[初中數(shù)學(xué)]平方差公式教案2-北師大版.doc

平方差公式教案21.7.1 平方差公式(一)教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程.2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.(二)能力訓(xùn)練要求1.在探索平方差公式的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力.2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力.(三)情感與價(jià)值觀要求在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表達(dá)，從而體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)捷美.教學(xué)重點(diǎn)平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式.教學(xué)方法探究與講練相結(jié)合.使學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并運(yùn)用自己的語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，用符號(hào)證明這個(gè)規(guī)律，并探索出平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中學(xué)會(huì)應(yīng)用.教具準(zhǔn)備投影片四張第一張：做一做，記作(1.7.1 A)第二張：例1，記作(1.7.1 B)第三張：例2，記作(1.7.1 C)第四張：練一練，記作(1.7.1 D)教學(xué)過(guò)程.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎？(1)20011999；(2)9921生可以.在(1)中20011999=(2000+1)(20001)=200022000+200011=2000212=40000001=3999999,在(2)中9921=(1001)21=(1001)(1001)1=1002100100+11=10000200=9800.師很好！我們利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，將(1)(2)中的2001，1999，99化成為整千整百的運(yùn)算，從而使運(yùn)算很簡(jiǎn)便.我們不妨觀察第(1)題，2001和1999，一個(gè)比2000大1，于是可寫(xiě)成2000與1的和，一個(gè)比2000小1，于是可寫(xiě)成2000與1的差，所以20011999就是2000與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積，即(2000+1)(20001)；再觀察利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則算出來(lái)的結(jié)果為：2000212，恰為這兩個(gè)數(shù)2000與1的平方差.即(2000+1)(20001)=2000212.那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有類似的結(jié)果呢？我們不妨看下面的做一做.使學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中，通過(guò)觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語(yǔ)言和符號(hào)表示其規(guī)律師出示投影片(1.7.1 A)做一做：計(jì)算下列各題：(1)(x+2)(x2);(2)(1+3a)(13a);(3)(x+5y)(x5y);(4)(y+3z)(y3z).觀察以上算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？生上面四個(gè)算式都是多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法.生上面四個(gè)算式每個(gè)因式都是兩項(xiàng).生除上面兩個(gè)同學(xué)說(shuō)的以外，更重要的是：它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如：算式(1)是“x”與“2”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式(2)是“1”與“3a”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式(3)是“x”與“5y”的和與差的積；算式(4)是“y”與“3z”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積.師我們觀察出了算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).像這樣的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，它們的結(jié)果如何呢？只要你肯動(dòng)筆、動(dòng)腦，相信你一定會(huì)探尋到答案.生解：(1)(x+2)(x2)=x22x+2x4=x24；(2)(1+3a)(13a)=13a+3a9a2=19a2；(3)(x+5y)(x5y)=x25xy+5xy25y2=x225y2；(4)(y+3z)(y3z)=y23yz+3zy9z2=y29z2(如有必要的話可以讓學(xué)生利用乘法分配律將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，進(jìn)一步體會(huì)乘法分配律的重要作用以及轉(zhuǎn)化的思想)生從剛才這位同學(xué)的運(yùn)算，我發(fā)現(xiàn)：即兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這和我們前面的一個(gè)簡(jiǎn)便運(yùn)算得出同樣的結(jié)果.即師你還能舉兩個(gè)例子驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)嗎？生可以.例如：(1)10199=(100+1)(1001)=1002100+10012=100212=100001=9999；(2)(x+y)(xy)=(x)(x)+xyxyy2=(x)2y2=x2y2.即上面兩個(gè)例子，同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與差的積，等于它們的平方差.師為什么會(huì)有這樣的特點(diǎn)呢？生因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則展開(kāi)后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)且系數(shù)互為相反數(shù)，所以相加后為零.只剩下這個(gè)數(shù)的平方差.師很好！你能用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明嗎？生可以.上述規(guī)律用符號(hào)表示為：(a+b)(ab)=a2b2其中a,b可以表示任意的數(shù)，也可以表示代表數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則可以對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明，即(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2師同學(xué)們確實(shí)不簡(jiǎn)單用符號(hào)表示和證明我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡(jiǎn)捷明快.你能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(ab)=a2b2起一個(gè)名字嗎？能形象直觀地反映出此規(guī)律的.生我們可以把(a+b)(ab)=a2b2叫做平方差公式.師大家同意嗎？生同意.師好了！這節(jié)課我們主要就是學(xué)習(xí)討論這個(gè)公式的.你能用語(yǔ)言描述這個(gè)公式嗎？生可以.這個(gè)公式表示兩數(shù)和與差的積，等于它們的平方差.師平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式.用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)才能利用它進(jìn)行運(yùn)算.體會(huì)平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項(xiàng)式乘法運(yùn)算帶來(lái)的方便，進(jìn)一步熟悉平方差公式.出示投影片(1.7.1 B)例1(1)下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是( )A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(ba)C.(a+b)(ab)D.(x2y)(x+y2)E.(ab)(ab)F.(c2d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式計(jì)算：(5+6x)(56x);(x2y)(x+2y);(m+n)(mn).生(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因?yàn)锽.(a+b)(ba)利用加法交換律可得(a+b)(ba)=(b+a)(ba),表示b與a這兩個(gè)數(shù)的和與差的積，符合平方差公式的特點(diǎn)；E.(ab)(ab),同樣可利用加法交換律得(ab)(ab)=(ba)(b+a),表示b與a這兩個(gè)數(shù)和與差的積，也符合平方差公式的特點(diǎn)；F.(c2d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2d2)，表示c2與d2這兩個(gè)數(shù)和與差的積，同樣符合平方差公式的特點(diǎn).師為什么A、C、D不能用平方差公式呢？生A、C、D表示的不是兩個(gè)數(shù)的和與差的積的形式.師下面我們就來(lái)做第(2)題，首先分析它們分別是哪兩個(gè)數(shù)和與差的積的形式.生(5+6x)(56x)是5與6x這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(x2y)(x+2y)是x與2y這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(m+n)(mn)是m與n這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式.師很好！下面我們就來(lái)用平方差公式計(jì)算上面各式.生(5+6x)(56x)=52(6x)2=2536x2;(x2y)(x+2y)=x2(2y)2=x24y2;(m+n)(mn)=(m)2n2=m2n2.師這位同學(xué)的思路非常清楚.下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例題.出示投影片(記作1.7.1 C)例2利用平方差公式計(jì)算：(1)(xy)(x+y);(2)(ab+8)(ab8);(3)(m+n)(mn)+3n2.師同學(xué)們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示.然后再派一位同學(xué)講評(píng).生解：(1)(xy)(x+y)(x)與y的和與差的積=(x)2y2利用平方差公式得(x)與y的平方差=x2y2運(yùn)算至最后結(jié)果(2)(ab+8)(ab8)ab與8的和與差的積=(ab)282利用平方差公式得ab與8的平方差=a2b264運(yùn)算至最后結(jié)果(3)(m+n)(mn)+3n2據(jù)運(yùn)算順序先計(jì)算m與n的和與差的積=(m2n2)+3n2利用平方差公式=m2n2+3n2去括號(hào)=m2+2n2合并同類項(xiàng)至最簡(jiǎn)結(jié)果生剛才這位同學(xué)的運(yùn)算有條有理，有根有據(jù)，我覺(jué)得利用平方差公式計(jì)算必須注意以下幾點(diǎn)：(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式.(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.(3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過(guò)加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.生還需注意最后的結(jié)果必須最簡(jiǎn).師同學(xué)們總結(jié)的很好！下面我們?cè)賮?lái)練習(xí)一組題.投影片(1.7.1 D)1.計(jì)算：(1)(a+2)(a2);(2)(3a+2b)(3a2b);(3)(x+1)(x1);(4)(4k+3)(4k3).2.把下圖左框里的整式分別乘(a+b),所得的積寫(xiě)在右框相應(yīng)的位置上.解：1.(1)(a+2)(a2)=a222=a24;(2)(3a+2b)(3a2b)=(3a)2(2b)2=9a24b2;(3)(x+1)(x1)=(x)212=x21;(4)(4k+3)(4k3)=(4k)232=16k29.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(ab)(a+b)=a2b2;(a+b)(a+b)=(b+a)(ba)=b2a2;(ab)(a+b)=a(a+b)b(a+b)=a2ababb2=a22abb2(教師在讓學(xué)生做練習(xí)，可巡視練習(xí)的情況，對(duì)確實(shí)有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo)).課時(shí)小結(jié)師同學(xué)們有何體會(huì)和收獲呢？生今天我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中的一個(gè)重要公式平方差公式即(a+b)(ab)=a2b2.生應(yīng)用這個(gè)公式要明白公式的特征：(1)左邊為兩個(gè)數(shù)的和與差的積；(2)右邊為兩個(gè)數(shù)的平方差.生公式中的a、b可以是數(shù)，也可以是代表數(shù)的整式.生有些式子表面上不能用公式，但通過(guò)適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能用公式.師同學(xué)們總結(jié)的很好！還記得剛上課的一個(gè)問(wèn)題嗎？計(jì)算9921，現(xiàn)在想一想，能使它運(yùn)算更簡(jiǎn)便嗎？生可以.9921可以看成99與1的平方差，從右往左用平方差公式可得：9921=99212=(99+1)(991)=10098=9800.師我們發(fā)現(xiàn)平方差公式的應(yīng)用是很靈活的，只要你準(zhǔn)確地把握它的結(jié)構(gòu)特征，一定能使你的運(yùn)算簡(jiǎn)捷明了.課后作業(yè)課本P30，習(xí)題1.11，第1題.活動(dòng)與探究有10位乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽(每?jī)扇碎g均賽一場(chǎng))，用x1,y1順次表示第1號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，用x2,y2順次表示第2號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，用x10,y10順次表示第10號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù).則10名選手勝的場(chǎng)數(shù)的平方和與他們負(fù)的場(chǎng)數(shù)的平方和相等，即x12+x22+x102=y12+y22+y102,為什么？經(jīng)過(guò)：由于是單循環(huán)賽，每名運(yùn)動(dòng)員恰好參加9局比賽，即xi+yi=9(其中i=1、2、3、10)，在比賽中一人勝了，另一人自然敗了，則x1+x2+x10=y1+y2+y10,這兩個(gè)隱含條件是解題的關(guān)鍵，從作差比較入手.結(jié)果由題意知xi+yi=9(i=1、2、3、10)且x1+x2+x10=y1+y2+y10(x12+x22+x102)(y12+y22+y102)=(x12y12)+(x22y22)+(x102y102)=(x1+y1)(x1y1)+(x2+y2)(x2y2)+(x10+y10)(x10y10)=9(x1y1)+(x2y2)+(x3y3)+(x10y10)=9(x1+x2+x10)(y1+y2+y10)=0所以，x12+x22+x102=y12+y22+y102.板書(shū)設(shè)計(jì)1.7.1 平方差公式(一)做一做解：(1)(x+2)(x2)=x22x+2x4=x24;(2)(1+3a)(13a)=13a+3a9a2=19a2;(3)(x+5y)(x5y)=x25xy+5xy25y2=x225y2;(4)(y+3z)(y3z)=y23yz+3zy9z2=y29z2.歸納、猜想規(guī)律(a+b)(ab)=a2b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.用符號(hào)運(yùn)算證明(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2.應(yīng)用、升華例1.(抓住平方差公式的特征，準(zhǔn)確地利用平方差公式計(jì)算)例2.(對(duì)公式中a、b含義的理解，既可以是具體的數(shù)也可以是整數(shù))隨堂練習(xí)(熟悉平方差公式).備課資料參考例題例1用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)7981 (2)9910110001解：(1)原式=(801)(80+1)=8021=6399;(2)原式=(1001)(100+1)(10000+1)=(100212)(10000+1)=(100001)(10000+1)=10000212=1000000001=99999999.例2計(jì)算：(1)(b2)(b2+4)(b+2)(2)2a2(a+b)(ab)(ca)(a+c)+(c+b)(c+b)分析：(1)題可利用乘法交換律和結(jié)合律，先求(b2)與(b+2)的積，所得結(jié)果再與(b2+4)相乘，可兩次運(yùn)用平方差公式；(2)題根據(jù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，先算括號(hào)里的其中(a+b)(ab),(ca)(a+c),(c+b)(c+b)都可直接運(yùn)用平方差公式計(jì)算.解：(1)(b2)(b2+4)(b+2)=(b2)(b+2)(b2+4)=(b24)(b2+4)=(b2)242=b416(2)2a2(a+b)(ab)(ca)(a+c)+(c+b)(c+b)=2a2(a2b2)(c+a)(ca)+(bc)(b+c)=2a2a2+b2c2a2+b2c2=(a2+b2)(b2a2)=(b2)2(a2)2=b4a4例3計(jì)算：(1)(+y)(+y)(2)(a+bc)(ab+c)(3)(x+3y)2