第二章 函數(shù) 專題四 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)問題 教案.doc

專題四利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)問題王肇堃專題四利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)問題一、單參數(shù)放在不等式上型：【例題1】（07全國(guó)理）設(shè)函數(shù)若對(duì)所有都有，求的取值范圍解：令，則，（1）若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，時(shí)，即（2）若，方程的正根為，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是說明：上述方法是不等式放縮法也可以用羅比達(dá)法則求解，方法如下：解：顯然，當(dāng)時(shí)，取任何實(shí)數(shù)成立當(dāng)時(shí)，不等式成立，等價(jià)于令，令，即在遞增，于是，即在遞增，滿足條件的的取值范圍是【針對(duì)練習(xí)1】（10課標(biāo)理）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍解：，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，由可得從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，綜合得的取值范圍為說明：本題可采用下述方法：解：，令，于是當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞增，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，在遞減，而，即，在遞減，而，不滿足條件，的取值范圍為【例題2】（07全國(guó)文）設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值（1）求、的值；（2）若對(duì)于任意的，都有成立，求的取值范圍解：（1），函數(shù)在及取得極值，則有，即，解得，（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，則當(dāng)時(shí)，的最大值為對(duì)于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范圍為最值法總結(jié)：區(qū)間給定情況下，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值【針對(duì)練習(xí)2】（07重慶理）已知函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù)（1）試確定、的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍解：（1）由題意知，因此，從而又對(duì)求導(dǎo)得由題意，因此，解得（2）由（1）知，令，解得當(dāng)時(shí)，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)為增函數(shù)因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使恒成立，只需即，從而，解得或的取值范圍為【針對(duì)練習(xí)3】（10天津文）已知函數(shù)，其中若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍解：令，解得或針對(duì)區(qū)間，需分兩種情況討論：增極大值減若，則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)得到因此在區(qū)間上，恒成立，等價(jià)于，即，解得，又，若，則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：增極大值減極小值增在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)或處得到因此在區(qū)間上，恒成立，等價(jià)于，即，解得或，又，綜合，的取值范圍為【例題3】（08湖南理）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意的都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值解：（1）函數(shù)的定義域是，設(shè)則，令，則當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)在處取得極大值，而，函數(shù)在上為減函數(shù)于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）不等式等價(jià)于不等式，由知，設(shè)，則由（1）知，即，于是在上為減函數(shù)故函數(shù)在上的最小值為a的最大值為小結(jié)：解決此類問題用的是恒成立問題的變量分離的方法，此類方法的解題步驟是：分離變量；構(gòu)造函數(shù)（非變量一方）；對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)求最值（一般需要求導(dǎo)數(shù),有時(shí)還需求兩次導(dǎo)數(shù)）；寫出變量的取值范圍【針對(duì)練習(xí)4】（10全國(guó)1理）已知，若，求的取值范圍解：，題設(shè)等價(jià)于令，則當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，是的最大值點(diǎn)，的取值范圍是【針對(duì)練習(xí)5】若對(duì)所有的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由題意有：在上恒成立，令，于是只需要滿足，此時(shí)既不好找的零點(diǎn)，也不好判斷它的正負(fù)，令，于是在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，的取值范圍是說明：以上方法參數(shù)分離構(gòu)造函數(shù)法【例題4】（13新課標(biāo)理改編）已知函數(shù)，若時(shí)，求的取值范圍解法一：（變量分離法）：若，即時(shí)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，由得，即若，即時(shí)，若，即時(shí)，由（1）知，在上遞增，由得綜上所述，的取值范圍為評(píng)析：分類的標(biāo)準(zhǔn)是以，為標(biāo)準(zhǔn)選取的，此題選取此解法簡(jiǎn)單明了，值得思考和借鑒解法二：原答案有改動(dòng)（直接構(gòu)造函數(shù)法）：設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，在上遞減，且，不恒成立當(dāng)時(shí)，令得，若，即時(shí)，時(shí)，；時(shí)，在上遞減，在上遞增，故在取最小值，而，于是，解得，即，解得若，即時(shí)，則，在上，在上遞增，又，成立，滿足若，時(shí)，在上遞增，又，在上不恒成立綜上所述，的取值范圍為評(píng)析：針對(duì)本題解析第二問解答總結(jié)如下：分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn)選取是關(guān)鍵，對(duì)含有字母的：一級(jí)分類按有解和無解分、兩類；二級(jí)分類是對(duì)時(shí)考察，二者大小，分，分三類解法三：原答案（直接構(gòu)造函數(shù)法）：設(shè)函數(shù)，則有題設(shè)可得，即令得，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在取最小值，而，當(dāng)時(shí)，即恒成立，即時(shí)，則，在上，在上遞增，又，成立，滿足若，時(shí)，在上遞增，又，在上不恒成立綜上所述，的取值范圍為評(píng)析：本題解答的技巧和閃光點(diǎn)是時(shí)恒成立構(gòu)造的函數(shù)恒成立，即從而，從而可比較，二者大小，分，分三類，解法簡(jiǎn)捷，大大減少了運(yùn)算量，體現(xiàn)了很好的區(qū)分度【針對(duì)練習(xí)6】（13大綱文改編）已知函數(shù)，若時(shí)，求的取值范圍解：由得，當(dāng)，時(shí)，在是增函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，綜上，的取值范圍是說明：本題是在給定的區(qū)間上，不等式恒成立問題，可以用變量分離法處理，具體過程如下：，由得令，則再令，在遞增，于是，即在遞減，于是，即，故的取值范圍是二、單參數(shù)放在區(qū)間上型：【例題5】已知三次函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，并且在處有極值（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1），于是過點(diǎn)處的切線為，又切線經(jīng)過點(diǎn)，在處有極值，又，由解得：，（2），由得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)不恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恒成立，的取值范圍為【針對(duì)練習(xí)7】（07陜西文）已知在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，又（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍解：（1），由已知，即解得，（2）令，即，或又在區(qū)間上恒成立，三、雙參數(shù)中知道其中一個(gè)參數(shù)的范圍型：【例題6】（07天津理）已知函數(shù)，其中，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，顯然這時(shí)在，上內(nèi)是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)（2）法一：化歸為最值由（2）知，在上的最大值為與的較大者，對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)成立從而得，滿足條件的的取值范圍是法二：變量分離，即令，在上遞減，最小值為，從而得，滿足條件的的取值范圍是或用，即，進(jìn)一步分離變量得，利用導(dǎo)數(shù)可以得到在時(shí)取得最小值，從而得，滿足條件的的取值范圍是法三：變更主元在上恒成立，即，在遞增，即的最大值為以下同上法說明：本題是在對(duì)于任意的，在上恒成立相當(dāng)于兩次恒成立，這樣的題，往往先保證一個(gè)恒成立，在此基礎(chǔ)上，再保證另一個(gè)恒成立【例題7】設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：在上恒成立，即在上恒成立由條件得，又，即設(shè)，則令，當(dāng)，；當(dāng)，時(shí)，于是，在遞減，的最小值為，因此滿足條件的的取值范圍是【針對(duì)練習(xí)8】設(shè)函數(shù)，其中，若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍解：由條件可知，從而恒成立當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中較大者為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，在上恒成立，因此滿足條件的的取值范圍是四、雙參數(shù)中的范圍均未知型：【例題8】（10湖南理）已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒有（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意，不等式恒成立，求的最小值解：（1）易知由題設(shè)，對(duì)任意的，即恒成立，從而于是，且，因此故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有令，則，而函數(shù)的值域是因此，當(dāng)時(shí)，的取值集合為當(dāng)時(shí)，由（1）知，此時(shí)或，從而恒成立綜上所述，的最小值為【針對(duì)練習(xí)9】若圖象上斜率為3的兩切線間的距離為，設(shè)（1）若函數(shù)在處有極值，求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：，由有，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為或，整理得或，解得，（1），在處有極值，即，解得，（2）函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上恒成立，即，在上恒成立，的取值范圍是五、雙參數(shù)中的線性規(guī)劃型：【例題9】（12浙江理）已知，函數(shù)（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上遞增，此時(shí)的最大值為：；當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上遞減，在上遞增，在上的最大值為：綜上所述：函數(shù)在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，列表可得，當(dāng)時(shí)，（2）由知：函數(shù)在上的最大值為，由知：，于是對(duì)恒成立的充要條件為：或，在坐標(biāo)系中，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，其中不包括線段作一組平行線，得，的取值范圍為【針對(duì)練習(xí)10】已知函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的兩個(gè)極值點(diǎn)，恒滿足，求的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，令得，令得的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2），由已知，是方程的兩個(gè)根，即，是方程的兩個(gè)根，記，則，即，上述關(guān)于，的不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示把變形為，此式表示斜率為，在軸上的截距為的一組平行線當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最小解方程組，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，解方程組，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)的取值范圍是六、雙參數(shù)中的絕對(duì)值存在型：【例題10】（06湖北理）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若存在，使得成立，求的取值范圍解：（1），由，得，即得，則令，得或，由于是極值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上，為減函數(shù)；在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上，為減函數(shù)；在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù)（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上的值域是，而，那么在區(qū)間上的值域是又在區(qū)間上是增函數(shù)，且它在區(qū)間上的值域是，由于，只須僅須且，解得故的取值范圍是【針對(duì)練習(xí)11】（10遼寧理）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，如果對(duì)任意，求的取值范圍解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得則當(dāng)時(shí)，；時(shí)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)