（全國通用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（考點引領(lǐng)+技巧點撥）第十章 算法、統(tǒng)計與概率第6課時 幾何概型與互斥事件.doc

最高考系列 高考總復(fù)習(xí)2014屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（考點引領(lǐng)+技巧點撥）第十章算法、統(tǒng)計與概率第6課時幾何概型與互斥事件考情分析考點新知幾何概型往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計算上來，在解決問題時要善于根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化對于比較復(fù)雜的概率問題，可利用其對立事件求解，或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加法公式求解 了解幾何概型的意義，并能正確應(yīng)用幾何概型的概率計算公式解決問題. 了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率. 了解兩個互斥事件的概率加法公式.1. 下列概率模型： 從區(qū)間5，5內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率； 從區(qū)間5，5內(nèi)任取一個數(shù)，求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率； 從區(qū)間5，5內(nèi)任取一個整數(shù)，求取到大于1的數(shù)的概率； 向一個邊長為5 cm的正方形abcd內(nèi)投一點p，求點p離中心不超過1 cm的概率其中，是幾何概型的有_(填序號)答案：解析： 5，5上有無限多個數(shù)，取到“1”這個數(shù)的概率為0，是幾何概型； 5，5和1，1上有無限多個數(shù)可取(無限性)，且在這兩個區(qū)間上每個數(shù)被取到可能性相同(等可能性)，是幾何概型； 5，5上的整數(shù)只有11個，不滿足無限性，故不是幾何概型； 在邊長為5 cm的正方形和半徑為1 cm的圓內(nèi)均有無數(shù)多個點(無限性)，且這兩個區(qū)域內(nèi)的任何一個點都有可能被投到(等可能性)，是幾何概型2. 拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件a為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件b為出現(xiàn)2點，已知p(a)，p(b)，則出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率為_答案：解析：因為事件a與事件b是互斥事件，所以p(ab)p(a)p(b).3. 利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_答案：解析：本題是幾何概型.3a10，即a，所以p.4. (必修3p116習(xí)題4改編)在人民商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下：排隊人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為_答案：0.74解析：p1(0.10.16)0.74.5. 歐陽修賣油翁中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止若銅錢的形狀是直徑為3 cm的圓，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若你隨機向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率是_答案：解析：根據(jù)幾何概型知p.1. 幾何概型的定義對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型2. 概率計算公式在幾何區(qū)域d中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件a，則事件a發(fā)生的概率p(a)3. 不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件4. 如果事件a、b互斥，則事件ab發(fā)生的概率等于事件a、b分別發(fā)生的概率的和，即p(ab)p(a)p(b)5. 一般地，如果事件a1，a2，an兩兩互斥，那么p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)6. 若兩個互斥事件必有1個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件，若事件a的對立事件記作，則p(a)p()1，p()1p(a)備課札記題型1幾何概型例1如圖，aob60，oa2，ob5，在線段ob上任取一點c，試求：(1) aoc為鈍角三角形的概率；(2) aoc為銳角三角形的概率解：如圖，由平面幾何知識：當(dāng)adob時，od1；當(dāng)oaae時，oe4，be1.(1) 當(dāng)且僅當(dāng)點c在線段od或be上時，aoc為鈍角三角形，記“aoc為鈍角三角形”為事件m，則p(m)0.4，即aoc為鈍角三角形的概率為0.4.(2) 當(dāng)且僅當(dāng)點c在線段de上時，aoc為銳角三角，記“aoc為銳角三角”為事件n，則p(n)0.6，即aoc為銳角三角形的概率為0.6.(2013湖南)已知事件“在矩形abcd的邊cd上隨機取一點p，使apb的最大邊是ab”發(fā)生的概率為，則_答案：解析：設(shè)cd4，根據(jù)對稱性，由題中條件知，p的活動范圍為2，即cp(1，3)當(dāng)cp3時，bp4，解得bc. adab4.題型2古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系例2(2013深圳調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)x2bxc，其中b、c是某范圍內(nèi)的隨機數(shù)，分別在下列條件下，求事件a“f(1)5且f(0)3”發(fā)生的概率(1) 若隨機數(shù)b，c1，2，3，4；(2) 已知隨機函數(shù)rand()產(chǎn)生的隨機數(shù)的范圍為x|0x1，b，c是算法語句b4*rand()和c4*rand()的執(zhí)行結(jié)果(注：符號“*”表示“乘號”)解：由f(x)x2bxc知，事件a“f(1)5且f(0)3”，即(1) 因為隨機數(shù)b、c1，2，3，4，所以共等可能地產(chǎn)生16個數(shù)對(b，c)，列舉如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)事件a：包含了其中6個數(shù)對(b，c)，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)所以p(a)，即事件a發(fā)生的概率為.(2) 由題意，b、c均是區(qū)間0，4中的隨機數(shù)，點(b，c)均勻地分布在邊長為4的正方形區(qū)域中(如圖)，其面積s()16.事件a：所對應(yīng)的區(qū)域為如圖所示的梯形(陰影部分)，其面積為s(a)(14)3.所以p(a)，即事件a發(fā)生的概率為.已知關(guān)于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1) 若a、b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；(2) 若a2，4，b0，6，求方程沒有實根的概率解：設(shè)“方程有兩個正根”的事件為a，“方程沒有實根”的事件為b.(1) 由題意知本題是一個古典概型，用(a，b)表示一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)依題意知，基本事件(a，b)的總數(shù)有36個，二次方程x22(a2)xb2160有兩正根，等價于即 則事件a包含的基本事件為(6，1)、(6，2)、(6，3)、(5，3)共4個所求的概率為p(a).(2) 由題意知本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域(a，b)|2a4，0b6, 其面積為s()12.滿足條件的事件為：b(a，b)|2a4，0b6，(a2)2b216，其面積為s(b)4422. 所求的概率p(b).題型3互斥事件例3某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1) 若派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2) 若派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y、z的值解：(1) 由派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，得0.10.16x0.56， x0.3.(2) 由派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，得0.96z1， z0.04.由派出醫(yī)生最少3人的概率為0.44，得y0.2z0.44， y0.440.20.040.2.某學(xué)校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員，某些隊員不止參加了一支球隊，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機抽取一名隊員，求：(1) 該隊員只屬于一支球隊的概率；(2) 該隊員最多屬于兩支球隊的概率分析：根據(jù)韋恩圖，正確理解“只屬”、“最多”解：從圖中可以看出，3個球隊共有20名隊員(1) 記“隨機抽取一名隊員，該隊員只屬于一支球隊”為事件a，則p(a).故隨機抽取一名隊員，該隊員只屬于一支球隊的概率為.(2) 記“隨機抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊”為事件b，則p(b)1p(b)1.故隨機抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊的概率為.1. (2013湖北)在區(qū)間2，4上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_答案：3解析：由幾何概型，得，解得m3.2. (2013南京三模)在一個盒子中有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片，現(xiàn)從中一次取出2張卡片，則取到的卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是_答案：解析：從5張卡片中任取兩張卡片的基本事件為1，2，1，3，1，4，1，5，2，3，2，4，2，5，3，4，3，5，4，5共10個，其中兩卡片上的數(shù)字之積為奇數(shù)的1，3，1，5，3，5共3種，故數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是1.3. (2013福州模擬)如圖面積為4的矩形abcd中有一個陰影部分，若往矩形abcd投擲1 000個點，落在矩形abcd的非陰影部分中的點數(shù)為400個，試估計陰影部分的面積為_答案：2.4解析：記“投擲的點落在矩形abcd的陰影部分中的”為事件a，陰影部分的面積為s，則p(a)，又由題意，往矩形abcd投擲1 000個點，落在矩形abcd的陰影部分的點數(shù)為1 000400600個，所以，解得s2.4.4. 已知圓c：x2y212，直線l：4x3y25，則圓c上任意一點a到直線l的距離小于2的概率為_答案：解析：由點到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離為d5，當(dāng)圓c上的點到直線l的距離是2時有兩個點為點b與點d，設(shè)過這兩點的直線方程為4x3yc0，得c15，要使圓上點到直線的距離小于2，即l1：4x3y15與圓相交所得劣弧上，由圓的半徑為2，圓心到直線的距離為3可知劣弧所對圓心角為，故所求概率為p.1. 甲、乙二人下棋，甲獲勝的概率是0.3，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，則甲、乙二人下成和棋的概率為_答案：0.5解析：甲不輸即為甲獲勝或甲、乙二人下成和棋，0.80.3p(和棋)， p(和棋)0.5.2. (2013江蘇高考押題卷 )在區(qū)間1，1上隨機取一個數(shù)x，則cos的值介于0到之間的概率為_答案：解析：0cos在區(qū)間1，1上的解應(yīng)滿足和，解得x1或1x.所以0cos的概率是p.3. “拋階磚”是國外游樂場的典型游戲之一參與者只須將手上的“金幣”(設(shè)“金幣”的半徑為1)拋向離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的“金幣”若恰好落在任何一個階磚(邊長為2.1的正方形)的范圍內(nèi)(不與階磚相連的線重疊)，便可獲大獎. 不少人被高額獎金所吸引，紛紛參與此游戲但很少有人得到獎品，請用所學(xué)的概率知識解釋這是為什么分析：在拋階磚游戲中，首先可以判定此試驗為幾何概型，我們?yōu)榱嗣枋雒恳淮坞S機試驗的結(jié)果只需要確定金幣圓心o的位置即可，一旦圓心位置確定，只要當(dāng)圓心o到其最近正方形的各邊的距離大于其半徑時，便可獲大獎由此不難想到一種臨界狀態(tài)，就是當(dāng)金幣與正方形的一邊相切時，此時圓心o到該邊的距離為1，顯然只有當(dāng)圓心o到最近正方形的各邊的距離大于1時才能獲獎，所以若中獎，金幣圓心必位于小正方形區(qū)域a內(nèi)解：若中獎，金幣圓心必位于下圖的小正方形區(qū)域a內(nèi)圓心隨機地落在“階磚”的任何位置，所以這是一個幾何概型其概率為0.0022.4. 正四面體abcd的體積為v，p是正四面體abcd的內(nèi)部的一個點(1) 設(shè)“vpabcv”的事件為x，求概率p(x)；(2) 設(shè)“vpabcv”且“vpbcdv”的事件為y，求概率p(y)分析：首先確定點p的區(qū)域，即區(qū)域d；然后確定所求的事件中的點所在區(qū)域d；分別計算區(qū)域d和d的體積；最后計算所求概率為.解：(1) 如圖，分別取da、db、dc上的點e、f、g，并使de3ea，df3fb，dg3gc，并連結(jié)ef、fg、ge，則平面efg平面abc.當(dāng)p在正四面體defg內(nèi)部運動時，滿足vpabcv，故p(x).(2) 在ab上取點h，使ah3hb，在ac上取點i，使ai3ic，在ad上取點j，使aj3jd，則p在正四面體ahij內(nèi)部運動時，滿足vpbcdv.設(shè)jh交ef于m，ji交eg于n，則面min面bcd.結(jié)合(1)，當(dāng)p在正四面體dfeg的內(nèi)部及正四面體ahij的內(nèi)部運動，也即p在正四面體emnj內(nèi)部運動時，同時滿足vpabcv且vpbcdv，于是p(y).1. 對于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型問題，構(gòu)造出隨機事件a對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的測度來求隨機事件的概率2. 分清古典概型與幾何概型的關(guān)鍵就是古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的