高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示 2.3.2-2.3.3 知識巧解學(xué)案 新人教A版必修4.doc

2.3.2 平面向量的坐標表示及運算2.3.3 平面向量共線的坐標表示皰工巧解牛知識巧學(xué)一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我們選定平面中的一組不共線向量作為基底，則這個平面內(nèi)的任意一向量都可用這組基底唯一表示.在解決實際問題時，往往根據(jù)需要，人為地選定一組基底來表示相關(guān)的量.如圖2-3-11，abc中，d、e分別是邊、的中點.圖2-3-11求證：debc.證明：先選定一組基底，設(shè)=a，=b，則=b-a.又=a，=b，=-=ba= (b-a).=2，即abc中，debc.學(xué)法一得 利用平面向量的基本定理證明向量共線的過程是：先選好一組基底，用該基底把相關(guān)的向量表示出來，再根據(jù)兩向量共線的條件，確定唯一的實數(shù)，證得兩向量共線，其實質(zhì)是判定出兩向量的方向與模的關(guān)系.2.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此時，這兩個互相垂直的基底為正交基底.二、正交分解下向量的坐標1.向量的坐標表示 在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，任作一個向量a.由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)(x，y)，使得a=xi+yj.由于向量a與有序?qū)崝?shù)對(x，y)是一一對應(yīng)的，因此，我們就把(x，y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a=(x，y),其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，a=(x，y)叫做向量的坐標表示.顯然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).圖2-3-12設(shè)向量a=(x，y)，a方向相對于x軸正方向的旋轉(zhuǎn)角為.由三角函數(shù)的定義可知：x=|a|cos，y=|a|sin，即向量a的坐標由它的模和方向唯一確定，與它的位置無關(guān).2.向量坐標的唯一性 在直角坐標平面內(nèi)，以原點o為起點作=a，則點a的位置由a唯一確定. 設(shè)=xi+yj，則向量的坐標(x，y)就是點a的坐標；反過來，點a的坐標(x，y)也就是向量的坐標.圖2-3-13 如圖2-3-13所示，=a，向量的坐標怎樣表示?由向量相等的定義可知，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以任意平行移動的，這就是我們常說的自由向量.向量在移動的過程中，其坐標是不變的，此時向量的坐標等于的坐標，即相等向量的坐標相同.3.一一對應(yīng)原理 任何一個平面向量都有唯一的坐標表示，但是每一個坐標表示的向量卻不一定是唯一的，也就是說，向量的坐標表示和向量不是一一對應(yīng)的關(guān)系，但和起點為坐標原點的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系. 由此可見，在全體有序?qū)崝?shù)對與坐標平面內(nèi)的所有向量之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.因此在直角坐標系中，點或向量都可以看作有序?qū)崝?shù)對的直觀形象.學(xué)法一得 平面向量的坐標表示是平面向量基本定理的具體運用，其關(guān)鍵是在直角坐標系的兩坐標軸上取與正方向一致的兩個單位向量作為基底，用該基底把平面直角坐標系中的某一向量表示出來.由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面內(nèi)任一向量所對應(yīng)的坐標，與把該向量的起點移至原點，終點所對應(yīng)的坐標相等.三、向量的坐標運算1.加法運算 對于向量的加法除了用向量線性運算的結(jié)合律和分配律去證明外，還可用幾何作圖的方法予以證明.設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.圖2-3-14 如圖2-3-14所示，=a，=b，以a、b為鄰邊作平行四邊形，則=a+b. 作bbx軸，垂足為b，aax軸，垂足為a，cdx軸，垂足為d，accd，垂足為c. 從作圖過程可知rtbbortcca.所以ob=ac=ad，bb=cc. 所以c點的坐標為xc=oa+ad=x1+x2，yc=cd+cc=y1+y2， 即=(x1+x2，y1+y2)，也就是a+b=(x1+x2，y1+y2). 也就是說：兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和. 上述結(jié)論對于三個或三個以上向量加法仍然成立.2.減法運算 由向量線性運算的結(jié)合律和分配律，可得a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j，即a-b=(x1-x2，y1-y2)，也就是說：兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差. 類似于向量的加法運算，也可以通過作圖驗證減法的坐標運算規(guī)則.3.實數(shù)與向量積的坐標 如圖2-3-15，已知=a，=a，不妨設(shè)0，作aax軸，bbx軸，垂足分別為a、b.圖2-3-15由aoabob，.由，oa=x，aa=y，得ob=x，bb=y，即=(x，y)，即a=(x，y).同理可證當0時，結(jié)論也成立；當=0時，a=0，結(jié)論顯然也成立.綜上所述，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標.學(xué)法一得 當0時，a所對應(yīng)的坐標可看作把a的坐標伸長(1)或縮短(01)到原來的倍而得到；當0時，可看作把a的相反向量的坐標伸長(-1)或縮短(-10)到原來的-倍而得到.典題熱題知識點一 利用圖形間的關(guān)系求坐標例1 在平面內(nèi)以點o的正東方向為x軸正向，正北方向為y軸的正向建立直角坐標系.質(zhì)點在平面內(nèi)作直線運動，分別求下列位移向量的坐標.(1)向量a表示沿東北方向移動了2個長度單位；(2)向量b表示沿北偏西30方向移動了3個長度單位；(3)向量c表示沿南偏東60方向移動了4個長度單位.解：設(shè)=a，=b，=c，并設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，r(x3，y3).圖2-3-16(1)如圖2-3-16,可知pop=45，|=2，所以a=i+j,所以a=(，).(2)因為qoq=60，|=3，所以b=+=i+j，所以b=(，).(3)因為ror=30，|=4，所以c=+=i-2j.所以c=(，-2).方法歸納 求解向量坐標時，常用到解直角三角形的知識或任意角的三角函數(shù)的定義.構(gòu)造直角三角形是學(xué)習(xí)過程中常用到的一種解題手段.知識點二 向量的坐標運算例2 已知點o(0，0)，a(1，2)，b(4，5)及=+.求：(1)t為何值時，點p在x軸上?p在y軸上?p在第二象限?(2)四邊形oabp能成為平行四邊形嗎?若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由.解：(1)=+=(1+3t，2+3t).若p在x軸上，只需2+3t=0，即t=；若p在y軸上，只需1+3t=0，即t=；若p在第二象限，則需解得-t-.(2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t).若四邊形oabp為平行四邊形，需=.于是無解，故四邊形oabp不能成為平行四邊形.巧解提示:向量的坐標表示為用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁.向量的坐標表示實際是向量的代數(shù)表示，使向量的運算完全代數(shù)化，為幾何問題的解決又提供了一種嶄新的方法.知識點三 求向量坐標例3 已知a(0，0)，b(，)，c(，)，則下列計算正確的是( )a.向量的坐標為(，) b.向量的坐標為(0，)c.向量的坐標為(，) d.向量+的坐標為(0，)思路分析：利用“向量的坐標=終點坐標-起點坐標”直接得到結(jié)果.=(，)-(0，0)=(，)，=(，)-(，-)=(-1，1)，=(0，0)-(，)=(，)，+=(，)+(，)=(0，).答案：d例4 在直角坐標系xoy中，已知點a(3，2)、b(-2，4)，求向量+的方向和長度.解：如圖2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).圖2-3-17設(shè)=+，則=+=(3，2)+(-2，4)=(1，6).由兩點間距離公式，得|=.設(shè)相對x軸正向的轉(zhuǎn)角為，則tan=6，使用計算器計算得=8032.所以向量+的方向偏離x軸正方向約為8032，長度等于.知識點四 利用向量坐標解綜合題例5 已知a=(6，-4)，b=(0，2)，c=a+b，若c的終點在直線y=x上，求實數(shù)的值.思路分析：此題是向量與直線結(jié)合的問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的等式關(guān)系.圖2-3-18解：如圖2-3-18所示，過a作平行于y軸的直線交直線y=x于c點，則可求得c(6，3)，過c點作直線oa的平行線，交y軸于d點，則四邊形aodc為平行四邊形，易求得|od|=7，所以，即=.巧解提示:設(shè)c=(x，y)，由題設(shè)，可得(x，y)=(6，-4)+(0，2)，即(x，y)=(6，-4+2).c的終點在直線y=x上，-4+2=6.解得=.例6 已知向量u=(x，y)與向量v=(y，2y-x)的對應(yīng)關(guān)系用v=f(u)表示.(1)設(shè)a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐標；(2)證明對于任意向量a、b及常數(shù)m、n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(3)求使f(c)=(p，q)(p，q為常數(shù))的向量c的坐標.思路分析：為應(yīng)用題設(shè)條件，必須將向量用坐標表示，通過坐標進行計算，從而使問題解決.解：(1)f(a)=(1，21-1)=(1，1)；f(b)=(0，20-1)=(0，-1).(2)設(shè)a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，則ma+nb=(ma1+nb1，ma2+nb2)，f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(3)設(shè)c=(x，y)，則f(c)=(y，2y-x)=(p，q)，x=2p-q，即向量c=(2p-q，p).例7 已知任意四邊形abcd中，e、f分別是ad、bc的中點，如圖2-3-19所示.圖2-3-19求證：=(+).思路分析：根據(jù)向量加法的三角形法則或坐標運算法則可以用不同方法證明.證明：建立直角坐標系，a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4).則=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x4，y3-y4)，(+)=().又e()，f()，則=()，=(+).巧解提示:e、f分別是ad、bc的中點，圖2-3-20+=+=0.又=+，=+，兩式相加得2=+，即=(+).問題探究材料信息探究材料：一個力可以分解為平面內(nèi)任意兩個方向上的力.如圖2-3-21：圖2-3-21 拖拉機拉著耙，對耙的拉力是斜向上方的，我們可以說，這個力產(chǎn)生兩個效果：使耙克服泥土的阻力前進，同時把耙向上提，使它不會插得太深.這兩個效果相當于兩個力分別產(chǎn)生的：一個水平的力f1使耙前進，一個豎直向上的力f2把耙上提，即力f可以用兩個力f1和f2來代替，即力f被分解成兩個力f1和f2.問題 能不能將上面的物理知識抽象為數(shù)學(xué)知識？這一數(shù)學(xué)知識有何作用？探究過程:由物理學(xué)知識可知力是矢量，它可以抽象為數(shù)學(xué)中的向量.因此物理學(xué)中力的分解可以抽象為數(shù)學(xué)中一個平面內(nèi)的向量都可以分解為兩個不共線的向量，即平面內(nèi)任意一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，并且這種分解是唯一的，其實質(zhì)就是平面向量基本定理.這一定理是向量坐標表示的理論基礎(chǔ).同時這個定理體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，在用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕谆瘹w，從而導(dǎo)致問題的解決.探究結(jié)論:上面的物理知識可以抽象為數(shù)學(xué)中的平面向量基本定理，該定理是向量坐標化的理論基礎(chǔ)，也是聯(lián)系向量問題與幾何問題的橋梁與紐帶.方案設(shè)計探究 問題 試探究用向量求的值的方法.探究過程:要求可先求cos0+cos+cos+cos+cos +cos+cos的值，由于0、這七個角每相鄰兩個角都相差，則可考慮在直角坐標系中構(gòu)造一個邊長為1的正七邊形oabcdef，且使a點的坐標為(1，0)，則由此可得出、和的坐標，再利用它們的和是零向量及零向量的橫坐標、縱坐標都為零即可求解.探究結(jié)論:如圖2-3-22所示，將邊長為1的正七邊形oabcdef放入直角坐標系中，則圖2-3-22=(1，0)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin).由于+=0，則有cos0+cos+cos+cos+cos+cos+cos=0.又cos=cos，cos=cos，cos=cos，cos0=1，所以有1+2(cos+cos+cos)=0，即cos+cos+cos=.思想方法探究問題 在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常遇到一個點把一條線段分成兩部分，如果已經(jīng)知道了兩個端點的坐標，那么怎樣用兩個端點的坐標來表示這個分點的坐標就成為我們關(guān)心的問題.向量是解決幾何問題的有效工具，能否用向量分析這一問題？探究過程:在數(shù)學(xué)上，我們把分線段成兩部分的點稱為定比分點，假設(shè)點p分有向線段的比為，即=，o為平面上一定點，那么會有+=0，=.事實上，因