函數(shù)的來源與發(fā)展應用.doc

函數(shù)的來源與發(fā)展應用姓名：梁鈺坤 學號：19120112202927指導老師：譚忠一、 函數(shù)的產(chǎn)生 馬克思曾經(jīng)認為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學中不定方程的研究由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽 自哥白尼的天文學革命以后，運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學概念，這是函數(shù)概念的力學來源十六、十七世紀，歐洲資本主義國家先后興起，為了爭奪霸權(quán)，迫切需要發(fā)展航海和軍火工業(yè)。為了發(fā)展航海事業(yè)，就需要確定船只在大海中的位置，在地球上的經(jīng)緯度；要打仗，也需知道如何使炮彈打的準確無誤等問題， 這就促使了人們對各種“運動”的研究，對各種運動中的數(shù)量關(guān)系進行研究，這就為函數(shù)概念的產(chǎn)生提供了客觀實際需要的基礎(chǔ)。二、 函數(shù)的發(fā)展歷程1.早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)十七世紀伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門新科學一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，15961650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系，但因當時尚未意識到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的。 1673年，萊布尼茲首次使用“function”（函數(shù)）表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關(guān)系。2.十八世紀函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”他的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強調(diào)函數(shù)要用公式來表示。1755，歐拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。”18世紀中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)給出了定義：“一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式?！彼鸭s翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。3.十九世紀函數(shù)概念對應關(guān)系下的函數(shù)1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。1822年傅里葉（Fourier，法國，17681830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新層次。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”這個定義避免了函數(shù)定義中對依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學家接受。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托(Cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念把函數(shù)的對應關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象。4.現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”三、函數(shù)理論1、定義：函數(shù)（function）表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關(guān)系。函數(shù)f中對應輸入值的輸出值x的標準符號為f(x)。包含某個函數(shù)所有的輸入值的集合被稱作這個函數(shù)的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。若先定義映射的概念，可以簡單定義函數(shù)為，定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。2、函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，數(shù)集X包含于D。如果存在數(shù)K1，使得f(x)=K2對任一xX都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在X上的一個下界。如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|=M對任一xX都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無界。函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。3、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I包含于D。如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當x1x2時，恒有f(x1)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當x1f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。4、函數(shù)的奇偶性設(shè)f(x)為一個實變量實值函數(shù)，則f為奇函數(shù)若下列的方程對所有實數(shù)x都成立：f(x) = - f( - x) 或f( -x) = - f(x) 幾何上，一個奇函數(shù)與原點對稱，亦即其圖在繞原點做180度旋轉(zhuǎn)后不會改變。奇函數(shù)的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。設(shè)f(x)為一實變量實值函數(shù)，則f為偶函數(shù)若下列的方程對所有實數(shù)x都成立：f(x) = f( - x) 幾何上，一個偶函數(shù)會對y軸對稱，亦即其圖在對y軸為鏡射后不會改變。偶函數(shù)的例子有|x|、x、x2、cos(x)和cosh(sec)(x)。偶函數(shù)不可能是個雙射映射。5、反函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(xA)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x= f(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= f(y)(yC)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作x=f-1(y).。反函數(shù)y=f-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。6、復合函數(shù)設(shè)y=f(u),u=g(x),當x在u=g(x)的定義域Dg中變化時，u=g(x)的值在y=f(u)的定義域Df內(nèi)變化，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為y=f(u)=fg(x)稱為復合函數(shù)（composite functions)，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量(即函數(shù))7、六類基本初等函數(shù)初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運算和復合所得的函數(shù)稱為初等函數(shù)，否則稱為非初等函數(shù)我們將六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。它們是：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。(1) 常值函數(shù) ， (2) 指數(shù)函數(shù) ， ， (，)函數(shù)的值域是，圖形總經(jīng)過點(0，1)當時， 函數(shù)嚴格單凋上升；（實線）當時，函數(shù)嚴格單調(diào)下降（虛線）與 的圖形關(guān)于軸對稱(見圖2-9)。(3) 對數(shù)函數(shù) ，(，)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，由反函數(shù)性質(zhì)知對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱。對數(shù)函數(shù)的值域是，圖形總經(jīng)過點(1,0)，當時，函數(shù)嚴格單調(diào)上升；當時，函數(shù)嚴格單調(diào)下降與的圖形關(guān)于軸對稱(見圖2-10)。（4） 冪函數(shù) ，其中。冪函數(shù)的定義域根據(jù)值的不同而不同當是有理數(shù)時(其中、是整數(shù)，且、互質(zhì))，其定義域見下表：定義域為奇數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)當是無理數(shù)時，定義為，故定義域為?？梢姴徽?)為何值，冪函數(shù)在總有定義。冪函數(shù)的圖形當時，函數(shù)的圖形在第一象限，總經(jīng)過點(1，1)，當時，函數(shù)嚴格單調(diào)上升；當時，函數(shù)嚴格單調(diào)下降函數(shù)和互為反函數(shù)，圖形關(guān)于直線對稱(見圖2-11和圖2-12)(5) 三角函數(shù)正弦函數(shù) ，；余弦函數(shù) ，；正切函數(shù) ，0，l，2，；余切函數(shù) ，0，1，2，正弦和余弦函數(shù)的周期為，值域為1，1。正切和余切函數(shù)的周期為，值域為，注意，在微積分中，三角函數(shù)的自變量一般總是用弧度。(6) 反三角函數(shù)因為三角函數(shù)不是一一對應的，因此我們只能分別在它們的一個嚴格單調(diào)分支上來討論反函數(shù)反正弦函數(shù) ，1，1，；反余弦函數(shù) ，1，1，；反正切函數(shù) ，；反余切函數(shù) ，反正弦和反正切函數(shù)在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)上升且是奇函數(shù)，而反余弦和反余切函數(shù)在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)下降它們的圖形分別見圖215圖218四、 函數(shù)在當今科學和行業(yè)中的應用例：在經(jīng)濟學中要用到很多的函數(shù)，這里我們分析解決經(jīng)濟問題的一些函數(shù)1、需求函數(shù)一般情況下，一種產(chǎn)品的市場需求量與該產(chǎn)品的價格密切相關(guān) ，產(chǎn)品價格越高，需求量越小。如果我們只考慮價格的變動對需求量的影響，價格以外的其它因素不予考慮，在這種情況下，產(chǎn)品價格與需求量有關(guān)系。需求量可以看成是價格的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，它們的關(guān)系可以記作：.一般來說, 需求函數(shù)為價格的單調(diào)減少函數(shù).常見的需求函數(shù)有以下幾種類型:(1) 線性需求函數(shù) (2) 二次需求函數(shù) (3) 指數(shù)需求函數(shù) 需求函數(shù)的反函數(shù),就是價格函數(shù), 記作：它反映產(chǎn)品的需求與價格的關(guān)系.在需求函數(shù)中最簡單的是線性需求函數(shù).一般形式為： 最大需求量為（當時），最高銷售價為2、供給函數(shù)供給函數(shù)是站在產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的立場上，在其他情況不變的條件下，只考慮銷售價格與供給量之間的關(guān)系。一般情況下，供給量是價格的函數(shù)，一般都假設(shè)供給函數(shù)為線性函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記為：供給函數(shù)為價格的單調(diào)增加函數(shù).常見的供給函數(shù)有線性函數(shù), 二次函數(shù), 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)等.其中線性供給函數(shù)為使某種產(chǎn)品的市場需求量與供給量相等的價格,稱為均衡價格.當市場價格高于均衡價格時, 供給量將增加而需求量相應地減少,這時生產(chǎn)的“供大于求”的現(xiàn)象必然使價格下降; 當市場價格低于均衡價格時, 供給量將減少而需求量增加, 這時會產(chǎn)生“物資短缺”現(xiàn)象,從而又使得價格上升. 市場價格的調(diào)節(jié)就是這樣來實現(xiàn)的.例1 當大米收購價為每千克2.5元時, 某收購站每天能收購3000.若收購價每提高0.1元,則收購量可增加500,求大米的線性供給函數(shù).解 設(shè)雞蛋的線性供給函數(shù)為則有 解得 所求供給函數(shù)為 3、總成本函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù)在生產(chǎn)和產(chǎn)品的經(jīng)營活動中,成本、收入和利潤這些經(jīng)濟變量都都可以看作是產(chǎn)品的產(chǎn)量或銷售量的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)，記為：收入函數(shù)，記為：利潤函數(shù)，記為：總成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本與產(chǎn)量無關(guān)；可變成本隨產(chǎn)量的增加而增加，即 總成本函數(shù)是的單調(diào)增加函數(shù).要評價企業(yè)的生產(chǎn)狀況的好壞情況,需要計算產(chǎn)品的平均成本, 即生產(chǎn)件產(chǎn)品時,單位產(chǎn)品成本平均值, 記作：,則其中 稱為平均可變成本.如產(chǎn)品的單位售價為,銷售量為,則總收入函數(shù)為總利潤等于總收入與總成本的差,于是總利潤函數(shù)為例3 已知某廠生產(chǎn)燈泡的總成本函數(shù)為求當生產(chǎn)10個燈泡時的總成本和平均成本.解 由題意,產(chǎn)量為10個時的總成本為產(chǎn)量為10個時的平均成本為參考書目及網(wǎng)頁：1張志強.期權(quán)理論與公司理財.北京：華夏出版社，20002鄭明川.等期公交易的理論與實務M.杭州：浙江大學出版社，19993王志偉.?？怂菇?jīng)濟思想研究M.北京:北京大學出版社,1996.4閻達五社會會計M.北京:中國財政經(jīng)濟出版社,1989./view/bdccfc868762caaed