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文檔簡介
淺談卡西歐圖形計算器在常用函數(shù)圖象上的應(yīng)用摘要:指出形象思維的重要性,給出了高考高頻函數(shù)題圖象定量具體分析的方法,應(yīng)用圖形計算器在集中復(fù)雜函數(shù)題中靈活運用,使復(fù)雜抽象函數(shù)簡單化具體化,方便加深印象,使函數(shù)的學(xué)習(xí)方法更加靈活便捷,學(xué)習(xí)效率大大提高。本文從函數(shù)定義及出發(fā),將具體常用常見函數(shù)的圖象性質(zhì)進行總結(jié),歸納類比,得出普遍結(jié)論。在已知函數(shù)基礎(chǔ)上進行擴展,體會極坐標(biāo)中圖象的魅力,以及圖像繪制的,簡便性、優(yōu)越性,由以推廣至其他學(xué)科領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞:形象思維、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、高斯函數(shù)、極坐標(biāo)系下的曲線、圖像特點對于數(shù)學(xué)學(xué)科來說,我們在學(xué)習(xí)上主要運用的是左腦的抽象思維,但從數(shù)學(xué)思維模式呈現(xiàn)出的事實來看,我們圖形理解能力的形象思維是最早出現(xiàn)的,而它也是數(shù)學(xué)不斷發(fā)展至今的前提,并在數(shù)學(xué)的研究學(xué)習(xí)中騎著舉足輕重的作用??梢娙绻藗儾痪邆湫蜗笏季S能力,很難會有較高的抽象思維能力,其發(fā)展也將會受到限制。正像數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫所言:“只要有可能,數(shù)學(xué)學(xué)者都應(yīng)該盡力把他們正盡力研究的問題從幾何圖形上視覺化?!币虼嗽谟屑夹g(shù)設(shè)備支持下的今天,圖形的精準(zhǔn)繪制給我們帶來了一場深刻的變革應(yīng)用圖形計算器解決圖象問題,在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖,但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端;應(yīng)用圖形計算器速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端,大大提學(xué)習(xí)效率 、拓寬我們的認(rèn)知范圍、開拓我們的解題思路,培養(yǎng)我們的想象力和形象思維的理解能力。直觀、準(zhǔn)確、全面地針對考試中的問題給予完備解答。那么,在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中圖形計算器有哪些應(yīng)用呢?作為一名高中生筆者在此予以介紹:1、 圖形計算器在指冪對函數(shù)及其簡單復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用1.指數(shù)函數(shù)的一般形式是y=ax(a0且1) (xr),值域為(0, )。a=1時也可以,此時值域恒為1。是在定義域上的單調(diào)下凸,連續(xù)函數(shù)。當(dāng)a1時,指數(shù)函數(shù)對于x的負(fù)數(shù)值平坦,對于x的正數(shù)值迅速攀升。當(dāng)0a1時,曲線由左向右逐漸上升,即a1時,函數(shù)在r上是增函數(shù);當(dāng)0a1時,曲線逐漸下降即0a0且a不等于1)。恒過點(1,0),其中負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)。3.反函數(shù)的性質(zhì):定義域和值域與原函數(shù)互換,圖像關(guān)于直線y=x對稱即原函數(shù)過(m,n)反函數(shù)過(n,m),原函數(shù)與反函數(shù)具有相同單調(diào)性,具有相同的奇函數(shù)性質(zhì)(只有單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)偶函數(shù)一般無反函數(shù),若要求則分段求解)。例:解決y=ax與y=x交點問題:一般方法如下,設(shè)a(x,y)在曲線上求導(dǎo)切線斜率為k=axlna,解出切線方程令其過原點解得x=1/lna,k=elna,討論當(dāng)k=1即a1.4時相切,當(dāng)a1.4時相離0a1.4時相割??梢杂脠D形計算器根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象,并可以在同一個坐標(biāo)系中作出多個函數(shù)的圖象直觀比較各圖象的形狀和位置,對偶記憶。應(yīng)用圖形計算器的“動態(tài)圖”功能,更能方便看出圖象隨變量a的變化而反映出其變化趨勢,對此提出有關(guān)猜想并繼續(xù)得到證實,用以全面了解函數(shù)加深對底數(shù)a的幾何意義認(rèn)了解,更實在地把握函數(shù)。3. 指、對數(shù)的復(fù)合函數(shù):設(shè)y=f(u)的定義域為du函數(shù)u=g(x)的定義域為dx,值域為mx,那么對于dx內(nèi)的任意一個x經(jīng)過u;有唯一確定的y值與之對應(yīng),因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系,記為:y=fg(x)。當(dāng)指、對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合時:有以f(x)為x底的對數(shù)、以x為底f(x)的對數(shù)、以a為底f(x)的指數(shù)等。需要看定義域以及參考復(fù)合函數(shù)增減性關(guān)系(同增異減)或奇偶性原則(內(nèi)奇則奇,內(nèi)偶同外)配合求解或證明,應(yīng)用圖形計算器推理得到普遍規(guī)律,概念理解易如反掌,做題事半功倍。而當(dāng)求解復(fù)合函數(shù)根的分布時圖形計算器體現(xiàn)了極大優(yōu)勢,變量取值、直觀分析全圖,簡練明快,精準(zhǔn)詳細(xì)。4. 冪函數(shù)是形如y=xa(a常為有理數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量,冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)。冪函數(shù)具有以下通性:所有的冪函數(shù)在(0,+)上都有各自的定義,并且圖像都過點(1,1)和(0,0)。在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而增大;a1時,圖像開口向上;0a1時,圖像開口向右。圖像不過第四象限。在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右趨于(0,0)時,圖象在y軸上方趨向于(0,0)時,圖像以y軸為漸近線,當(dāng)x趨于+時,圖象圖像以x軸為漸近線。冪函數(shù)的特殊性:當(dāng)a-1且a為奇數(shù)時,函數(shù)在第一、第三象限為減函數(shù);當(dāng)a-1且a為偶數(shù)時,函數(shù)在第二象限為增函數(shù);當(dāng)a=0且x不為0時,函數(shù)圖象平行于x軸且y=1、但不過(0,1);當(dāng)0a 0,另一條 0。兩條螺線在極點處平滑地連接,互為鏡像??梢韵胂笠恢恍∠x在勻速旋轉(zhuǎn)盤上由中心沿半徑勻速向外爬行則其運動軌跡為該螺線。2. 圓錐曲線:橢圓,展示了半正焦弦圓錐曲線方程如下:r=l/(1-e cos)其中l(wèi)表示半正焦弦,e表示離心率。 如果e 1,則表示雙曲線。其中e表示離心率,p表示焦點到準(zhǔn)線的距離。3. 心形線:=a(1-cos)(a0,02)圖形和心臟的截面輪廓相似,關(guān)于極軸對稱(3)雙紐線(二葉玫瑰線、伯努利雙紐線):指動點到兩相聚為定長的定距離之積為定值的動點軌跡,點笛卡爾坐標(biāo)方程為(x2+y2)2=2a2(x2-y2)。極坐標(biāo)方程為2=a2(cos2)(a0)。以上介紹了比較典型的圖象應(yīng)用,總地來說,圖形計算器在高中學(xué)習(xí)中有很大用途:在幾何中根據(jù)
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