圓形的圓心和半徑的設(shè)計模型說明書.doc

數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院數(shù)學(xué)建模論文課 程 名 稱: 數(shù)學(xué)認識與實踐 課 程 代 碼: 7304429 題 目:圓的位置與半徑大小的設(shè)計 年級/專業(yè)/班: 09級信息與計算科學(xué)2班 學(xué) 生 姓 名: 何松 學(xué) 號: 312009070102224 開 始 時 間: 2012 年 12 月 11 日完 成 時 間: 2012 年 12 月 25 日課程設(shè)計成績：學(xué)習(xí)態(tài)度及平時成績（30）技術(shù)水平與實際能力（20）創(chuàng)新（5）說明書撰寫質(zhì)量（45）總 分（100）指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日1. 摘要本文解決了工廠圓形器件的圓心和半徑的測量問題。針對圓心，我們運用最小二乘法找出出圓的圓心。針對半徑我用每個點到圓心的距離r。然后將r求方差最后解出了r的合理值。2. 問題重述與分析某工件為圓形, 半徑為, 超出此范圍即為次品. 測量儀器自動在每個工件的圓周上測量36個數(shù)據(jù). 假定測量出的二維數(shù)據(jù)是足夠精確的, 要求建立一個合理的檢驗正/次品的模型, 對每個工件的36個數(shù)據(jù)進行計算后給出判斷.工件半徑的誤差主要由制造工藝造成.工件不合格的原因可能是半徑過大或過小(如圖一),或是表面粗糙度過大(如圖二). 圖一 圖二機械制造中對表面粗糙度的定義是無論用何種加工方法加工,在零件表面總會留下微細的凸凹不平的刀痕,出現(xiàn)交錯起伏的峰谷現(xiàn)象,粗加工后的表面用肉眼就能看到,精加工后的表面用放大鏡或顯微鏡仍能觀察到.這就是零件加工后的表面粗糙度.國家規(guī)定表面粗糙度的參數(shù)由高度參數(shù)、間距參數(shù)和綜合參數(shù)組成,其中高度參數(shù)有三個：輪廓的平均算術(shù)偏差（Ra）,不平度平均高度（Rz）,輪廓最大高度Ry.如無特殊要求,一般僅選用高度參數(shù).推薦優(yōu)先選用Ra值,因為Ra能充分反映零件表面輪廓的特征.此值較大,工業(yè)上認為Ra大于6.3m時,表面粗糙.但為了簡化模型, 忽略表面粗糙度對本題的影響.假設(shè)所給數(shù)據(jù)相鄰兩點之間的輪廓曲線以這兩點為極點.因此在分析中只針對給出的點作判定,而對在點與點連線過程中有可能出現(xiàn)的超出范圍的情況不作考慮.如果工件合格,那么可以找到一個點P（稱之為近似圓心）,使工件的圓周上的36個數(shù)據(jù)滿足：36個點都在以近似圓心、半徑滿足大于9.9且小10.1的圓環(huán)上。從相反的角度考慮,如果這36個點都在一個圓環(huán)上,那么分別以這36個點為圓心、內(nèi)外半徑分別為9.9和10.1的所有圓環(huán)域的交集,便是滿足條件的近似圓心的可行域。3. 模型假設(shè)（1） 假設(shè)圓形表面粗超程度一樣。（2） 假設(shè)所給數(shù)據(jù)相鄰兩點之間的輪廓曲線以這兩點為極點。（3） 假設(shè)每個工件的這36個點具有代表性。4. 符號說明：表示工件的序號；：表示工件上點的序號；：表示第個工件上的第個點的橫坐標(biāo)；：表示第個工件上的第個點的縱坐標(biāo)；：表示第個工件的半徑；：表示第個工件上的第個點5. 模型一的建立5.1 已知條件幾何化對每一個工件，得到了其圓周上的36個測量數(shù)據(jù)，這反映到二維的平面直角坐標(biāo)系中是36個離散的點。如果這36個點具有代表性(即根據(jù)這些點建立模型后算出該工件滿足要求則工件就一定合格，不滿足要求就一定不合格)的話，那么這些點應(yīng)近似分布在一個半徑滿足圓環(huán)上。進一步求得該圓環(huán)的圓心，就可以根據(jù)平面上兩點間的距離公式計算36個工件圓周上的點與該圓心的距離。顯然，由圓的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)這些距離都滿足時，工件為正品。5.2 求圓形工件的圓心由于已知數(shù)據(jù)點有限，不易找到工件的圓心，于是想找到一個域使這個域一定能包含工件的圓心。然后取極小的步長遍歷該域，并進行上述運算，則一定不會疏漏計算圓心R與圓周上的點D 距離的計算。由于工藝上的原因，36個點不可能全部在一個精確的半徑為10的圓周上。準確的說，合格的工件其36個數(shù)據(jù)點應(yīng)被包括在某一個半徑為的圓環(huán)中。因此，希望先找到這個圓環(huán)的圓心可能所在的一個區(qū)域(對第個工件的這樣一個域記為)再進行后續(xù)計算。編寫一個C+程序，根據(jù)第個工件的36組數(shù)據(jù)找到了一個矩形區(qū)域，使這個區(qū)域包含圓形工件的圓心區(qū)域，而由于正品工件的半徑范圍在(9.9-10.1)內(nèi)，對某一個工件的36個點分別找出橫坐標(biāo)最大和最小的點，然后將它們的橫坐標(biāo)的值分別減去和加上10.1，則得到了圓心橫坐標(biāo)的最小值和最大值，從而確定了圓心橫坐標(biāo)的范圍。同理，可以確定圓心縱坐標(biāo)的范圍。這樣找到了矩形區(qū)域。5.3 工件的檢測在這一步中，采用找出工件圓心計算距離的方法。從矩形區(qū)域的某一個頂點開始，取極小的步長(取為0005，即工件半徑精度的120)遍歷該矩形區(qū)域中的所有點，同時計算所給36個數(shù)據(jù)點與該點的距離。如果對中的某一個點Q，使得題給的一組(36個)點到該點的距離均在范圍內(nèi)，則可以認為這36個點是分布在以該點為圓心為半徑的圓周上，從而判斷這一個工件是合格的；否則該工件不合格。6. 模型二的建立根據(jù)所給的36個點的坐標(biāo)，運用最小二乘法找出出圓的圓心，再根據(jù)所給的點到圓心的距離是否在范圍內(nèi)來檢驗工件的合格與不合格。7. 模型一的求解通過C+編程，得到結(jié)果如下：由第一個工件和第四個工件的數(shù)據(jù)可以分別得到它們的圓心，它們分別到各自的數(shù)據(jù)點的距離都滿足在(9.9-10.1)內(nèi)、即符合正品的標(biāo)準，因此這兩個工件為正品。其他三個工件因為不存在這樣的圓心，使得它到數(shù)據(jù)點的距離均在(9.9-10.1)內(nèi)，故它們?yōu)榇纹?。運用MATLAB畫出這五個工件的圖形如下：8. 模型二的求解運用最小二乘法，通過編寫C+源程序，得到如下運行結(jié)果：工件序號圓心1（21.3672，34.6493）2（-42.2042，17.8882）3（-24.7255，1.98809）4（3.84515，-37.1723）5（17.3593，6.0932）9. 模型評價與改進本模型正確處理了，變相求圓心和半徑的問題。模型的解答結(jié)果基本上滿足工廠對器件的測量的需求。但是測量結(jié)果還不夠精確，此問題有待改進10. 參考文獻1 齊行行，米琦，葉穎樑 圓形工件正次品的檢驗?zāi)Ｐ?onlineread/onlineread.asp?ID=94760762009.5.92 I論文報告中心 工件檢測模型/list_paper_content.php?id=307522009.5.911. 附錄附錄一（模型一的求解C+代碼）#include #include#include#include#includeusing namespace std;struct pointpoint (double dx=0,double dy=0):x(dx),y(dy)int x,y;int main()point p100;ifstream cin(a.txt);double minx,maxx,miny,maxy;for(int i=0;ipi.xpi.y;minx=p0.x; maxx=p0.x;miny=p0.y;maxy=p0.y;for(int j=0;j36;j+)if(pj.xmaxx) maxx=pj.x;if(pj.ymaxy) maxy=pj.y;int a=1;for(double x=(maxx-10.1);x=(minx+10.1);x+=0.005)for(double y=(maxy-10.1);y=(miny+10.1);y+=0.005)for(int e=0;e36;e+)double c;c=sqrt(pe.x-x)*(pe.x-x)+(pe.y-y)*(pe.y-y);if (c=9.9)continue;else a=a*0 ;break; if (a=0)break;if (a=0)break;if (a=0)break;cout(a=0?YES:NO)endl;附錄二2（模型二最小二乘法的C+源程序）#include #include#include#include#includeusing namespace std;struct pointdouble x,y;point (double dx=0,double dy=0):x(dx),y(dy)p100;int m_nNum=36;double m_fCenterX,m_fCenterY,m_fRadius;void LeastSquaresFitting() if (m_nNum3) return; int i=0; double X1=0; double Y1=0; double X2=0; double Y2=0; double X3=0; double Y3=0; double X1Y1=0; double X1Y2=0; double X2Y1=0; for (i=0;im_nNum;i+) X1 = X1 + pi.x; Y1 = Y1 + pi.y; X2 = X2 + pi.x*pi.x; Y2 = Y2 + pi.y*pi.y; X3 = X3 + pi.x*pi.x*pi.x; Y3 = Y3 + pi.y*pi.y*pi.y; X1Y1 = X1Y1 + pi.x*pi.y; X1Y2 = X1Y2 + pi.x*pi.y*pi.y; X2Y1 = X2Y1 + pi.x*pi.x*pi.y; double C,D,E,G,H,N; double a,b,c; N = m_nNum; C = N*X2 - X1*X1; D = N*X1Y1 - X1*Y1; E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1; G = N*Y2 - Y1*Y1; H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1; a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D); b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C); c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N; double A,B,R; A = a/(-2); B = b/(-2); R = sqrt(a*