對(duì)稱的知識(shí)，使學(xué)生在能夠畫(huà)出軸對(duì)稱圖形另一半（屋頂、房體及大門）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步能在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形（窗戶）的軸對(duì)稱圖形。教材中的小精靈提問(wèn) “ 怎樣畫(huà)得又好又快？ ” 就是提示學(xué)生在動(dòng)手之前，先思考好畫(huà)的步驟和方法。 教學(xué)時(shí)，完全可以放手讓學(xué)生獨(dú)立完成。如果學(xué)生有困難，教師可以提示學(xué)生只要找到左邊圖形的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再連線就可以了；可以利用已經(jīng)掌握的圖形成軸對(duì)稱的特征 和性質(zhì)方面的知識(shí)來(lái)找到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。 （ 2）做一做。 教材讓學(xué)生判斷把一張紙連續(xù)對(duì)折三次，畫(huà)上一個(gè)圖形，剪出的是什么圖案。學(xué)生根據(jù)書(shū)上的折法，在頭腦中將彩紙展開(kāi)，對(duì)這個(gè)圖形先做一次軸對(duì)稱變換，再對(duì)得到的圖形做一次軸對(duì)稱變換，得出最后的結(jié)果。在這個(gè)活動(dòng)中，要讓學(xué)生進(jìn)行空間想像，進(jìn)一步體會(huì)軸對(duì)稱變換的特點(diǎn)。如果學(xué)生想像對(duì)折四次后剪出的圖案有困難，教師可以讓學(xué)生按書(shū)上的方法實(shí)際折一折、剪一剪，幫助學(xué)生進(jìn)行想像。 4. 例 3 及相應(yīng)的 “ 做一做 ” 。 （ 1）教材先通過(guò)讓學(xué)生觀察鐘表的表針和風(fēng)車旋轉(zhuǎn)的過(guò)程 ,分別認(rèn)識(shí)這些實(shí)物怎樣按照順時(shí)針和逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90 ，明確旋轉(zhuǎn)的含義。再通過(guò)小精靈提問(wèn) “ 風(fēng)車旋轉(zhuǎn)后，每個(gè)三角形有什么變化？ ” 引導(dǎo)學(xué)生從圖形到線段再到點(diǎn)的角度，來(lái)觀察、探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，并為例 4 教學(xué) “ 在方格紙上把一個(gè)圖形按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90” 做準(zhǔn)備。 教學(xué)時(shí)，可以分兩步進(jìn)行。 明確旋轉(zhuǎn)的含義。 由于學(xué)生已經(jīng)對(duì)生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象有所認(rèn)識(shí)，可以先讓學(xué)生觀察鐘表的指針，獨(dú)立思考如何描述出 “ 指針從 12 到 1 是怎樣旋轉(zhuǎn)的 ” 。然后再通過(guò)交流，使學(xué)生弄清順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的含義，明確要想表述清楚指針的旋轉(zhuǎn)，一定要說(shuō)清“ 指針是繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ”“ 是向什么方向旋轉(zhuǎn) ”“ 轉(zhuǎn)動(dòng)了多少度 ” 這幾點(diǎn)。 探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。 可以先讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，在風(fēng)的吹動(dòng)下，風(fēng)車是如何旋轉(zhuǎn)的。學(xué)生利用剛剛掌握的旋轉(zhuǎn)的含義，可以說(shuō)清楚風(fēng)車發(fā) 生了怎樣的變換。 再讓學(xué)生思考小精靈提出的問(wèn)題 “ 風(fēng)車旋轉(zhuǎn)后，每個(gè)三角形有什么變化 ” ，探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)風(fēng)車上的每個(gè)三角形都繞 O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 90 ；旋轉(zhuǎn)后的三角形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變化，只是位置變了。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察，學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)三角形的邊都繞 O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 90 ；每個(gè)頂點(diǎn)都繞O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 90 ；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離都相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與 O 點(diǎn)所連線段的夾角都是 90 等。必要時(shí)，可借助學(xué)具操作幫助學(xué)生理解。 這一部分內(nèi)容的教學(xué)與例 1 類似，不要求學(xué)生用準(zhǔn)確的 數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié)和概括。例如，旋轉(zhuǎn)的概念是 “ 如果平面到其自身的一一變換，使任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) A 、 A與平面上一個(gè)定點(diǎn) O 距離相等， AOA 等于指定的有向角 ，而 O 和自身對(duì)應(yīng)，則這樣的變換叫做 關(guān)于點(diǎn) O 的旋轉(zhuǎn) 。定點(diǎn) O 叫做 旋轉(zhuǎn)中心 ，定角 叫做 旋轉(zhuǎn)角 ，相同的指定方向叫做 旋轉(zhuǎn)方向 。 ” （馬忠林，幾何學(xué)，吉林人民出版社， 1984年 4 月第 1 版。）在初中數(shù)學(xué)中概括成 “ 把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做 旋轉(zhuǎn) 。點(diǎn)O 叫做 旋轉(zhuǎn)中心 ，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做 旋轉(zhuǎn)角 ，如果圖形上的點(diǎn) P 經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn) P ，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè) 旋轉(zhuǎn)的對(duì) 應(yīng)點(diǎn) 。 ” （義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)，人民教育出版社。）在小學(xué)階段，我們不要求學(xué)生這樣說(shuō)，只要學(xué)生能概括出 “ 繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ”“ 向什么方向旋轉(zhuǎn) ”“ 轉(zhuǎn)動(dòng)多少度 ” 這幾點(diǎn)就可以了。像 “ 旋轉(zhuǎn)中心 ”“ 旋轉(zhuǎn)角 ” 這些名詞也不必要求學(xué)生掌握。 （ 2）第 6 頁(yè) “ 做一做 ” 第 1 題。 教材呈現(xiàn)了幾個(gè)圖案，讓學(xué)生判斷分別是由哪一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的。在判斷的過(guò)程中，要讓學(xué)生說(shuō)清 “ 是哪個(gè)圖形繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ”“ 是向什么方向旋轉(zhuǎn) ” 。并讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，進(jìn)一步理解圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，體會(huì)旋轉(zhuǎn)變換的特點(diǎn)。 5. 例 4 及相應(yīng) 的 “ 做一做 ” 。 （ 1）例 4。 教材通過(guò)讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)的活動(dòng)，借助學(xué)生已經(jīng)掌握的圖形旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)在方格紙上把一個(gè)圖形按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90 。 教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生小組合作完成。如果學(xué)生有困難，教師可以提示學(xué)生只要找到三角形 AOB 的幾個(gè)頂點(diǎn)的 對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連線就可以了；在確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置的時(shí)候，可以利用已經(jīng)掌握的圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)方面的知識(shí)。如 “ 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與 O 點(diǎn)所連線段的夾角都是90 ；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離都相等 ” 等，再借助方格紙、三角板等，來(lái)確定頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置。無(wú)論學(xué)生用哪種方法，只要能按要求畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，都是可以的。必要時(shí)，可借助學(xué)具操作幫助學(xué)生理解。 （ 2）第 6 頁(yè) “ 做一做 ” 第 2 題。 教材給出一個(gè)基本圖形和旋轉(zhuǎn)中心 O，讓學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)一朵小花。這時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了在方格紙上把一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn) 90 的方法，雖然題中沒(méi)有給出旋轉(zhuǎn)的 角度和方向，學(xué)生完全可以根據(jù)所設(shè)計(jì)圖案的需要自行確定。 教學(xué)時(shí)，可以放手讓學(xué)生設(shè)計(jì)，再進(jìn)行交流。在設(shè)計(jì)圖案的過(guò)程中，要讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中，進(jìn)一步理解旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)和性質(zhì)，體會(huì)旋轉(zhuǎn)所創(chuàng)造的美。 6. 欣賞設(shè)計(jì)。 教材先讓學(xué)生觀察從主題中抽取出來(lái)的兩幅 美麗圖案 ,感受圖形變換創(chuàng)造的美 ,體會(huì)平移、旋轉(zhuǎn)在圖案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。接著讓學(xué)生應(yīng)用對(duì)稱、平移或旋轉(zhuǎn)的方法設(shè)計(jì)圖案并進(jìn)行交流 ,使學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)方法的價(jià)值。 這是一個(gè)實(shí)踐與綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的活動(dòng)，教學(xué)時(shí)可以分兩步完成。 （ 1）指導(dǎo)學(xué)生在欣賞美麗的圖案的同時(shí) ,分析對(duì)稱、平移或旋轉(zhuǎn)在其中的應(yīng)用 ,從而加深對(duì)圖形變換的基本特征和方法的理解 ,為接下來(lái)的自主設(shè)計(jì)做準(zhǔn)備。 （ 2）通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了在方格紙上將圖形平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的方法。此時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)獨(dú)立完成設(shè)計(jì)圖案的任 務(wù)，再在全班展示交流。學(xué)生可能分別運(yùn)用平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換設(shè)計(jì)圖案；也可能綜合運(yùn)用不同方法設(shè)計(jì)圖案。教師不必作統(tǒng)一要求，同時(shí)注意對(duì)學(xué)生的設(shè)計(jì)要多給予肯定和贊賞。 7. 有關(guān)練習(xí)一中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第 1 題，讓學(xué)生利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)美麗的圖案。這時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了畫(huà)一個(gè)簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形。 作簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱圖形的方法，可以放手讓學(xué)生設(shè)計(jì)，再進(jìn)行交流。在設(shè)計(jì)圖案的過(guò)程中，要讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中進(jìn)一步理解圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)，體會(huì)軸對(duì)稱變換的特點(diǎn)。 第 2 題，教科書(shū)呈現(xiàn)了幾個(gè)剪 好的圖案，讓學(xué)生判斷分別是由哪種方法剪出來(lái)的，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想像力和思維能力。 學(xué)生要根據(jù)圖案的特征，不斷在頭腦中對(duì)這個(gè)圖案進(jìn)行 “ 折疊 ”“ 重合 ” ，再將最后的結(jié)果與下面的剪法對(duì)應(yīng)起來(lái)，而且還讓學(xué)生思考 “ 還有什么剪法 ” 。這個(gè)活動(dòng)比 “ 判斷兩個(gè)圖形是不是成軸對(duì)稱 ” 所要求的想像、猜測(cè)和推理等思維活動(dòng)更多，在這個(gè)活動(dòng)中學(xué)生的空間想像力和思維能力能夠得以鍛煉，空間觀念會(huì)得到發(fā)展。 如果學(xué)生有困難，教師可以調(diào)整題目的設(shè)計(jì)，反過(guò)來(lái)，讓學(xué)生根據(jù)剪法，選擇剪出的結(jié)果。學(xué)生根據(jù)每一種剪法，在頭腦中將彩紙展開(kāi)， 對(duì) “ 半棵小芽 ” 這個(gè)圖案連續(xù)做軸對(duì)稱變換，得出結(jié)果，再與上面剪出的圖案對(duì)照。如果學(xué)生還有困難，教師可以讓學(xué)生按書(shū)上的方法實(shí)際折一折、剪一剪，再幫助學(xué)生進(jìn)行想像。 第 3 題，是讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的有關(guān)對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)變換的知識(shí)進(jìn)行判斷。注意讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，體會(huì)圖形變換在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。 第 4 題，可仿照第 6 頁(yè) “ 做一做 ” 第 2題進(jìn)行教學(xué)。 第 5 題，可仿照第 4 頁(yè)的 “ 做一做 ” 和第 2題進(jìn)行教學(xué)。 第 6 題，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)另一類圖形 “ 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形 ” 的特點(diǎn)。這些圖形繞它們的中心旋轉(zhuǎn)一定的角 度，還與原來(lái)圖形重合。這里不必讓學(xué)生了解 “ 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形 ” 這個(gè)概念，只要學(xué)生能用自己的語(yǔ)言描述出圖形的這一特征就可以了。在教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生畫(huà)出每個(gè)圖形的兩條對(duì)稱軸，確定中心 O，再讓學(xué)生想像這個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)這些 “ 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形 ” 的特點(diǎn)。如果學(xué)生有困難，教師可以通過(guò)操作幫助學(xué)生直觀的看到這些現(xiàn)象。可以事先為學(xué)生準(zhǔn)備一張底卡（印有這些圖形的硬紙卡）和這些圖形卡片，讓學(xué)生畫(huà)或折出兩條對(duì)稱軸后確定這些圖形的中心 O，再用大頭針穿過(guò)圖形卡片和底卡上相應(yīng)圖形的中心 O，再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。 8. 數(shù)學(xué) 游戲：設(shè)計(jì)鑲嵌圖案。 四年級(jí)學(xué)生初步了解了圖形的密鋪（鑲嵌）現(xiàn)象，本單元在此基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)學(xué)游戲拓展鑲嵌圖形的范圍，讓學(xué)生用圖形變換設(shè)計(jì)鑲嵌圖案，進(jìn)一步感受圖形變換帶來(lái)的美感以及在生活中的應(yīng)用。 本活動(dòng)可放手讓學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)，再進(jìn)行交流。分析交流豐富多彩的鑲嵌圖案時(shí)，不管運(yùn)用了什么變換，其本質(zhì)都是把可鑲嵌的基本幾何圖形進(jìn)行分割后再經(jīng)過(guò)圖形變換拼組而成的鑲嵌圖形。 教師小結(jié)時(shí)對(duì)科學(xué)性問(wèn)題要糾正，同時(shí)以表?yè)P(yáng)為主。 二、因數(shù)與倍數(shù) （一）教學(xué)目標(biāo) 1. 使學(xué)生 掌握因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。 2. 使學(xué)生通過(guò)自主探索，掌握 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征。 3. 逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 教材說(shuō)明 通過(guò)四年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了大量的整數(shù)知識(shí)（包括整數(shù)的認(rèn)識(shí)、整數(shù)四則運(yùn)算），本單元讓學(xué)生在前面所學(xué)的整數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索整數(shù)的性質(zhì)。本單元涉及到的因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)都屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容。數(shù)論是一個(gè)歷史悠久的數(shù)學(xué)分支，它是研究整數(shù)的性質(zhì)的一門學(xué)問(wèn)，以嚴(yán) 格、簡(jiǎn)潔、抽象著稱。數(shù)學(xué)一直被認(rèn)為是 “ 科學(xué)的皇后 ” ，而數(shù)論則更被譽(yù)為 “ 數(shù)學(xué)的皇后 ” ，可見(jiàn)數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位。本單元的知識(shí)作為數(shù)論知識(shí)的初步，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容。通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生獲得一些有關(guān)整數(shù)的知識(shí)，另一方面，有助于發(fā)展他們的抽象思維。 在數(shù)論中，數(shù)的整除性理論又是最為基本的理論，本單元的所有概念都是建立在數(shù)的整除性的基礎(chǔ)之上。對(duì)于任意整數(shù) a、 b，都存在整數(shù) n、 r，使 b na r（其中r a），當(dāng) r 0 時(shí)，我們就說(shuō) b 能被 a 整除（或 a 能整除 b），此時(shí)， b na。其他的一些概 念，如因數(shù)、倍數(shù)等，都是以此為基礎(chǔ)的。 在以往的數(shù)學(xué)教材中，也一直把 “ 數(shù)的整除 ” 概念編排在這一單元的起始位置，再把因數(shù)（以往的教材中稱為約數(shù)），倍數(shù)， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征（以往的教材稱為能被 2、 5、 3 整除的數(shù)的特征），質(zhì)數(shù)，合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最大公因數(shù)（以往的教材中稱為最大公約數(shù)），最小公倍數(shù)等內(nèi)容共同編排在后面，合為一個(gè)單元。這樣編排，雖然突顯了以上這些概念的緊密邏輯關(guān)系，但也形成了同一單元內(nèi)概念多而集中、抽象程度過(guò)高的現(xiàn)象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)概念混淆、理解困難的問(wèn)題。因此，與以往教材相比，本 套實(shí)驗(yàn)教材在編寫(xiě)時(shí)，對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行了以下幾方面的調(diào)整。 1. 我們?cè)诒締卧芯康亩际钦F(xiàn)象，因此，可以說(shuō)整除概念是貫穿這部分教材的一條主線。但 “ 整除 ” 這一詞匯是否必須出現(xiàn)呢？讓學(xué)生大量敘述 “ 能被 整除 ”“ 能整除 ” 是否必要？簽于學(xué)生在前面已經(jīng)具備了大量的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)整除的含義已經(jīng)有了比較清楚的認(rèn)識(shí)，不出現(xiàn)整除的定義并不會(huì)對(duì)學(xué)生理解其他概念產(chǎn)生任何影響。因此，本套教材中刪去了 “ 整除 ” 的數(shù)學(xué)化定義，而是借助整除的模式 na b 直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。 2. 在以往的 教材中，由于求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)時(shí)，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法。因此，作為求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的必要基礎(chǔ)， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 一直作為必學(xué)內(nèi)容編排。而在本冊(cè)教材中，由于允許學(xué)生采用多樣的方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)也失去了其不可或缺的作用，同時(shí)，也是為了減少這一單元的理論概念，教材不再把它作為正式教學(xué)內(nèi)容，而是作為一個(gè)補(bǔ)充知識(shí)，安排在 “ 你知道嗎？ ” 中進(jìn)行介紹。 3. 公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)概念的建立是以因數(shù)、倍數(shù)的概念為基礎(chǔ)的，也是為后面 學(xué)習(xí)約分（需要盡快找出分子、分母的公因數(shù)）、通分（需要盡快找出兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的公倍數(shù)）做準(zhǔn)備的，在整個(gè)知識(shí)鏈中起著承上啟下的作用。這兩個(gè)內(nèi)容可以集中編排在本單元，也可以分散編排在約分、通分的前面。考慮到本單元概念較多，抽象程度高，本套教材把這兩部分內(nèi)容分散編排在第四單元，也更加突出了它們的應(yīng)用性。 教學(xué)建議 1. 由于這部分內(nèi)容較為抽象，很難結(jié)合生活實(shí)例或具體情境來(lái)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生理解起來(lái)有一定的難度。在過(guò)去的教學(xué)中，一些教師往往忽視概念的本質(zhì)，而是讓學(xué)生死記硬背相關(guān)概念或結(jié)論，學(xué)生無(wú)法理清各概念間的前 后承接關(guān)系，達(dá)不到融會(huì)貫通的程度。再加上有些教師在考核時(shí)使用一些偏題、難題，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)覺(jué)得枯燥乏味，體會(huì)不到初等數(shù)論的抽象性、嚴(yán)密性和邏輯性，感受不到數(shù)學(xué)的魅力。為了克服以上教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)。 （ 1）加強(qiáng)對(duì)概念間相互關(guān)系的梳理，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。本單元中因數(shù)和倍數(shù)是最基本的兩個(gè)概念，理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，對(duì)于一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的、倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的等結(jié)論自然也就掌握了，對(duì)于后面的公因數(shù)、公倍數(shù)等概念的理解也是水到渠成。要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀 點(diǎn)去掌握這些知識(shí)，而不是機(jī)械地記憶一堆支離破碎、毫無(wú)關(guān)聯(lián)的概念和結(jié)論。 （ 2）由于本單元知識(shí)特有的抽象性，教學(xué)時(shí)要注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。雖然我們強(qiáng)調(diào)從生活的角度引出數(shù)學(xué)知識(shí)，但數(shù)論本身就是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，有時(shí)不太容易與具體情境結(jié)合起來(lái)，如質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，很難從生活實(shí)際中引入。而學(xué)生到了五年級(jí)，抽象能力已經(jīng)有了進(jìn)一步發(fā)展，有意識(shí)地培養(yǎng)他們的抽象概括能力也是很有必要的，如讓學(xué)生通過(guò)幾個(gè)特殊的例子，自行總結(jié)出任何一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，逐步形成從特殊到一般的歸納推理能力，等等。 2. 這部分內(nèi)容可以用 6 課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。 （三）各小節(jié)的教材說(shuō)明和教學(xué)建議 1. 因數(shù)和倍數(shù) （第 12 16頁(yè)） 教材說(shuō)明 這部分教材首先介紹了因數(shù)和倍數(shù)的概念，然后在例 1 和例 2 分別介紹了求一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。 1. 因數(shù)和倍數(shù)。 編寫(xiě)意圖 本單元在引入因數(shù)和倍數(shù)的概念時(shí)與以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通過(guò)除法算式來(lái)引出整除的概念，每個(gè)除法算式對(duì)應(yīng)著一對(duì)有整除關(guān)系的數(shù)，如ba n 表示 b 能被 a 整除， bn a 表示 b 能被 n 整除。在此基礎(chǔ)上再引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。實(shí)際上，如前所述，由于乘除法本身就存在著互逆關(guān)系，用乘法算式（如 b na）同樣可以表示整除的含義。因此，本套教材中沒(méi)有用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言給 “ 整除 ” 下定義，而是利用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)物圖（ 2 行飛機(jī)，每行 6 架）引出一個(gè)乘法算式 26 12，通過(guò)這個(gè)乘法算式直接給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。這樣，學(xué) 生不必通過(guò) 122 6 得出 12能被 2 整除，進(jìn)而 2 是 12 的因數(shù)， 12 是 2 的倍數(shù)。再通過(guò) 126 2 得出 12 能被 6 整除，進(jìn)而 6 是 12 的因數(shù)， 12 是 6 的倍數(shù)，大大簡(jiǎn)化了敘述和記憶的過(guò)程。在這兒，用一個(gè)乘法算式 26 12 可以同時(shí)說(shuō)明 “2 和 6 都是 12 的因數(shù)， 12 是 2 的倍數(shù)，也是 6的倍數(shù)。 ” 接著，通過(guò) 34 12，進(jìn)一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。在學(xué)生熟練掌握了因數(shù)和倍數(shù)的概念以后，教材讓學(xué)生試著找出 12 的其他因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)的積等于 12 的另一個(gè)乘法算式 112 12，從而得出 1 和 12 也是 12 的因數(shù)。 最后，教材對(duì)整數(shù) 0 進(jìn)行特殊說(shuō)明，以明確本單元中數(shù)的研究范圍。因?yàn)閿?shù)論只研究整數(shù)的性質(zhì)，所以，本單元中涉及到的數(shù)都是整數(shù)。由于學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)負(fù)整數(shù)，因此，本單元的整數(shù)與自然數(shù)同義。根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義， 0 是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是 0 的因數(shù)。但是考慮到以后研究最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，如果不排除 0，很多問(wèn)題無(wú)從討論，如討論 0 和 5 的最大公因數(shù)既沒(méi)有實(shí)際意義，也沒(méi)有數(shù)學(xué)意義，再如，如果把 0 考慮在內(nèi)，任意兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)就是 0，這樣的研究沒(méi)有任何價(jià)值。因此，教材指出本單元研究的內(nèi)容一般不 包括 0，這樣就避免了一些不必要的麻煩。 教學(xué)建議 教學(xué)因數(shù)和倍數(shù)概念時(shí)，可以結(jié)合教材上的直觀圖（ 2 行飛機(jī)，每行 6 架）引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式 26=12 或 62=12 ，再根據(jù)所列的乘法算式直接給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。接下來(lái)，再結(jié)合直觀圖（ 3 行飛機(jī)，每行 4 架）進(jìn)一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。最后，讓學(xué)生脫離情境圖，想一想 12 還有哪些因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式 112=12或 121=12 ，概括出 “1 和 12 都是 12 的因數(shù)， 12 是 1 和它本身的倍數(shù) ” 。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用一般的乘法算式 ab=c 歸納出因數(shù) 和倍數(shù)的概念： a、 b 都是 c的因數(shù)， c 是 a 和 b 的倍數(shù)。 教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意以下四點(diǎn)：（ 1）雖然本套教材不是從過(guò)去的整除定義（形式上是除法算式）出發(fā)，而是通過(guò)一個(gè)乘法算式來(lái)引出因數(shù)和倍數(shù)概念，但在本質(zhì)上仍是以“ 整除 ” 為基礎(chǔ)，只是略去了許多中間描述。因此，要注意，只有在這個(gè)乘法算式中的因數(shù)和積都是整數(shù)的情況下才能討論因數(shù)和倍數(shù)的概念。教學(xué)時(shí)，教師也可以舉出一些反例加以說(shuō)明，如 50.8 4，雖然等式成立，但不能說(shuō) 5 和 0.8 是 4 的因數(shù)，或 4 是5 和 0.8 的倍數(shù)。（ 2）因數(shù)和倍數(shù)是一對(duì)相互依存的概念，不能單獨(dú)存在。 a是 b 的因數(shù)，反過(guò)來(lái) b 就是 a 的倍數(shù)，因此，描述因數(shù)或倍數(shù)時(shí)必須說(shuō)清楚誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)（或倍數(shù)），要引導(dǎo)學(xué)生使用比較規(guī)范的語(yǔ)言，如 “2 是 12 的因數(shù)， 12 是 2 的倍數(shù) ” 而不是“2 是因數(shù)， 12 是倍數(shù) ” ，在課堂上或練習(xí)中學(xué)生如果出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤要及時(shí)加以糾正。（ 3）要注意區(qū)分乘法算式各部分名稱中的 “ 因數(shù) ” 和本單元中的 “ 因數(shù) ” 的聯(lián)系和區(qū)別。在同一個(gè)乘法算式中，兩者都是指乘號(hào)兩邊的整數(shù)，但前者是相對(duì)于 “ 積 ” 而言的，與 “ 乘數(shù) ” 同義，可以是小數(shù)，而后者是相對(duì)于 “ 倍數(shù) ” 而言的，與以前所說(shuō)的 “ 約數(shù) ”同義，說(shuō) “ 是 的因數(shù) ” 時(shí)，兩者都只 能是整數(shù)。（ 4）要注意區(qū)分 “ 倍數(shù) ” 與前面學(xué)過(guò)的 “ 倍 ” 的聯(lián)系與區(qū)別。 “ 倍 ” 的概念比 “ 倍數(shù) ” 要廣，如我們可以說(shuō) “15 是 3 的5 倍 ” ，也可以說(shuō) “1.5 是 0.3 的 5 倍 ” ，但我們只能說(shuō) “15 是 3 的倍數(shù) ” ，卻不能說(shuō)“1.5 是 0.3 的倍數(shù) ” 。我們?cè)谇笠粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，運(yùn)用的方法與 “ 求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少 ” 是相同的，只是這里的 “ 幾倍 ” 都是指整數(shù)倍。 2. 例 1。 編寫(xiě)意圖 例 1 是教學(xué)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法。教材直接提出問(wèn)題 “18 可以由哪兩個(gè)數(shù)相乘得到？ ” 引導(dǎo)學(xué)生利用因數(shù)的概念來(lái)求 18 的因數(shù)。在這里，每列出一個(gè)乘法算式，就可以求出 18 的一對(duì)因數(shù)，只要學(xué)生有序地寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)的乘積是 18 的所有乘法算式，就可以把因數(shù)找全。在此基礎(chǔ)上，再用集合圖表示出一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)，為后面用交集形式表示兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)打下基礎(chǔ)，使學(xué)生初步體會(huì)到一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。 接下來(lái)，通過(guò) “ 做一做 ” 進(jìn)一步鞏固求 一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法。 最后，以例 1 和 “ 做一做 ” 為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生抽象地概括出一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)和最大因數(shù)分別是什么，總結(jié)出一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的結(jié)論，向?qū)W生滲透從個(gè)別到全體、從具體到一般的抽象歸納的思想方法。 教學(xué)建議 教學(xué)例 1 時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從因數(shù)的概念出發(fā)去求 18 的因數(shù)，也就是想：哪兩個(gè)整數(shù)相乘的積是 18？從每個(gè)滿足條件的乘法算式中可以找出 18 的一對(duì)因數(shù)。找的時(shí)候，要引導(dǎo)學(xué)生有序地思考。教學(xué)時(shí)，如果學(xué)生用除法思考，固定被除數(shù) 18，改變除數(shù)，看除得的商是不是整數(shù)，如果是，則除數(shù)和商都是被除數(shù) 的因數(shù)，這樣的思考方法也是應(yīng)該鼓勵(lì)的。等學(xué)生把 18 的所有因數(shù)都寫(xiě)出來(lái)，再讓他們用集合的形式表示出來(lái)，為后面求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)做準(zhǔn)備。 然后，讓學(xué)生做 “ 做一做 ” 的題目。通過(guò)例 1 和 “ 做一做 ” 的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察到每個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是 1，而最大因數(shù)是它本身，因此，它的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。 3. 例 2。 編寫(xiě)意圖 例 2 是教學(xué)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法。根據(jù)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的定義，可知該數(shù)和任意非零自然數(shù)之積都是該數(shù)的倍數(shù)。因此， 2 的倍數(shù)也就是 2 和任意非零自然數(shù)的乘積，學(xué)生在列乘法算式時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的算式是列不完的，因此， 2 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。接下來(lái)，也用集合圖表示出 2 的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)用交集表示兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。 “ 做一做 ” 中分別安排了讓學(xué)生求 3、 5 的倍數(shù)的練習(xí)，一方面鞏固了對(duì)倍數(shù)概念的理解，另一方面，結(jié)合例 2 中 2 的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí) 2、 3、 5 的倍數(shù)的特征做準(zhǔn)備。 最后，與例 1 的編排相類似，教材通過(guò)求以上幾個(gè)數(shù)的倍數(shù)，使學(xué)生總結(jié)出：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，只有最小的倍數(shù)，沒(méi)有最大的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。 教材還用 “ 你知道嗎？ ” 介紹了完全數(shù)的概念，以豐富學(xué)生的數(shù)論知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在課余時(shí)間探索完全數(shù)的性質(zhì)，也可以先求出教材上提供的幾個(gè)數(shù)的因數(shù)，然后驗(yàn)證是否符合完全數(shù)的定義。 教學(xué)建議 教學(xué)例 2 時(shí)，可以參照例 1 的方法進(jìn)行教學(xué)。在找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從 “ 這個(gè)數(shù)的整數(shù)倍 ” 考慮，因此，可以從最小的倍數(shù)找起。學(xué)生找出了幾個(gè) 2 的倍數(shù) 以后，教師可以提問(wèn) 2 的倍數(shù)有多少個(gè)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，進(jìn)而想到 2 的自然數(shù)倍也是無(wú)限的，無(wú)法一一羅列，可以用省略號(hào)表示。在用集合圖表示2 的倍數(shù)時(shí)，也要注意提醒學(xué)生在集合圈里寫(xiě)出省略號(hào)。然后在完成 “ 做一做 ” 的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是幾？有沒(méi)有最大的倍數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生自主得出結(jié)論。 4. 關(guān)于練習(xí)二中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第 2 題，讓學(xué)生分別找出 36 和 60 的因數(shù)，在學(xué)生完成題目后，教師可以有意識(shí)地讓學(xué)生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個(gè)數(shù)共同的因數(shù)，這些共同因數(shù)中最大 的是什么，為后面學(xué)習(xí) “ 公因數(shù) ” 和 “ 最大公因數(shù) ” 做準(zhǔn)備。 第 3 題，讓學(xué)生分別找出 8 和 9 的倍數(shù)，在學(xué)生完成題目后，教師可以有意識(shí)地讓學(xué)生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個(gè)數(shù)共同的倍數(shù)，這些共同倍數(shù)中最小的是什么，為后面學(xué)習(xí) “ 公倍數(shù) ”“ 最小公倍數(shù) ”“ 互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積 ” 等知識(shí)做準(zhǔn)備。 第 5 題，幫助學(xué)生辨析某些概念。如說(shuō)因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，必須說(shuō)清楚誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)（或倍數(shù)）。再如，任何一個(gè)非零自然數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，任何非零自然數(shù)都有因數(shù) 1，等等。 第 6 題，通過(guò)猜數(shù)游戲鞏固因數(shù)和倍數(shù)的 概念，第（ 1）題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，隨著限制條件的增多，符合條件的數(shù)越來(lái)越少。實(shí)際上，題目中共有四個(gè)限制條件，先看42 的因數(shù)有 1、 2、 3、 6、 7、 14、 21、 42，其中只有 7、 14、 21、 42是 7 的倍數(shù)，這四個(gè)數(shù)中只有 14 和 42 是 2 的倍數(shù)，其中只有 42 才是 3 的倍數(shù)，所以，符合條件的數(shù)只有 42。第（ 2）、（ 3）題，都使學(xué)生進(jìn)一步理解一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。 第 16 頁(yè)的思考題，是通過(guò)兩個(gè)特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不完全歸納，總結(jié)出以下的結(jié)論：如果兩個(gè)數(shù)都是一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和也是這個(gè)數(shù) 的倍數(shù)。還可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)化的方式對(duì)這個(gè)結(jié)論加以證明：如果 B是 A 的倍數(shù)，那么必然存在一個(gè)整數(shù) m，使 B Am，如果 C 也是 A 的倍數(shù)，那么必然存在一個(gè)整數(shù) n，使 C An，那么 B C Am An A（ m n），因此， B C 也是 A 的倍數(shù)。這個(gè)結(jié)論還可以進(jìn)一步擴(kuò)展：如果有 n 個(gè)數(shù)都是一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這 n 個(gè)數(shù)的和也是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。 2. 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 （第 17 22頁(yè)） 這部分內(nèi)容是在因數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的重要基礎(chǔ)，從而也是學(xué)習(xí)約分和通分的必要前提。學(xué)生的分?jǐn)?shù)運(yùn)算是 否熟練，取決于約分和通分掌握得是否熟練，而約分和通分是否熟練，在很大程度上取決于能不能很快地根據(jù)分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因數(shù)，能不能很快地求出幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的公倍數(shù)。因此，熟練掌握 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征，具有十分重要的意義。 教材先教學(xué) 2、 5 的倍數(shù)的特征，再教學(xué) 3 的倍數(shù)的特征。因?yàn)?2、 5 的倍數(shù)的特征僅僅體現(xiàn)在個(gè)位上的數(shù)，比較明顯，容易理解。而 3 的倍數(shù)的特征，不能只從個(gè)位上的數(shù)來(lái)判定，必須把其各位上的數(shù)相加，看所得的和是否為 3 的倍數(shù)來(lái)判定，學(xué)生理解起來(lái)有一定的困難，因此把它放在 2、 5 的倍 數(shù)的特征后面教學(xué)。 1. 2 的倍數(shù)的特征。 編寫(xiě)意圖 教材從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，通過(guò)電影院里 “ 雙號(hào) ” 的概念，使學(xué)生利用因數(shù)和倍數(shù)的概念，判斷出這些 “ 雙數(shù) ” 都是 2 的倍數(shù)。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察這些座位號(hào)的個(gè)位上的數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)而概括出 2 的倍數(shù)的特征。 在學(xué)生總結(jié)了 2 的倍數(shù)的特征的基礎(chǔ)上，教材又介紹了偶數(shù)和奇數(shù)的概念。 教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生觀察情境圖，并聯(lián)想在生活中哪兒還見(jiàn)過(guò)雙數(shù)、單數(shù)，如街道或胡同一邊的門牌號(hào)是雙數(shù)，另一邊是單數(shù)。接下來(lái)，讓學(xué)生思考：為什么這些數(shù)稱為雙數(shù)？它們和 2 有什么聯(lián)系？（學(xué)生在生活中已經(jīng)具備了 “ 雙 ” 即為 “2 個(gè) ” 的經(jīng)驗(yàn)。）引導(dǎo)學(xué)生列出它們與 2 的倍數(shù)關(guān)系，說(shuō)明這些數(shù)都是 2 的倍數(shù)。也可以讓學(xué)生聯(lián)系前面學(xué)過(guò)的 2 的倍數(shù)的求法，說(shuō)出若干個(gè) 2 的倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個(gè)位上都是 0、 2、 4、 6、 8，從而 形成猜想：所有 2 的倍數(shù)的個(gè)位上都是 0、 2、 4、 6、 8。因此，判斷一個(gè)數(shù)是不是 2 的倍數(shù)，只要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位上是什么數(shù)就可以了。接下來(lái)，可以讓學(xué)生舉出一些數(shù)（包括比較大的數(shù)，如 1045、 8394）進(jìn)行驗(yàn)證。由于 2 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，無(wú)法一一驗(yàn)證，在這兒，只要學(xué)生通過(guò)觀察有限個(gè) 2 的倍數(shù)的特征，總結(jié)出所有 2 的倍數(shù)的特征就可以了，不要求嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明（見(jiàn)參考資料）。 接下來(lái)，介紹偶數(shù)和奇數(shù)的概念。我們?cè)谶@個(gè)單元中一般不考慮 0，在這兒需要作一個(gè)特殊說(shuō)明，因?yàn)?0 也是 2 的倍數(shù)，因此 0 也是偶數(shù)。學(xué)生掌握了偶數(shù)和奇數(shù) 的定義后，教師可以給出一些數(shù)，讓學(xué)生判斷它們是奇數(shù)還是偶數(shù)，也可以讓學(xué)生再舉出一些偶數(shù)和奇數(shù)。在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生將 2 的倍數(shù)的特征表示為 “ 個(gè)位上是偶數(shù)的都是 2 的倍數(shù) ” 。 2. 5 的倍數(shù)的特征。 編寫(xiě)意圖 編排方式與 2 的倍數(shù)的特征相似，也是通過(guò)實(shí)際情境引入， 讓學(xué)生在觀察 5 的倍數(shù)的個(gè)位上的數(shù)的特點(diǎn)基礎(chǔ)上概括出 5 的倍數(shù)的特征。 教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，可以參照 2 的倍數(shù)的特征的教法進(jìn)行。完成 “ 做一做 ” 的題目時(shí)，可以使學(xué)生初步感受公倍數(shù)的概念，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：如果一個(gè)數(shù)既是 2 的倍數(shù)又是 5的倍數(shù)，那它必定是 10 的倍數(shù)，也就是末尾有 0 的數(shù)（ 0 除外）。 3. 3 的倍數(shù)的特征。 編寫(xiě)意圖 更加突出學(xué)生的自主探索，使學(xué)生在觀察 猜想 推翻猜想 再觀察 再猜想 驗(yàn)證的過(guò)程中，概括出 3 的倍數(shù)的特征。教材上通過(guò)逐步增加提示的方式，減緩學(xué)生在概括時(shí)的思考難度。 教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證的完整過(guò)程。由于學(xué)生在概括 2 和 5的倍數(shù)的特征時(shí)，只注意到了個(gè)位數(shù)，因此，學(xué)生在概括 3 的倍數(shù)時(shí)，也會(huì)很自然地尋找個(gè)位上的數(shù)的特征。但通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)有的是 3 的倍數(shù)，有的不是，于是產(chǎn)生認(rèn)知沖突。接下來(lái)， 經(jīng)過(guò)進(jìn)一步提示，引導(dǎo)學(xué)生觀察各位上數(shù)的和，發(fā)現(xiàn)各位上數(shù)的和是 3 的倍數(shù)。于是，形成新的猜想：一個(gè)數(shù)如果是 3 的倍數(shù)，那么它各位上數(shù)的和也是 3 的倍數(shù)。為了驗(yàn)證這一猜想，可以補(bǔ)充一些其他的數(shù)，如 493 147，1663 498 等，使學(xué)生進(jìn)一步確認(rèn)這一結(jié)論的正確性。還可以任意寫(xiě)一個(gè)數(shù)，利用這一結(jié)論來(lái)驗(yàn)證，如 3697， 3 6 9 7 25， 25 不是 3 的倍數(shù)，而 36973 也不能得到整數(shù)商，因此，它不是 3 的倍數(shù)。通過(guò)這樣的方式也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：找出某個(gè)規(guī)律后，還要找出一些正面的、反面的例子進(jìn)行檢驗(yàn)，看是不是普遍適用。 為了使學(xué)生更好地掌握 3 的倍數(shù)的特征，進(jìn)行課堂練習(xí)時(shí)，還可以把一些數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)經(jīng)過(guò)不同的排列，再讓學(xué)生判斷，以加深對(duì) “ 各位上數(shù)的和是 3 的倍數(shù) ”的理解。如完成 “ 做一做 ” 第 1 題時(shí)，學(xué)生判斷完 45 是 3 的倍數(shù)后，教師可以再讓學(xué)生判斷一下 54 是不是 3 的倍數(shù)。 完成 “ 做一做 ” 第 2 題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生有序地思考問(wèn)題。第 18 頁(yè)的 “ 做一做 ”已經(jīng)有所鋪墊，學(xué)生已經(jīng)知道只有末尾是 0 的數(shù)才能同時(shí)是 2和 5 的倍數(shù)，而此題中所求的數(shù)又是一個(gè)三位數(shù)，所以，就要從幾百幾十中找這樣的數(shù)，這樣，每增加一個(gè)條件，符合條件的數(shù)的范圍就 縮小一些，通過(guò)層層 “ 篩選 ” ，求出符合條件的數(shù)是 120。 利用 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是不是 2、 5或 3 的倍數(shù)，其方法是比較容易掌握的，但要形成較好的數(shù)感，達(dá)到熟練判斷的程度，也不是一、兩節(jié)課所能解決的，還需要進(jìn)行較多的練習(xí)進(jìn)行鞏固。 4. 關(guān)于練習(xí)三中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第 2 題，是讓學(xué)生尋找生活中的奇數(shù)和偶數(shù)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡量多地發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)信息，如住幾號(hào)樓，公共汽車是幾路的，全村有幾戶人家，全班有多少人，等等。有了這些數(shù)據(jù)后，還可以在后面的練習(xí)中進(jìn)一步判斷它們是不是 2、 5、 3 的倍數(shù)。 第 5 題，是一個(gè)解決實(shí)際問(wèn)題的題目。由于媽媽買的是一些馬蹄蓮和郁金香，馬蹄蓮 10 元 1 枝，所以它的總價(jià)是 10 的倍數(shù)，也就是整十?dāng)?shù)，而郁金香是 5 元 1 枝，所以它的總價(jià)是 5 的倍數(shù)，個(gè)位上是 0 或 5，兩者合起來(lái)的總價(jià)一定是幾十元或幾十五元，因此，服務(wù)員找的錢數(shù)不對(duì)。 第 7 題是開(kāi)放題，要運(yùn)用 3 的倍數(shù)的特征來(lái)解決。如想 “7 是 3 的倍數(shù) ” ，就要想 “ 7 是 3 的倍數(shù) ” ， 中符合條件的數(shù)有 2、 5、 8。 第 8 題也是開(kāi)放題，要找出一個(gè)偶數(shù)，同時(shí)又是 3 的倍數(shù)，可以先確定該數(shù)的個(gè)位上的數(shù)，再根據(jù) 3 的倍數(shù)的特征來(lái)確定其他位的數(shù)。而要找一個(gè)奇數(shù)，同時(shí)又是 5的倍數(shù)，也是先確定個(gè)位上的數(shù)必須是 5，其他數(shù)位上可以取任意數(shù)。 第 10 題，可以先把從 4 張卡片里取 3 張所能組成的所有三位數(shù)列出來(lái)： 430、403、 340、 304， 450、 405、 540、 504， 350、 305、 530、 503， 435、 453、 345、 354、534、 543。羅列的時(shí)候，要引導(dǎo)學(xué)生采用有序的思考方式，保證不重復(fù)、不遺漏。然后再分別看這些數(shù)屬于下面的哪一類。也可以先根據(jù)下面各類數(shù)的特點(diǎn)確定范圍，如這些數(shù)字能組成的偶數(shù)，個(gè)位數(shù)只能是 0和 4，那么相應(yīng)的數(shù)就有 430、 340、 350、 530、 450、540， 304、 504、 354、 534。再如，由于這 4 張卡片中的 3 個(gè)數(shù)相加之和是 3 的倍數(shù)的情況有 4 5 0 9， 4+3+5=12，因此能組成的 3 的倍數(shù)有 450、 405、 540、 504； 345、354、 435、 453、 534、 543。教學(xué)時(shí)，還可以把本題進(jìn)一步拓展，如讓學(xué)生思考用這 4張卡片能組成的 3 的倍數(shù)中，一位數(shù)有哪些，兩位數(shù)、四位數(shù)呢？ 第 11*題，是讓學(xué)生進(jìn)一步探索偶數(shù)和奇數(shù)的性質(zhì)。練習(xí)時(shí)，可以讓學(xué)生結(jié)合具體的數(shù)來(lái)理解。 3. 質(zhì)數(shù)和 合數(shù) （第 23 26頁(yè)） 在數(shù)論中，有關(guān)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的理論一直吸引著數(shù)學(xué)家們不斷探索。例如，我們已經(jīng)知道質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，但人們?nèi)栽诓粩嗟貙ふ腋蟮馁|(zhì)數(shù)， 1996 年 9 月初美國(guó)的科學(xué)家找到了一個(gè)新的最大質(zhì)數(shù)（ 21257787-1）。再比如， 1742 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出了著名的 “ 哥德巴赫猜想 ” ：任何大于 2 的偶數(shù)，都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，這一數(shù)學(xué)王冠上的明珠至今仍吸引著無(wú)數(shù)人孜孜以求。因此，在質(zhì)數(shù)和合數(shù)的世界里充滿了神奇的數(shù)學(xué)魅力。 在小學(xué)階段，只是讓學(xué)生在因數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)上初步掌握質(zhì)數(shù)、合 數(shù)的概念，為后面學(xué)習(xí)求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分打下基礎(chǔ)。在本單元，要求學(xué)生能用自己的方法找出 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，并熟練判斷 20 以內(nèi)的數(shù)哪個(gè)是質(zhì)數(shù)，哪個(gè)是合數(shù)。 1. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)。 編寫(xiě)意圖 教材首先讓學(xué)生找出 1 20 各數(shù)的全部因數(shù)，然后按照每個(gè)數(shù)的因 數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類。在此基礎(chǔ)上給出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。同時(shí)說(shuō)明 1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，以加深學(xué)生對(duì)某些特殊數(shù)的認(rèn)識(shí)。 教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，可以先復(fù)習(xí)因數(shù)的概念，然后再讓學(xué)生找出 1 20 各數(shù)的所有因數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)的因數(shù)有什么不同，可以怎樣分類。學(xué)生通過(guò)自主探索，會(huì)自覺(jué)地把這些數(shù)分成三類：只有因數(shù) 1 的；只有 1 和它本身這兩個(gè)因數(shù)的；除了 1 和本身之外還有其他因數(shù)的。在分類的基礎(chǔ)上，再引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，說(shuō)明只有 1 和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，有兩個(gè)以上因數(shù)的數(shù)叫合數(shù)， 1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。學(xué)生掌握 了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念以后，教師可以出示幾個(gè)數(shù)，讓學(xué)生判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，也可以由學(xué)生自己分別寫(xiě)出幾個(gè)質(zhì)數(shù)和幾個(gè)合數(shù)。 2. 例 1。 編寫(xiě)意圖 本例讓學(xué)生運(yùn)用質(zhì)數(shù)的概念找出 100 以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。學(xué)生通過(guò)此例可以學(xué)會(huì)找質(zhì)數(shù)的一般方法 “ 篩法 ” ，即劃掉每個(gè)質(zhì)數(shù)的所有倍數(shù)（它本身除外），剩下的都是質(zhì)數(shù)。由于小學(xué)用到的質(zhì)數(shù)比較少，所以教材中只要求學(xué)生找出 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。這些質(zhì)數(shù)不必要求學(xué)生都背熟，但是熟悉 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)還是有必要的。 分解質(zhì)因數(shù)的內(nèi)容雖然不作為正式教學(xué)內(nèi)容，但作為一種重要的方法技能，教材 還是把它安排在 “ 你知道嗎？ ” 中進(jìn)行介紹，供學(xué)生閱讀參考。 教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，盡量采取讓學(xué)生自己完成任務(wù)的教學(xué)方式。學(xué)生在找 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)時(shí)，所用的方法可能是多樣化的。例如，有的學(xué)生是先找每個(gè)數(shù)分別有幾個(gè)因數(shù)，然后再根據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義進(jìn)行判斷。還有的學(xué)生采用的是 “ 排除法 ” ，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只有因數(shù) 1 和它本身，所以，每個(gè)質(zhì)數(shù)后面該質(zhì)數(shù)的所有倍數(shù)都是合數(shù)，如 2 是質(zhì)數(shù)，但是 2的倍數(shù)（ 2 本身除外）如 4， 6， 8， 10， 都是合數(shù)， 3 是質(zhì)數(shù)，它的倍數(shù)（ 3 本身除外）如 6， 9， 12， 15， 也都是合數(shù)。因此，只要把所有質(zhì) 數(shù)后面的倍數(shù)都劃去，剩下的就都是質(zhì)數(shù)了。劃完后，還可以讓學(xué)生體會(huì)一下劃到幾的倍數(shù)就可以了。由于自然數(shù)是無(wú)限的，所以質(zhì)數(shù)和合數(shù)也是無(wú)限的。本例中只要求學(xué)生列出 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，這是因?yàn)檩^大的質(zhì)數(shù)不常用。但 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)用得較多，最好應(yīng)提醒學(xué)生逐步記住。 到本節(jié)教材為止，已經(jīng)出現(xiàn)了因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，有些概念學(xué)生容易混淆，如學(xué)生往往把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和偶數(shù)混同起來(lái)，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)注意讓學(xué)生辨析這些概念。例如，可讓學(xué)生按照不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類，按是不是 2 的倍數(shù)可以把整數(shù)分成偶數(shù) 和奇數(shù)兩類，按約數(shù)的多少把非零自然數(shù)分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1 三類。也可以結(jié)合學(xué)生自行整理的質(zhì)數(shù)表，讓學(xué)生觀察和思考：是不是所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生舉出反例，如 2 是質(zhì)數(shù)，但它不是奇數(shù)；也不是所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)，如 9、 35 都是奇數(shù)，但都不是質(zhì)數(shù)；也不是所有的偶數(shù)都是合數(shù)，如偶數(shù) 2 就不是合數(shù)。 3. 關(guān)于練習(xí)四中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第 1 題，主要是讓學(xué)生對(duì)一些概念進(jìn)一步加以區(qū)別。判斷時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明理由或舉出反例。如第（ 3）小題，使學(xué)生進(jìn)一步記住 1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。第（ 4）小題，因?yàn)榕紨?shù) 2 是質(zhì) 數(shù)，它和其他質(zhì)數(shù)的和都是奇數(shù)，因此，題中的說(shuō)法不正確。 第 3 題，讓學(xué)生根據(jù)條件求數(shù)，要求學(xué)生對(duì) 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)比較熟悉。如第 1 小題，可以先通過(guò) “ 兩個(gè)數(shù)的積是 21” 知道這兩個(gè)數(shù)是 21 的一對(duì)因數(shù)，這樣的因數(shù)只有3 和 7或 1和 21，而前者正好滿足 3 7=10 且都是質(zhì)數(shù)。再如第 2 小題，滿足 “ 兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和是 20” 的有兩對(duì)質(zhì)數(shù)： 3 和 17、 7 和 13，而后者又同時(shí)滿足 713=91 。 第 4 題，是帶著練習(xí) 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征。 第 5 題，是用游戲的形式引出 “ 哥德巴赫猜想 ” ，使學(xué)生通過(guò)舉例的方式看到：大于 2 的偶數(shù)，可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。但舉例只能舉出有限個(gè)，是不是所有大于 2的偶數(shù)都滿足這一結(jié)論呢？從而引起學(xué)生繼續(xù)探求的興趣，也很自然地引出下面的閱讀材料。 因數(shù)與倍數(shù)參考資料 1 2、 5、 3的倍數(shù)的特征 1. 2 或 5 的倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是 2 或 5 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是 2 或 5 的倍數(shù)。 假設(shè)有一個(gè)數(shù) anan-1a 1a0，那么， anan-1a 1a1=an10 n+an-110 n-1+a 110+a n =（ an10 n-1+an-110 n-2+a 1） 10+a 0 因此，可以把這個(gè)數(shù)看成是兩個(gè)數(shù)的和，第一個(gè)加數(shù)（ an10 n-1+an-110 n-2+a 1） 10 必定是 2 或 5 的倍數(shù)，所以只需看個(gè)位上的數(shù) a0 是不是 2或 5的倍數(shù)就可以了。 例如， 4567 410 3 510 2 610 7 （ 410 2 510 6） 10 7 因?yàn)?7 不是 2 或 5 的倍數(shù)，因此， 4567 也不是 2 或 5 的倍數(shù)。 2. 3 或 9 的倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)之和是 3 或 9 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是 3 或 9 的倍數(shù)。 因此，可以把這個(gè)數(shù)看成是兩個(gè)數(shù)的和，第一個(gè)加數(shù) 必定是 3 或 9 的倍數(shù)，所以只需看第二個(gè)加數(shù)（ an+an-1+a 1+a0）是否是 3 或 9 的倍數(shù)就可以了。 例如， 8325 81000 3100 210 5 8 （ 1000-1） 3 （ 100-1） 2 （ 10-1） （ 8 3 2 5） （ 8999 399 29 ）（ 8 3 2 5） （ 8111 311 21 ） 9 （ 8 3 2 5） 因?yàn)椋?8111 311 21 ） 9 必定是 3 或 9 的倍數(shù)，所以只需看（ 8 3 2 5）是否是 3 或 9 的倍數(shù)就可以了。 2. 質(zhì)數(shù)表 判定一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，要根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義。一個(gè)較大的數(shù)，要 判定它是不是質(zhì)數(shù)，往往要進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算，有時(shí)計(jì)算量是很大的。因此，人們把已經(jīng)判定的一定范圍的質(zhì)數(shù)，編制成表（如 1000 以內(nèi)質(zhì)數(shù)表、 4000 以內(nèi)質(zhì)數(shù)表等），以備查用。質(zhì)數(shù)表通常是用篩法制成的。 3. 篩法 篩法，是求不超過(guò)自然數(shù) n（ n1）的所有質(zhì)數(shù)的一種方法。據(jù)說(shuō)是古希臘的埃拉托斯特尼（ Eratosthenes，約公元前 274前 194 年）發(fā)明的，又稱埃拉托斯特尼篩子。 具體做法是：先把 n 個(gè)自然數(shù)按次序排列起來(lái)。 1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，要?jiǎng)澣?。第二個(gè)數(shù) 2 是質(zhì)數(shù)，留下來(lái)，而把 2 后面所有 2 的倍數(shù)都劃去。 2 后面第一 個(gè)沒(méi)劃去的數(shù)是 3，把3 留下，再把 3 后面所有 3 的倍數(shù)都劃去。 3 后面第一個(gè)沒(méi)劃去的數(shù)是 5，把 5 留下，再把5 后面所有 5 的倍數(shù)都劃去。這樣一直做下去，就會(huì)把不超過(guò) n 的全部合數(shù)都篩掉，留下的就是不超過(guò) n 的全部質(zhì)數(shù)。因?yàn)橄ＥD人是把數(shù)寫(xiě)在涂蠟的板上，每劃去一個(gè)數(shù)，就在上面記以小點(diǎn)，尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后，這許多小點(diǎn)就像一個(gè)篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做 “ 埃拉托斯特尼篩 ” ，簡(jiǎn)稱 “ 篩法 ” 。（另一種解釋是當(dāng)時(shí)的數(shù)寫(xiě)在紙草上，每劃去一個(gè)數(shù)，就把這個(gè)數(shù)挖去，尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后，這許多小洞就像一個(gè)篩子。） 例如，用篩法找出不超 過(guò) 30 的一切質(zhì)數(shù)： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 因此，不超過(guò) 30 的質(zhì)數(shù)有： 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29，共 10 個(gè)。 三、長(zhǎng)方體和正方體 （一）教學(xué)目標(biāo) 1. 通過(guò)觀察和操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體的特征以及它們的展開(kāi)圖。 2. 通過(guò)實(shí)例，了解體積（包括容積 ）的意義及度量單位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），會(huì)進(jìn)行單位之間的換算，感受 1 m3、 1 dm3、 1 cm3以及 1 L、 1 ml 的實(shí)際意義。 3. 結(jié)合具體情境，探索并掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積和表面積的計(jì)算方法，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 4. 探索某些實(shí)物體積的測(cè)量方法。 （二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議 教材說(shuō)明 1. 本單位的內(nèi)容及地位和作用。 學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了一些簡(jiǎn)單的立體圖形，已經(jīng)能夠識(shí)別出長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球，本單元在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)教 學(xué)長(zhǎng)方體和正方體的有關(guān)知識(shí)。長(zhǎng)方體和正方體是最基本的立體圖形。通過(guò)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體，可以使學(xué)生對(duì)自己周圍的空間和空間中的物體形成初步的空間觀念，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他立體幾何圖形的基礎(chǔ)。另外，長(zhǎng)方體和正方體體積的計(jì)算，也是學(xué)生形成體積的概念、掌握體積的計(jì)量單位和計(jì)算各種幾何形體體積的基礎(chǔ)。 本單元分三小節(jié)編排：長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)，長(zhǎng)方體和正方體的表面積，長(zhǎng)方體和正方體的體積。在長(zhǎng)方體和正方體的體積一節(jié)中，還介紹了容積的概念。同時(shí)，按照標(biāo)準(zhǔn)的要求，新增加了探索某些實(shí)物體積的測(cè)量方法。具體內(nèi)容安排如下 ： 2. 本單元教材的編排特點(diǎn)。 （ 1）注意聯(lián)系生活實(shí)際。 本單元非常重視與實(shí)際生活的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在以下幾方面。（ 1）圖形和概念的認(rèn)識(shí)，結(jié)合學(xué)生所熟悉的事物進(jìn)行。如長(zhǎng)方體、正方體特征的認(rèn)識(shí)，安排了讓學(xué)生說(shuō)出紙巾盒、數(shù)學(xué)課本、粉筆盒等的形狀、長(zhǎng) 、寬、高等練習(xí)。（ 2）注意用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。本單元在各部分知識(shí)的學(xué)習(xí)中，都注意學(xué)以致用。如在長(zhǎng)方體、正方體認(rèn)識(shí)時(shí)，安排了計(jì)算俱樂(lè)部四周要安多長(zhǎng)的彩燈線等練習(xí)；在學(xué)習(xí)表面積時(shí)，安排了大量的根據(jù)具體情況計(jì)算物體表面積的內(nèi)容。（ 3）選取具有鮮明時(shí)代特征的素材。如計(jì)算拼插奧運(yùn)墻所用積木的體積，為 “ 神舟五號(hào) ” 載人航天飛船返回艙的容積選取合適的容積單位等。即鞏固了所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，又激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感。 （ 2）更加重視對(duì)概念的理解。 體積對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)新概念，物體占有一定的空間對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)理解有 一定的困難。為此，教材先通過(guò)學(xué)生熟悉的 “ 烏鴉喝水 ” 的故事，以形象、生動(dòng)的方式，讓學(xué)生初步感知物體占有空間。然后通過(guò)把石頭放入有水的玻璃杯里的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)物體確實(shí)占有空間，為引出體積概念做充分的感知準(zhǔn)備。在學(xué)習(xí)容積時(shí)，計(jì)算不規(guī)則物體的體積，讓學(xué)生利用已建立的體積概念想到可以用排水法求得不規(guī)則物體的體積，加深對(duì)體積概念的認(rèn)識(shí)。 （ 3）加強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。 本單元一些概念和計(jì)算方法都是通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作、自主探索來(lái)學(xué)習(xí)的。如，體積單位，就是通過(guò)讓學(xué)生回顧舊知、 遷移類推引出來(lái)的。教材通過(guò)比較兩個(gè)不容易看出大小的長(zhǎng)方體的體積，讓學(xué)生由比較物體的長(zhǎng)度有統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位，比較物體的面積有統(tǒng)一的面積單位，想到比較物體的體積應(yīng)有統(tǒng)一的體積單位，由此引出體積單位。又如，長(zhǎng)方體體積的計(jì)算方法，先讓學(xué)生用 1 cm3 的正方體拼擺出不同的長(zhǎng)方體，通過(guò)對(duì)這些長(zhǎng)方體的相關(guān)數(shù)據(jù)的觀察、分析和歸納，自己發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積與它的長(zhǎng)、寬、高之間的內(nèi)在關(guān)系，從而總結(jié)出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式。 （ 4）對(duì)一些內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整。 這部分教材根據(jù)以往教學(xué)實(shí)踐的情況，對(duì)一些內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整。如長(zhǎng)方體、 正方體的引出，直接從實(shí)物中抽象出相應(yīng)的圖形，不再?gòu)呐c平面圖形的對(duì)比中引出。再如，由于體積和表面積等概念注意從各方面來(lái)進(jìn)行認(rèn)識(shí)，所以體積和表面積不再安排例題