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課時作業(yè)62圓錐曲線中的最值、范圍與定值、定點(diǎn)問題1已知橢圓c過點(diǎn)m,點(diǎn)f(,0)是橢圓的左焦點(diǎn),點(diǎn)p,q是橢圓c上的兩個動點(diǎn),且|pf|,|mf|,|qf|成等差數(shù)列(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:線段pq的垂直平分線經(jīng)過一個定點(diǎn)a.解:(1)設(shè)橢圓c的方程為1(ab0),由已知,得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明:設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,可知|pf|2x1,同理|qf|2x2,|mf|2,2|mf|pf|qf|,24(x1x2),x1x22.()當(dāng)x1x2時,由得xx2(yy)0,.設(shè)線段pq的中點(diǎn)為n(1,n),由kpq,得線段pq的中垂線方程為yn2n(x1),(2x1)ny0,該直線恒過一定點(diǎn)a.()當(dāng)x1x2時,p,q或p,q,線段pq的中垂線是x軸,也過點(diǎn)a.綜上,線段pq的中垂線過定點(diǎn)a.2已知橢圓1(ab0)的離心率為,且過點(diǎn)(2,)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)四邊形abcd的頂點(diǎn)在橢圓上,且對角線ac,bd過原點(diǎn)o,若kackbd.求證:四邊形abcd的面積為定值解:(1)由題意e,1,又a2b2c2,解得a28,b24,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明:設(shè)直線ab的方程為ykxm,a(x1,y1),b(x2,y2),聯(lián)立得(12k2)x24kmx2m280,(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,由根與系數(shù)的關(guān)系得kackbd,y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2,(m24)m28k2,4k22m2.設(shè)原點(diǎn)到直線ab的距離為d,則saob|ab|d|x2x1|2,s四邊形abcd4saob8,即四邊形abcd的面積為定值3在平面直角坐標(biāo)系xoy中,動點(diǎn)p到兩點(diǎn)(,0),(,0)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)p的軌跡為曲線c,直線l過點(diǎn)e(1,0)且與曲線c交于a,b兩點(diǎn)(1)求曲線c的軌跡方程;(2)aob的面積是否存在最大值,若存在,求出aob的面積的最大值;若不存在,說明理由解:(1)由橢圓定義可知,點(diǎn)p的軌跡c是以(,0),(,0)為焦點(diǎn),長半軸長為2的橢圓故曲線c的軌跡方程為y21.(2)aob的面積存在最大值因為直線l過點(diǎn)e(1,0),所以可設(shè)直線l的方程為xmy1或y0(舍)由整理得(m24)y22my30,(2m)212(m24)0.設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),其中y1y2.解得y1,y2.則|y2y1|.因為saob|oe|y1y2|.設(shè)t,t,g(t)t,則g(t)1,故當(dāng)t時,g(t)0恒成立,則g(t)在區(qū)間,)上為增函數(shù),所以g(t)g().所以saob,當(dāng)且僅當(dāng)m0時取等號所以saob的最大值為.1(2014新課標(biāo)全國卷)已知點(diǎn)a(0,2),橢圓e:1(ab0)的離心率為,f是橢圓e的右焦點(diǎn),直線af的斜率為,o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求e的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)a的動直線l與e相交于p,q兩點(diǎn),當(dāng)opq的面積最大時,求l的方程解:(1)設(shè)f(c,0),由條件知,得c.又,所以a2,b2a2c21.故e的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時不合題意,故設(shè)l:ykx2,p(x1,y1),q(x2,y2)將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)0,即k2時,x1,2.從而|pq|x1x2|.又點(diǎn)o到直線pq的距離d.所以opq的面積sopqd|pq|.設(shè)t,則t0,sopq.因為t4,當(dāng)且僅當(dāng)t2,即k時等號成立,且滿足0.所以,當(dāng)opq的面積最大時,l的方程為yx2或yx2.2已知橢圓1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)m(,1),離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)已知點(diǎn)p(,0),若a,b為已知橢圓上兩動點(diǎn),且滿足2,試問直線ab是否恒過定點(diǎn)?若恒過定點(diǎn),請給出證明,并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過,請說明理由解:(1)由題意得,因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)m(,1),所以1.又a2b2c2,由,解得a28,b2c24.所以橢圓方程為1.(2)當(dāng)直線ab與x軸不垂直時,設(shè)直線的方程為ykxm,代入1,消去y整理得(2k21)x24kmx2m280.由0,得8k24m20,(*)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1x2,x1x2.所以(x1)(x2)y1y2(x1)(x2)(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2(km)(x1x2)6m22,得(k21)x1x2(km)(x1x2)8m20,(k21)(km)8
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