（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）兩類非線性常微分方程解的存在性.pdf

， 一 1 k 。一礦 萇 jlj】j111礴 ij11 。h 毫，。1lq捌0，嚷 ：掣， k 礙。苫 a t h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sa b o u tt w oc l a s s e so f n o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yf a ng e h u a s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u nt a o n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y m a y 2 0 0 8 i 。 魯 。， i 。j 屯 腳， ，一 囊! 啊】， 一一，。 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明，所呈交的學(xué)位論文是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的。論文中取得 的研究成果除加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人己經(jīng)發(fā)表或撰寫過 的研究成果，也不包括本人為獲得其他學(xué)位而使用過的材料。與我一同工 作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均己在論文中作了明確的說明并表示謝 = 匕 j 恩o 學(xué)位論文作者簽名：塒 日期： 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 l 本學(xué)位論文作者和指導(dǎo)教師完全了解東北大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文 -的規(guī)定：即學(xué)校有權(quán)保留并向l a 家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤， l 允許論文被查閱和借閱。本人同意東北大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi) - 糊焉翥篡篡拓一： 半年口一年口一年半口兩年口 學(xué)位論文作者簽名：苷己痂午 簽字日期： 導(dǎo)師簽名： 簽字日期： 鈉協(xié) 擴、1 、 ) ll，lf r ii_i-， l ： 1 ： 一l習(xí)叫，_1111 礙_ i ， r r 兩類非線性常微分方程解的存在性 摘要 自然科學(xué)的許多領(lǐng)域都提出了大量的微分方程問題，在解決實際問題時，通?？梢?根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，也就是建立反映這個實際問題的微分方程，然后求解這個 微分方程，用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果來解釋問題，以便達(dá)到解決實際問題的目的本文主要討 論了兩類微分方程解的存在性 第一部分運用泛函分析理論中的不動點指數(shù)理論，在與相應(yīng)線性算子本征值的有關(guān) 條件下討論了奇異半正( 足，以一k ) 多點邊值問題 ( - l y 緲”g ) = g 沙g ) ) ，o x l ，以2 ，1 k 刀一1 ， 分別在邊值條件 m - 2 妒( o ) = 口，妒( 磊) ，緲( o ) = 妒( 1 ) = o ，1 f j | 一1 ，o 以一k 一1 ； i = l m - 2 妒( 1 ) = e a i 妒( 磊) ，緲( 0 ) = 伊7 ( 1 ) = o ，o i k 一1 ，1 萬一k 一1 i = l 下非平凡解的存在性結(jié)果，其中0 磊 色 乞一： 0 關(guān)鍵詞：奇異：時滯：不動點指數(shù)：非平凡解：周期正解 i i t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sa b o u tt w 0c l a s s e so fn o n l i n e a r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t v a r i o u sk i n d so fp r o b l e m sa b o u td i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a v eb e e nm e n t i o n e di nm a n y k whichfieldso fn a t u r es c i e n c ew eu s u a l l ys e tu pm a t h e m a t i c a lm o d e l sw h i c hd e p e n do na c t u a l p r o b l e m sw h e ns o l v i n gt h e m i na no t h e rw o r d ，ad i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c hr e f l e c t st h i s a c t u a lp r o b l e mh a sb e e nf o r m e d t h e nw ei n t e r p r e tt h ea c t u a lp r o b l e m sw i t ht h es o l u t i o n so f t h ee q u a t i o na n ds o l v et h ea c t u a lp r o b l e m s t h em a i np u r p o s eo ft h i sa r t i c l ei st os t u d yt h e e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft w ok i n d so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ef i r s t s e c t i o n ，b ym e a n so ft h e f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yu n d e rs o m ec o n d i t i o n s e o n c e m i n gt h ee i g e n v a l u e sc o r r e s p o n d i n gt ot h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r , t h ee x i s t e n c ei s o b t a i n e di nt h i sp a p e rf o rt h em u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h eh i g h e ro r d e r ( 七，n - k ) d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( - l y “c p ”g ) = 辦g 沙g ) ) ，o x 1 ，刀2 ，1 七 n - 1 ， s u b j e c tt ot h eb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s m - 2 妒( o ) = e a i 緲( 繭) 9 ( o ) = 妒( 1 ) = o ，l i k - 1 ，o ，n - k - l ； i = l m - 2 伊( 1 ) = e a ，妒( 喜) 緲7 ( o ) = 伊( 1 ) = o ，o i k - 1 ，1 n - k - 1 i = l r e s p e c t i v e l y , w h e r eo 螽 磊 磊一2 0 k e yw o r d s ：s i n g u l a r ；t i m e - d e l a y ；f i x e dp o i n ti n d e x ；n o n t r i v i a ls o l u t i o n ；p e r i o d i cp o s i t i v e s o l u t i o n i v 一 1 i 目錄 獨創(chuàng)性聲明i 摘要i i a b s t r a c t 。i i i 第1 章緒論1 1 1 研究的背景和現(xiàn)狀1 1 2 泛函微分方程的分型簡介5 1 3 本文結(jié)果5 第2 章預(yù)備知識7 第3 章奇異半正( 咖卜k ) 多點邊值問題非平凡解的存在性1 1 3 1 引言1 1 3 2 準(zhǔn)備工作1 l 3 3 非平凡解的存在性定理15 3 4 非奇異情況19 3 5 實際應(yīng)用2 2 第4 章一類多時滯泛函微分方程周期正解的存在性2 5 4 1 引言。2 5 4 2 準(zhǔn)備工作2 6 4 3 周期正解的存在性定理一2 8 第5 章總結(jié)3 7 參考文獻(xiàn)3 9 致謝4 1 ，玉、0 t$rl 名i ， i - 一 一 第1 章緒論 1 1 研究的背景和現(xiàn)狀 泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個重要分支，它起源于經(jīng)典數(shù)學(xué)物理中的變分問題和邊 ，值問題，概括了經(jīng)典數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論中的某些重要概念、問題和成果，又受到量子物 0 l理學(xué)、現(xiàn)代工程技術(shù)和現(xiàn)代力學(xué)的有力刺激它綜合地運用分析的、代數(shù)的和幾何的觀 、 點和方法，研究分析數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理和現(xiàn)代工程技術(shù)提出的許多問題從上世紀(jì)中葉開 。始，偏微分方程理論，概率論( 特別是隨機過程理論) 以及一部分計算數(shù)學(xué)，由于運用了 泛函分析而得到了大發(fā)展現(xiàn)在，泛函分析的概念和方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代純粹與應(yīng)用數(shù) 學(xué)、理論物理及現(xiàn)代工程技術(shù)理論的許多分支，如微分方程、概率論、計算數(shù)學(xué)、量子 場論、統(tǒng)計物理學(xué)、抽象調(diào)和分析、現(xiàn)代控制理論、大范圍微分幾何學(xué)等方面現(xiàn)在泛 函分析對純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)的影響，就好像上世紀(jì)初葉集論、點集論對后來數(shù)學(xué)的影響一 樣同時泛函分析本身也不斷地深入發(fā)展，例如算子譜理論以及各種表示理論已經(jīng)達(dá)到 相當(dāng)深入的程度 2 0 世紀(jì)以來，泛函分析逐漸成為研究常微分方程邊值問題的重要理論基礎(chǔ)事實上， 常微分運算和積分運算的共同特征是，它們作用到一個函數(shù)后都得出新的函數(shù)，可以將 這些運算統(tǒng)一抽象為算子泛函分析正是在算子概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的3 0 年代中期 法國數(shù)學(xué)家勒雷( jl e r a y ) 和紹德爾( js c h a u d c r ) 建立了l e r a y - s c h a u d e r 度理論l k2 1 他們的 方法用于研究線性微分、積分、泛函方程時，取得了巨大成功尤其是這種理論對常微 分方程邊值問題的應(yīng)用，形成了常微分方程拓?fù)浞椒ɑ蚍汉治龇椒ā? 4 】其核心是各 t類不動點定理的建立和應(yīng)用在泛函分析理論以及實際問題的推動下，常微分方程邊值 ： 問題的研究在近半個世紀(jì)里發(fā)展十分迅速除了傳統(tǒng)的二階常微分方程兩點邊值問題之 e 外，開始研究高階微分方程邊值問題【5 6 】并且隨著新問題的出現(xiàn)，形成了許多新的研究 方向 首先是奇異邊值問題 1 9 2 7 年托馬斯【7 】( l ht h o m 嬲) 和費米【8 】( ef e 咖i ) 為確定原子中的電動勢獨立導(dǎo)出了 二階常微分方程的奇性邊值問題 j x 一f2 x 2 = 0 ， 【x ( o ) = l ，x ( b ) = 0 ， i3 這里所說的奇性，是指，1 + i r a 。+ x 。( f ) = ，1 i m 。+ f 1 工j t ) - o o 有其獨特方法的研究方向，即是奇異邊值問題【9 1 引 其次是無窮區(qū)間上的邊值問題 之后對這類邊值問題的研究形成了 最早的例子是由基德( rek i d e r ) 1 l 】給出設(shè)半無窮多孔介質(zhì)在起始時刻扛0 時充滿 壓力為p o 的氣體，此時在流出面上的壓力突然由昂減到號且以后一直保持日壓力，這樣 間的關(guān)系為 靜等卜箸， ( 2 ) 缸l 缸 西7 、 7 其中a 是由介質(zhì)性質(zhì)確定的常數(shù)，壓力應(yīng)滿足的初值條件為 絮：畿。xoot p ，(1)i o t ip ( o ，) = ， 1 ) 稱為p 一拉普拉斯算子( p - l a p l a c i a no p e r a t o r ) 或擬線性算子 。 ( q u a s i l i n e a ro p e r a t o r ) 智利數(shù)學(xué)家較早地研究了此類邊值問題，并很快引起數(shù)學(xué)界的重 視，取得了一系列研究結(jié)果，成為一個經(jīng)久不衰的研究熱點 經(jīng)典的二階常微分方程邊值問題，無論是周期邊界條件還是s t u r m l i o u v i l l e 邊界條 件，定解條件都是在給定區(qū)間的兩端施加限制鑒于邊界條件的離散化，從2 0 世紀(jì)8 0 年代中期開始研究二階常微分方程的多點邊值問題，也就是所給的兩個定解條件涉及端 點間其他點上的函數(shù)值，例如 囂2 墨。， m ， 就是一個二階常微分方程的三點邊值問題以此類推就有四點邊值問題，n 點邊值問題 常微分方程多點邊值問題也常被稱為常微分方程非局部邊值問題 與此同時，常微分方程的脈沖效應(yīng)也引起了人們的重視，這種脈沖效應(yīng)造成微分方 程瞬時改變，因此可以認(rèn)為是微分方程和差分方程的相互結(jié)合保加利亞數(shù)學(xué)家對此作 - 了大量的研究在常微分方程邊值問題中結(jié)合脈沖效應(yīng)，就得到常微分方程脈沖邊值問 題，例如 x 。+ 廠( f ，石，工。) = o ，f ，k = l ，2 ，聊， x ( 氣) = 以，x ( 氣) 2 2 ， o 1 1 0 ) 血( ) = 以( 工( 氣，z 。( 氣) ) ) ， x ( o ) = x ( 1 ) = 0 ， 其中0 t i 乞 乞 1 在這類邊值問題中，脈沖周期邊值問題研究得也比較早也比 較充分除了以上提到的研究方向外，在方程中引進(jìn)時滯邊值問題，邊界條件為相關(guān)點 一3 、t_0 上函數(shù)的非線性約束情況都有一系列研究工作 常微分方程作為數(shù)學(xué)中一個古老而又重要的分支已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著 迸一步發(fā)展的活力，其主要原因是它在自然科學(xué)以及現(xiàn)代工程技術(shù)科學(xué)，例如物理學(xué)、 化學(xué)、現(xiàn)代力學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、自動控制、電子技術(shù)和機械設(shè)計等領(lǐng)域中都有著廣泛 的應(yīng)用，同樣在社會科學(xué)的一些領(lǐng)域里也存在著微分方程的問題通常我們可以根據(jù)實 際問題建立數(shù)學(xué)模型，也就是建立反映這個實際問題的微分方程然后求解這個微分方 程，用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果來解決實際問題，以便達(dá)到能動地改造世界的目的 1 7 5 0 年e u l e r 提出了一個古典的幾何學(xué)問題：是否存在一種曲線，它經(jīng)過平移、旋 轉(zhuǎn)運動以后能與其漸縮線( 對于兩條正則對應(yīng)曲線c 和c ，若它們在對應(yīng)點總有垂直的 切線，并且對應(yīng)切線的交點位于c + 的對應(yīng)點之上，則稱曲線c 為曲線c + 的一條漸縮線) 重合? 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 討論這個問題，導(dǎo)出了已知的歷史上第一個泛函微分方程至 今已過去兩個多世紀(jì)了，但是系統(tǒng)研究工作卻是在二十世紀(jì)五十年代才開始的近年來， 常微分方程解的存在性問題受到廣泛關(guān)注，一些學(xué)者應(yīng)用拓?fù)涠壤碚?、半序方法以及臨 界點理論獲得了常微分方程多個解的存在性以及對各解存在區(qū)域的估計：在方程右端 不具有連續(xù)性的情況下以及在方程具有反向的上解和下解的情況下，討論常微分方程解 的存在性問題：在利用不動點理論以及單調(diào)迭代法來研究脈沖微分方程最大解和最小 解的存在性以及迭代求解法：利用跌合度理論求解常微分方程邊值問題：利用非線性 泛函分析理論中不動點指數(shù)理論、l y a p u n o v 泛函方法、l e r a r y s c h a u d e r 不動點方法以及 非線性泛函分析理論中的錐拉伸與錐壓縮不動點方法研究微分方程多點邊值問題的正 解的存在性與多解性時，取得了很好的結(jié)果 自然科學(xué)方面提出了大量的滯動力學(xué)系統(tǒng)問題，如核物理學(xué)、電路信號系統(tǒng)、生態(tài) 系統(tǒng)、遺傳問題、流行病學(xué)等：社會科學(xué)方面主要是各種經(jīng)濟現(xiàn)象時滯的描述，如商業(yè) 銷售問題、財富分配理論、運輸調(diào)度等問題 在動力學(xué)系統(tǒng)中，時滯( 時間的延遲，時間的滯后現(xiàn)象，可用時滯微分方程、時滯微 分一積分方程或差分方程描述，即使有很小的時滯量，也會導(dǎo)致與無時滯的情形截然不 同的結(jié)果) 是不可避免的在這個意義下，常微分方程組 戈( f ) = f ( f ，x ) ，x r ”， 只是動力學(xué)系統(tǒng)中一種近似描述很多情況下略去滯量便達(dá)不到必要的精確度甚至導(dǎo)致 結(jié)論的錯誤，因此這些問題是常微分方程所不能解決的，這迫切地就需要建立一種新的 4 。i 蓋 一 模型來討論它，因而產(chǎn)牛了泛函微分方程f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，縮寫為 f d e 正是由于這些極其廣泛的應(yīng)用課題的推動，使泛函微分方程的研究取得了實質(zhì)性 的、全面的進(jìn)展 1 2 泛函微分方程的分型簡介 1 滯后型泛函微分方程：要決定一個狀態(tài)的未來，不僅要確定這個狀態(tài)現(xiàn)在瞬間 的值，而且要顧及過去的歷史情況這類動力學(xué)系統(tǒng)叫做滯后型泛函微分方程，略記為 r f d e ( r e t a r d e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 具體形式如下： = 0 ，i = 1 ，2 ，z ，= l ，2 ，玎， i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，刀， 滿足初始條件x ( s ) ：( s ) ，( j 卜t ，o 】) 2 超前型泛函微分方程：簡單的說就是確定了未來某一時間區(qū)間里的計劃值，討 論在此之前( 從現(xiàn)在的瞬間到這區(qū)間的左端點) 的狀態(tài)應(yīng)如何取值才符合動力系統(tǒng)的規(guī) 律，這類系統(tǒng)叫做超前型泛函微分方程，略記為a f d e ( a d v a n c e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ) 具體形式如下：魯d ( f ，x ，) = 廠( f ，x ，d 在。處不是原子的 3 中立型泛函微分方程，因為它的特征根既不象滯后型方程那樣散布在某直線的 左半平面上，也不象超前型方程那樣散布在某直線的右半平面上，而是分布在兩平行直 線之間，因此叫做中立型泛函微分方程，略記為n f d e ( n e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ) 1 3 本文結(jié)果 本文主要對兩類非線性常微分方程解的存在性進(jìn)行研究，結(jié)果有兩個： 首先，運用泛函分析理論中的不動點指數(shù)理論，在與相應(yīng)線性算子特征值的有關(guān)條 件下，討論了奇異半正( 七，萬一k ) 多點邊值問題 5 、 t。l 凼 凼 f， 、f， 一 一 s s ll 0 s， 、s， 一 一 f f ，-、，- 口 虜 【 。蘆。蘆 + + 、f，l，l 誓 薯 ，r【 分別在邊值條件 ( - 1 ) ，l 9 ”g ) = g 沙0 g ) ) o z 1 ，以2 ，l k n - i ， m - 2 妒( o ) = 口，妒( 磊) ，( o ) = ( 1 ) = o ，l5f 七一l ，o n - k - l ； 妒( 1 ) 2 擎9 ( 喜炒( o ) = 棚) = o , o i k - l , l 舛v ， 下非平凡解存在性的充分條件，其中o 磊 色 磊一： o 6 ，- 第2 章預(yù)備知識 首先給出與泛函分析有關(guān)的基本概念和結(jié)論 定義2 1 【1 3 l 設(shè)尺是實( 或復(fù)) 數(shù)域f 上的一個線性空間如果r 上的實值函數(shù)p ( ) 滿足下列條件： 1 p ( x 1 0 ，xe 尺； 2 p ( a x ) = i ai p ( x ) ，x r ，a f ； 3 p ( x + y ) p ( x ) + p ( y ) ，x ，y 月； 則稱p ( x ) 是工的半范數(shù)或稱為擬范數(shù) 如果半范數(shù)p ( x ) 又滿足如下條件： 4 如果p ( x ) = 0 ，另i j 么z = 0 ， 便稱p ( 石) 是工的范數(shù)，通常也記x 的范數(shù)為i j x i i ，而且r 按這個范數(shù)稱為賦范線性空 間，簡稱為賦范空間 定義2 2 【1 3 】如果度量空間r 中每個基本點列都收斂，稱尺是完備( 度量) 空間完備 賦范線性空間又稱為巴拿赫空間( b a n a c hs p a c e ) 在c o ，1 中，按照通常函數(shù)的線性運算定義加法以及數(shù)乘，則c o ，1 】成為一個線性 空間對v 9 c o ，1 】，定義范數(shù) i - 理警i 緲( x ) i ， ( 2 1 ) 則c o ，l 】就成為一個b a n a c h 空間在b a n a c h 空間c o ，l 】中，一階連續(xù)可微函數(shù)的全體記 為c 1 o ，1 】，二階連續(xù)可微函數(shù)的全體記為c 2 0 ，1 】 定義2 3 1 4 1 設(shè)e 是實b a n a c h 空間，如果尸是e 牟某非空凸閉集，并且滿足下面兩 個條件： ( i )工p ，旯0 = 2 x p ： - 7 ( i i )x p ，- - x p jx = 0 ，0 表e 中零兀素， 則稱p 是e 中的一個錐 定義2 4 【1 5 1 用戶表示尸的內(nèi)點集，如果戶( 為空集) ，則稱尸是一個體錐 注：給定e 中一個錐p 后，則可在e 中引入半序，即對任意的x ，y e ，如果 y x p ，貝0 記x j ，；如果x y ，并且x y ，貝0 記工 0 ，使得當(dāng)0 x i i f = 恢i i = 1 ，五p ，工：p 時，恒有 恢+ x ：i i 萬，則稱錐p 是正規(guī)錐 定義2 6 【1 5 】設(shè)巨和e ：是兩個b a l l a c h 空間，dc 巨，算子彳：dj 島，若彳將d 中 任何有界集s 映成e ：中的列緊集彳( s ) ( 即彳( s ) 是相對緊集，也就是它的閉包刁兩是易 中的緊集) ，則稱a 是映dxe ：的緊算子 定義2 7 【1 5 】設(shè)e 是一個拓?fù)淇臻g，xce ，若存在連續(xù)算子，：e x ，使當(dāng)x x 時，恒有，( x ) = 工，則稱x 是e 的一個收縮核，算子，稱為是一個保核收縮 定義2 8 【1 5 】若算子么：d e ：是連續(xù)的，而且又是緊的，則稱彳是映d 入e ：的全連 續(xù)算子 引理2 1 1 5 】nk ( x ，y ，“) 在( x ，y ) gxg ，一0 0 “ + o 。上連續(xù)，那么對于算子 k ：( k q o ( x ) = l j | ( x ，y ，伊( 少) ) 方，k ：c ( g ) 一c ( g ) 全連續(xù) 引理2 2 【1 5 】設(shè)彳。：dje ：全連續(xù)( 珂：1 ，2 ，) ，彳：d 一最，如果對于d 中任何有 界集墨當(dāng)?shù)兑? 時，i i 彳。z 一血i i 都一致趨于零( 關(guān)于工s ) ，則a ：d e 2 全連續(xù) 引理2 3 【1 5 】設(shè)x 是實b a l l a c h 空間e 中的一個收縮核，對于x 中的每個有界開集 u c x ，設(shè)a ：u 一一x 全連續(xù)且在a 【，上沒有不動點( 即a x x ) ，其中萬和o u 分別是相 對于x 的閉包和邊界，則存在整數(shù)f ( 彳，u ，x ) ，稱為a 在u 上關(guān)于x 的不動點指數(shù) 并且該不動點指數(shù)f 0 ，u ，x ) 滿足下列條件： 正規(guī)性：若彳：o - 一u 是常算子，則 - 8 f ( 彳，u ，x ) 2 i 可加性：若u 。與u ：是u 的互不相交的子集，關(guān)于x 都是開集，并且a 在 療( uu ) 上沒有不動點，則 f ( 么，u ，x ) = f ( 彳，u i ，x ) + f ( 爿，x ) ， 這里：f o ，u 足，x ) = f b l 畋，u k ，x ) ，七= 1 ，2 同倫不變性：設(shè)h ：【o ，i i 擴一x 全連續(xù)，使當(dāng)o ，z ) 0 ，1 a u 時，恒有 s - s ( ：，x ) x ，貝l j i ( h ( t ，囊u ，x ) 與t 無關(guān) 保持性：若y 是x 一個收縮核彳修) cy ，則 f ( 彳，u ，x ) = f ( 么，u n y ，y ) ， 這里：i ( a ，u n y ，x ) = f ( 么l 階，u n y ，y ) 切除性：若y 關(guān)于x 開集，vc u ，且4 在驢y 上沒有不動點，則 i ( a ，u ，x ) = f ( 彳，礦，x ) 可解性：若f 0 ，u ，x ) 0 ，則么在u 中至少有一個不動點 引理2 4 【1 5 】( l e r a y s c h a u d e r 不動點定理) 設(shè)彳：e 層全連續(xù)如果集合釧xl l ：x e ，x = ；t a x ，o 允 1 ) 是有界的，則a 在e 中的閉球t 中必有不動點，這里 t = xx e ，i lxl l r ) ，r = s u p 1 1 x 1 1 ：x = 2 a x ，o a 1 ) 引理2 5 【1 5 】k r a s n o s e l 、s k i i ( 范數(shù)形式的錐拉伸與壓縮不動點定理) 設(shè)q 。，q 27 黽b a n a c h 空間e 中的有界開集，o e q 。，磊。cq ：，a ：e l g ( f i z f l ) 寸尸是 全連續(xù)算子，如果滿足條件： ( i t 日i r l ) i i a x l l - - i i 工i i ，慨p n o x 】z ，( 即范數(shù)錐拉伸) 或 ( h 2 ) i i a x l l - 1 1 x i l ，眠尸n 訛- ，( 即范數(shù)錐壓縮) 9 - 那么，a 在尸n ( 磊：q 。) 中必具有不動點 引理2 6 1 6 】( l e b e s g u e 控制收斂定理) 設(shè) 以( x ) i 甩) ，是e 上的可測函數(shù)列，如果 ( 1 ) l i m z ( x ) = ( z ) ； ( 2 )存在可積的函數(shù)f ，使得i ( 工) 庠f ( x )v n ) ，則廠( x ) 在e 上可積，則 廠在e 上可積，并且 。l i ，m 。l 正( x ) 出= l 廠( x ) a x 1 0 一 東北大學(xué)碩士學(xué)位論文 第3 章奇異半正( 七，刀一k ) 多點邊值問題非平凡解的存在性 第3 章奇異半正( 尼，z k ) 多點邊值問題非平凡解的 存在性 w i 言 ?文獻(xiàn) 1 7 研究非線性奇異( 毛，z 一砷多點邊值問題 。 ( 一1 ) ”一妒n ( x ) = 辦( x ) 廠( 妒( x ) ) ，o x 2 ，l _ k n - 1 ， 分別在邊值條件 緲( o ) = ：2 q ( 磊) ，( o ) = 妒0 1 ) ，l _ i _ k - 1 ，o j n - k - 1 ；( 3 1 2 ) 緲( 1 ) = ：2 q ( 糾，( o ) = ( 1 ) ，o i k - 1 ，o ，l - k - 1 ( 3 1 3 ) 下正解的存在性，其中o 卣 受 。，使得 伊( x ) d ( r ) i | 緲i i ，f z 1 一f 1 1 第3 章奇異半正( 七，刀一k ) 多點邊值問題非平凡解的存在性 東北大學(xué)碩十學(xué)位論文 令 喇= 南裂島p ( 1 - 礦士1 砒， 吣壚兩黯仔”礦士1 出， 容易證明，x ) o ，x o ，1 ( f = 1 ，2 ) ，并且根據(jù)e u l e r 積分的性質(zhì)可知 假設(shè)： ( h 。) ( 日。) 。( o ) = 1 ，( 1 ) = o ，：( o ) = o ，：( 1 ) = 1 m - 2 q 。( 糾 1 ； m - 2 q ：( 毒) o ； 西( f ) o ，西, - ) o ； 因此， 。尼( 訓(xùn)) k ( w ) + 嵩篁i = 1q 毗 ( 訓(xùn)) k ( w ) 螂+ 嵩藝i = 1 q 觀 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 引理3 2 3 n 7 1 假設(shè)( 日。) 一( 只) 滿足，則由( 3 2 1 ) 所定義的算子彳：c 【o ，1 卜爭c o ，1 】全 連續(xù)；假設(shè)( h 。) 一( 只) 滿足，, 貝l je h ( 3 2 3 ) 所定義的算子彳：c 【o ，q c o ，l 】全連續(xù) 引理3 2 4 1 假設(shè)( q ) 一( b ) 滿足，如果4 有不動點c p ：o ，則緲是邊值問題 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 的非平凡解；假設(shè)( 日，) 一( 只) 滿足，如果五有不動點緲o ，則緲是邊值問 題( 3 1 1 ) ( 3 1 3 ) 的非平凡解 引理3 2 5 1 7 】假設(shè)( q ) ( h 2 ) 滿足，則由( 3 2 2 ) 所定義的算子r ，譜半徑r ( 丁) o ，并 且丁存在相應(yīng)于第一特征值a = ( 廠( r ) ) 。1 的正特征函數(shù)；假設(shè)( q ) ( 塢) 滿足，則由 ( 3 2 4 ) 所定義的算子于，譜半徑，( 于) o ，并且于存在相應(yīng)于第一特征值互= ( ，( 于) ) 的 正特征函數(shù) 引理3 2 6 【1 5 】設(shè)e 為b a n a c h 空間，q 為e 中非空有界開集，a ：五一e 為一全連續(xù) 算子，如果存在口，使得“一彳“f ，v u 砸( 尸) ，r 0 ，則d e g ( i - a ，q ，0 ) = 0 引理3 2 7 【1 5 】設(shè)e 為b a n a c h 空間，q 為e 中非空有界開集，ro q ，a ：五一e 為 一全連續(xù)算子，如果a u f “，v u 砸( p ) ，f 1 ，貝, l jd e g ( i - a ，q ，0 ) = 1 1 3 - 一 、l， x ，j i 一 o 、l， 毒 ，j 2 l e i口 帕淵 = _ 占 ，b 一 、l， x ，j _ 一 o o 使得d e g ( z 一彳，e ，o ) = d e g ( i 一4 ，e ，口) = ( 一1 ) 盧，其中為 4 的所有大于l 的特征值的代數(shù)重數(shù)之和 在b a n a c h 空間c o ，1 】中，范數(shù)由惻l = 理警1 妒b 】定義，該范數(shù)稱為最大值范數(shù)，令 尸= 伊c o ，1 】l 緲( 工) o ，x 【o ，1 】) ，則尸是c o ，1 】中的正錐本文中所提到范數(shù)均為最大 值范數(shù) 引理3 2 9 1 7 】設(shè) 置：移p | 妒g ) 6 p ) | 酬i ，f 工1 一f ， 西( r ) = m i n d ( f ) ，r a i n ，如；。一，。( x ) ) ， 其中，d p ) 由引理3 2 1 給出，則只ec o ，1 】中的錐，且ecp ，由( 3 2 2 ) 所定義的算子 ?。篶 o ，1 卜手c o ，1 】全連續(xù)且丁( j p ) c 丘；由( 3 2 4 ) 所定義的算子于：c o ，l 】一c o ，1 】全連續(xù) r f ( p ) c p , 引理3 2 1 0 1 5 】( l e r a y - s c h a u d e r 不動點定理) 設(shè)a ：e 專e 全連續(xù)如果集合釧xl l ：x e ，x = 2 a x ，0 a 1 ) 是有界的，則a 在e 中 的閉球r 中必有不動點，這里丁= x ：工e ，i ix1 1 r ，r = s u p 1 1x1 1 ：x = 旯a x ，o a 2 1 t c p l + r d p _ r 緲+ 氣伊= ( f 十) 緲， 這與f 的定義矛盾，因此( 3 3 5 ) 式成立 因為彳( 或) c 只由不動點指數(shù)同倫不變性和引理3 2 6 知， - 1 5 一 j一， 第3 章奇異半正( 七，胛一后) 多點邊值問題非平凡解的存在性 東北大學(xué)碩士學(xué)位論文 d e g ( i - a ，& ，p ) = f ( 彳，e r , f i r ，p ) = o ( 3 3 8 ) 令驢( x ) = 6 ，：k ( 工，y ) h ( y ) d y ，容易證明驢p ，并且彳：c o ，1 - - + p 一驢，定義 五緲= 彳( 9 一驢) + 驢，oec 0 ，1 】，那么勻：c o ，1 - - - p 由( 3 3 3 ) 得，存在吒 ，i + i i 乒i i 和 0 a r 2 定義互妒= 以砌，f oec o ，1 1 ，則五：c 【o ，1 卜c o ，l 】 是有界線性算子且五( 尸) c 尸令 m + = 2 m a x 翟肚( 訓(xùn)川川m ( 州慨2 ) ， ( 3 3 - 9 ) 下面證明m + - b o o 由( 3 2 5 ) 式知k ( x ，y ) m ，由( 致) 知：五( 工) 出 佃，由( 乩) 知廠( 伊( j ，) ) 在乏中 有界，因此，m 吃) ( 3 3 1 0 ) 當(dāng)緲( x ) 一乒( 工) o 時，痧( x ) = 緲( x ) 一痧( x ) 伊( x ) 一眨一眨，所以1 101 1 - 吃，因此對于 對v o ( x 1 w ，有 緲( x ) = ( 五妒) ( x ) = 彳( 伊- 0 ) + o = m k ( x ，y ) h ( y ) f ( r p 一驢) 咖+ 驢( x ) i ，：k ( 工，y ) h ( y ) f ( r p , 一o ) d y + 廬( 工) = ，和) k ( z ，y ) h ( y ) f ( e p o ) d y + k 卜k ( w 涉( y ) 廠( 妒) 妙+ 驢( 工) 。鞏，：k ( x ，y 弘( y ) ( 妒( y ) 一o ( y ) ) d y + ，：足( x ，y ( y ) 廠( 曠) 方+ 驢( z ) 觀j 。i k ( x , y ) h ( y ) r p ( y ) d y 一以j ：k ( x ，y ) h ( y ) o ( y ) d y + ，：髟( x ，y ) h ( y ) f ( o ) d y + 2 q 3 ( x ) 嘲，：k ( x ，y ) h ( y ) f o ( y ) d y + j ：k ( z ，j ，弘( y ) 廠( 汐) 咖+ 2 0 ( x ) 1 6 夸、：f ， 東北大學(xué)碩：i 二學(xué)位論文 第3 章奇異半正( 露，胛一k ) 多點邊值問題j # 平凡解的存在性 以，：k ( x ，y ) h ( y ) , p ( y ) d y + m = ( 互緲) ( x ) + m 。， ( 3 3 11 ) 其中m 由( 3 3 9 ) 式給出，因此o 妒( x ) = ( 彳緲) ( 工) ( 巧伊) ( x ) + m ，從而可得 ( ( ，一五) 妒) ( x ) m + ，工 o ，1 】因為a 是丁的第一特征值且0 m a x 吃，s u p w + l i 乒吣，下面證明j 在上慨沒有不動點 假設(shè)存在仍( 石) 慨，使得j 仍= 仍，則仍w ，此時u = 1 ，并且| i 紀(jì)i i = r ， s u p w ， 矛盾，所以力在上峨沒有不動點因此，由引理3 2 1 0 和不動點指數(shù)的保持性和同倫不 變性可知 d e g ( i - 4 ，& ，o ) = i ( f 4 ，氣n p , p ) = i ( o ，吃n p , p ) = 1 ( 3 3 1 2 ) 設(shè)全連續(xù)同倫函數(shù)日( f ，妒) = 彳( 妒一f 驢) + f 驢，t ，妒) o ，1 】巨，則吃( 緲) = 伊一h ( t ，妒) ， 下面證9 諾以( 慨) 假設(shè)存在( t o , 仍) o ，1 】峨，使得以( 緲) = 9 即日( 氣，仍) = 仍，那么 a ( f o ：一島驢) = 仍一島驢，并且j ( 仍一痧+ 痧) = f p 2 - t o q 5 + 痧，因此仍- t o o + 驢w 又因為 1 19 0 ：一島痧+ 驢惻i 仍i i - ( 1 一f 0 ) i i 驢忙吩一| | 痧l l s u p 形，矛盾故p 萑吃( 喂) 由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃院? 3 3 1 2 ) 式可知 d e g ( i - a ，& ，0 ) = d e g ( 一u ( o ，) ，& ，0 ) = d e g ( i - h ( 1 ，) ，吃，口) = d e g ( i - 4 ，& ，口) = 1 ( 3 3 1 3 ) 由( 3 3 8 ) 和( 3 3 1 3 ) 矢n d e g ( i - a ，吃e ，o ) = d e g ( - a ，& ，o ) - d e g ( 一4 ，展，目) = l ， 所以么在( & n 尸) ( 最n p ) 上至少存在一個不動點，即邊值問題( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 至少存在 一個非平凡解 定理3 3 1 設(shè)( h ) 一( ) 滿足，如果存在常數(shù)6 o ，使得( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 署1 1 ( 3 3 3 ) 成 一1 7 一 叁r_，、 - 第3 章奇異半正( 七，玎一k ) 多點邊值問題非平凡解的存在性 東北大學(xué)碩士學(xué)位論文 立，那么邊值問題( 3 1 1 ) ( 3 1 3 ) 至少存在一個非平凡解 證明類似定理3 3 1 推論3 3 1 設(shè)( q ) 一( b ) 滿足，如果存在常數(shù)6 + 。，使得廠( “) 一等，v “一6 + ， 其- q hm = m 。a x 。f 。 k ( 、x ，y ) ( y ) 咖n i n ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 滿足，則邊值問題( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 至 少存在一個非平凡解 證明定義 腳，= 餾j 囂， ( 4 妒) ( 石) = ：k ( x ，y ) h ( y ) f ( c p ( y ) ) d y ，x 0 , 1 1 ， 由定理3 1 1 知4 至少存在一個非零不動點驢，則 驢( x ) = 小( 訓(xùn)涉(