南京市2013年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試

南京市 2013 年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試 數(shù) 學(xué) 注意事項： 1. 本試卷共 6 頁。全卷滿分 120 分。考試時間為 120 分鐘?？忌痤}全部答在答題卡上，答在本試卷上無效。 2. 請認(rèn)真核對監(jiān)考教師在答題卡上所黏貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符，再將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上。 3. 答選擇題必須用 2B 鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后， 再選涂其他答案。答非選擇題必須用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置， 在其他位置 答題一律無效。 4. 作圖必須用 2B 鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚。 一、 選擇題 (本大題共 6 小題，每小題 2 分，共 12 分。在每小題所給出的四個選項中，恰 有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上 ) 1. 計算 127(4)8(2)的結(jié)果是 (A) 24 (B) 20 (C) 6 (D) 36 答案 ： D 解析 ：原式 12 28 4 36，選 D。 2. 計算 a3 ( 1 a )2 的結(jié)果是 (A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9 答案 ： A 解析 ： 原式 321aaa ，選 A。 3. 設(shè)邊長為 3 的正方形的對角線長為 a，下列關(guān)于 a 的四種說法： a 是無理數(shù)； a可以用數(shù)軸上的一個點來表示 ； 3a4； a 是 18 的算術(shù)平方根。其中，所有正確說法的序號是 (A) (B) (C) (D) 答案 ： C 解析 ：由勾股定理，得： 32a 4.2 ，所以， 錯誤，其它都正確。 4. 如圖，圓 O1、圓 O2 的圓心 O1、 O2 在直線 l 上，圓 O1 的半徑為 2 cm，圓 O2 的半徑為 3 cm，O1O2=8 cm。圓 O1 以 1 cm/s 的速度沿直線 l 向右運動， 7s 后停止運動，在此過程中，圓 O1與圓 O2 沒有出現(xiàn)的位置關(guān)系是 (A) 外切 (B) 相交 (C) 內(nèi)切 (D) 內(nèi)含 答案 ： D 解析 ： 7s 后兩圓剛好內(nèi)切，所以，外切、相交、內(nèi)切都有，沒有內(nèi)含，選 D。 5. 在同一直線坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù) y=k1x 的圖像與反比例函數(shù) y= k2 x 的圖像沒有公共點，則 (A) k1k20 (C) k1k20 答案 ： C l O1 O2 解析 ：當(dāng) k10， k20 時，正比函數(shù)經(jīng)過一、三象限，反比函數(shù)在二、四象限，沒有交點；當(dāng) k1 0， k2 0 時，正比函數(shù)經(jīng)過二、四象限，反比函數(shù)在一、三象限，沒有交點；所以，選 C。 6. 如圖，一個幾何體上半部為正四棱椎，下半部為立方體，且有一個面涂 有顏色，下列圖形中，是該幾何體的表面展開圖的是 答案 ： B 解析 ：涂有顏色的面在側(cè)面，而 A、 C 還原后，有顏 色的面在底面，故錯； D 還原不回去，故錯，選 B。 二、填空題 (本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分 ) 7. 3 的相反數(shù)是 ； 3 的倒數(shù)是 。 答案 ： 3； 1 3 解析 ：負(fù)數(shù)的相反數(shù)為正數(shù)，絕對值相等，一個數(shù)的倒數(shù)是將原數(shù)分子與分母對換位置。 8. 計 算 3 2 1 2 的結(jié)果是 。 答案 ： 2 解析 ：原式 3 2 2 222 9. 使式子 1 1 x1 有意義的 x 的取值范圍是 。 答案 ： x1 解析 ：當(dāng) x 1 時，分母為 0 沒有意義，故 x1 10. 第二屆亞洲青年運動會將于 2013 年 8 月 16 日至 24 日在南京舉辦，在此期間約有 13000 名青少年志愿者提供服務(wù)，將 13000 用科學(xué)記數(shù)法表示為 。 答案 ： 1.3104 解析 ： 科學(xué)記數(shù)法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 為整數(shù)確定 n 的值時，要看把原數(shù)變成 a 時，小數(shù)點移動了多少位， n 的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同當(dāng)原數(shù)絕對值 1 時， n 是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值 1 時， n 是負(fù)數(shù) 13000 1.3104 11. 如圖，將矩形 ABCD 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)到矩形 ABCD的位置， 旋轉(zhuǎn)角為 (090)。若 1=110，則 = 。 答案 ： 20 解析 ： B A B D A D ，延長 CD 交 CD 于 E，則 CEC =20， D ED=160，由四邊形的內(nèi)角和為 360，可得 =20 A B C D B 1 C D 12. 如圖，將菱形紙片 ABCD 折迭，使點 A 恰好落在菱形的對稱中心 O 處，折痕為 EF。若菱形 ABCD 的邊長為 2 cm， A=120，則 EF= cm。 答案 ： 3 解析 ：點 A 恰好落在菱形的對稱中心 O 處，如圖， P 為 AO 中點，所以 E 為 A 職點， AE 1， EAO=60， EP 32，所以， EF 3 13. OAB 是以正多邊形相鄰的兩個頂點 A、 B 與它的中心 O 為頂點的三角形。若 OAB 的 一個內(nèi)角為 70，則該正多邊形的邊數(shù)為 。 答案 ： 9 解析 ：若 OAB OBA 70，則 BOA 40，邊數(shù)為： 36040 9； 若 BOA 70，則邊數(shù)為： 36070不可能，因此，邊數(shù)為 9。 14. 已知如圖所示的圖形的面積為 24，根據(jù)圖中的條件，可列出 方程： 。 答案 ： 本題答案不唯一，如 (x1)2=25； 解析 ：把缺口補回去，得到一個面積 25 的正方形，邊長為 x 1。 15. 如圖，在梯形 ABCD 中， AD/BC， AB=DC， AC與 BD 相交 于點 P。已知 A(2, 3)， B(1, 1)， D(4, 3)，則點 P 的坐標(biāo)為（ ， ） 。 答案 ： 3； 7 3 解析 ：如圖，由對稱性可知 P 的橫坐標(biāo)為 3， PE BEDF BF ，即 223PE ，所以， PE 43 ， 43 1 7 3 故 P 的坐標(biāo)為（ 3， 7 3 ）。 16. 計算 (1 1 2 1 3 1 4 1 5 )( 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 )(1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 )( 1 2 1 3 1 4 1 5 )的結(jié)果是 。 答案 ： 1 6 x y A B C D P O 解析 ：設(shè) x 1 2 1 3 1 4 1 5 ，則原式（ 1 x）（ x 16）（ 1 x 16） x 16 三、解答題 (本大題共 11 小題，共 88 分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字 說明、證明過程或演算步驟 ) 17. (6 分 ) 化簡 ( 1 ab b a2b2 ) a ab 。 解析 ： 解： ( 1 ab b a2b2 ) a ab = (ab)b (ab)(ab) ab a = a (ab)(ab) ab a = 1 ab 。 18. (6 分 ) 解方程 2x x2 =1 1 2x 。 解析 ： 方程兩邊同乘 x2，得 2x=x21。解這個方程，得 x= 1。 檢驗： x= 1 時， x20， x= 1 是原方程的解。 (6 分 ) 19. (8 分 ) 如圖，在四邊形 ABCD 中， AB=BC，對角線 BD 平分 ABC， P 是 BD 上一點，過點 P 作 PMAD， PNCD，垂 足分別為 M、 N。 (1) 求證： ADB=CDB； (2) 若 ADC=90，求證：四邊形 MPND 是正方形。 解析 ： 證明： (1) BD 平分 ABC， ABD=CBD。又 BA=BC， BD=BD， ABD CBD。 ADB=CDB。 (4 分 ) (2) PMAD， PNCD， PMD=PND=90。 又 ADC=90， 四邊形 MPND 是矩形。 ADB=CDB， PMAD， PNCD， PM=PN。 四邊形 MPND 是正方形。 (8 分 ) 20. (8 分 ) (1) 一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白的球各一個，這些球除顏色外都相同。求下列事件的概率： 攪勻后從中任意摸出 1 個球，恰好是紅球； 攪勻后從中任意摸出 1 個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1 個球，兩次都是紅球； (2) 某次考試有 6 道選擇題，每道題所給出的 4 個選項中，恰有一項是正確的，如果小明從每道題的 4 個選項中隨機地選擇 1 個，那么他 6 道選擇題全部選擇正確的概 率是 (A) 1 4 (B) ( 1 4 )6 (C) 1( 1 4 )6 (D) 1( 3 4 )6 解析 ： (1) 解： 攪勻后從中任意摸出 1 個球，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：紅、黃、藍(lán)、白，共有 4 種，它們出現(xiàn)的可能性相同。所有的結(jié)果中，滿足 “恰好是紅球 ”(記為事件 A)的結(jié)果只有 1 種，所以 P(A)= 1 4 。 攪勻后從中任意摸出 1 個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意A B C D N M P 摸出 1 個球，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有： (紅，紅 )、 (紅，黃 )、 (紅，藍(lán) )、 (紅，白 )、 (黃，紅 )、 (黃，黃 )、 (黃，藍(lán) )、 (黃，白 )、 (藍(lán)，紅 )、 (藍(lán)，黃 )、 (藍(lán)，藍(lán) )、 (藍(lán)， 白 )、 (白，紅 )、 (白，黃 )、 (白，藍(lán) )、 (白，白 )，共有 16 種，它們出現(xiàn)的可能 性相同。所有的結(jié)果中，滿足 “兩次都是紅球 ”(記為事件 B)的結(jié)果只有 1 種， 所以 P(B)= 1 16 。 (6 分 ) (2) B (8 分 ) 21. (9 分 ) 某校有 2000 名學(xué)生，為了解全校學(xué)生的上學(xué)方式， 該校數(shù)學(xué)興趣小組在全校隨機 抽取了 150 名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查 。整體樣本數(shù)據(jù)，得到下列圖表： (1) 理解畫線語句的含義，回答問題：如果 150 名學(xué)生全部在同一個年級抽取，這樣的抽樣是否合理？請說明理由： (2) 根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，將估計出的全校 2000 名學(xué)生上學(xué)方式的情況繪制成條形統(tǒng)計 圖； (3) 該校數(shù)學(xué)興趣小組結(jié)合調(diào)查獲取的信息，向?qū)W校提出了一些建議。如：騎車上學(xué)的學(xué)生數(shù)約占全校的 34%，建議學(xué)校合理安排自行車停車場地。請你結(jié)合上述統(tǒng)計的全過程，再提出一條合理化建議： 。 解析 ： 解： (1) 不合理。因為如果 150 名學(xué)生全部在同一個年級抽取，那么全校每個學(xué)生被抽到 的機會不相等，樣本不具有代表性。 (2 分 ) 某校 150 名學(xué)生上學(xué)方式 扇形統(tǒng)計圖 其它 步行 騎車 乘私家車 乘公共 交通工具 6% 10% 34% 30% 20% 某校 150 名學(xué)生上學(xué)方式 頻數(shù)分布表 方式 劃記 頻數(shù) 步行 正正正 15 騎車 正正正正正正正正正正正 51 乘公共交通工具 正正正正正正正正正 45 乘私家車 正正正正正正 30 其它 正正 9 合計 150 700 人數(shù) 某校 2000 名學(xué)生上學(xué)方式條形統(tǒng)計圖 600 500 400 300 200 100 步行 騎車 乘公共 交通工具 乘私家車 其它 上學(xué)方式 700 人數(shù) 某校 2000 名學(xué)生上學(xué)方式條形統(tǒng)計圖 600 500 400 300 200 100 步行 騎車 乘公共 交通工具 乘私家車 其它 上學(xué)方式 (3) 本題答案不唯一，下列解法供參考。 乘私家車上學(xué)的學(xué)生約 400 人，建議學(xué)校與交通部門協(xié)商 安排停車區(qū)域。 (9 分 ) 22. (8 分 ) 已知不等臂蹺蹺板 AB 長 4m。如圖 ，當(dāng) AB 的一端碰到地面時， AB 與地面的夾 角為 ；如圖 ，當(dāng) AB 的另一端 B 碰到地面時， AB 與地面的夾角為 。求蹺蹺板 AB 的支撐點 O 到地面的高度 OH。 (用含 、 的式子表示 ) 解析 ： 解：在 Rt AHO 中， sin= OH OA ， OA= OH sin 。 在 Rt BHO 中， sin= OH OB ， OB= OH sin 。 AB=4， OAOB=4，即 OH sin OH sin =4。 OH= 4sinsin sinsin (m)。 (8 分 ) 23. (8 分 ) 某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品案標(biāo)價的 80%出售，同時，當(dāng)顧客在商場內(nèi)消費滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額。 消費金額 (元 ) 300400 400500 500600 600700 700900 返還金額 (元 ) 30 60 100 130 150 注： 300400 表示消費金額大于 300 元且小于或等于 400 元，其他類同。 根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如，若購買標(biāo)價為 400 元的商品，則消費金額為 320 元，獲得的優(yōu)惠額為 400(180%)30=110(元 )。 (1) 購買一件標(biāo)價為 1000 元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？ (2) 如果顧客購買標(biāo)價不超過 800 元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于 226 元，那么該商品的標(biāo)價至少為多少元？ 解析 ： 解： (1) 購買一件標(biāo)價為 1000 元的商品，消費金額為 800 元， 顧客獲得的優(yōu)惠額為 1000(180%)150=350(元 )。 (2 分 ) (2) 設(shè)該商品的標(biāo)價為 x 元。 當(dāng) 80%x500，即 x625 時，顧客獲得的優(yōu)惠額不超過 625(180%)60=185226； 當(dāng) 50080%x600，即 625x750 時， (180%)x100226。 解得 x630。 所以 630x750。 當(dāng) 60080%x80080%，即 750226。 綜上，顧客購買標(biāo)價不超過 800 元的商品，要使獲得的優(yōu)或額不少于 226 元， 那么該商品的標(biāo)價至少為 630 元。 (8 分 ) 24. (8 分 ) 小麗駕車從甲地到乙地。設(shè)她出發(fā)第 x min 時的速度為 y km/h，圖中的折線表示她在整個駕車過程中 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系。 (1) 小麗駕車的最高速度 是 km/h； (2) 當(dāng) 20x30 時，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出小麗出發(fā)第 22 min 時的速度； O A B A B H O H (3) 如果汽車每行駛 100 km 耗油 10 L，那么小麗駕車從甲地到乙地共耗油多少升？ 解析 ： 解： (1) 60； (1 分 ) (2) 當(dāng) 20x30 時，設(shè) y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=kxb。 根據(jù)題意，當(dāng) x=20 時， y=60； 當(dāng) x=30 時， y=24。 所以 60=20kb24=30kb， 解得 k= 3.6b=132 。所以， y 與 x 之間 的函數(shù)關(guān)系式為 y= 3.6x132。 當(dāng) x=22 時， y= 3.622132=52.8。 所以，小麗出發(fā)第 22min 時的速度 為 52.8km/h。 (5 分 ) (3) 小麗駕車從甲地到乙地行駛的路程為 012 2 5 60 1260 2 5 60 60 10 60 6024 2 10 60 2448 2 5 60 48 10 60 480 2 5 60 =33.5(km)。 所以，小麗駕車從甲 地到乙地共耗油 33.5 10 100 =3.35(L) (8 分 ) 25. (8 分 ) 如圖， AD 是圓 O 的切線，切點為 A， AB 是圓 O 的弦。過點 B 作 BC/AD，交圓 O 于點 C，連接 AC，過 點 C 作 CD/AB，交 AD 于點 D。連接 AO 并延長交 BC 于點 M，交過點 C 的直線于點 P，且 BCP=ACD。 (1) 判斷直線 PC 與圓 O 的位置關(guān)系，并說明理由： (2) 若 AB=9， BC=6，求 PC 的長。 解析 ： 解法一： (1) 直線 PC 與圓 O 相切。 如圖 ，連接 CO 并延長，交圓 O 于點 N，連接 BN。 AB/CD， BAC=ACD。 BAC=BNC， BNC=ACD。 BCP=ACD， BNC=BCP。 CN 是圓 O 的直徑， CBN=90。 方法指導(dǎo) 如 果物體的運動速度隨著時間均勻增加 (或減少 )，那么其在某個時間段內(nèi)的平均速度為該時間段開始時刻的速度與結(jié)束時刻的速度的平均數(shù)。例如，由圖像可知，第 5 min 到第 10 min 汽車的速度隨著時間均勻增加，因此汽車在該時間段內(nèi)的平均速度為 1260 2 =36(km/h)。該時間 段行 駛的 路程 為 36 105 60 =3(km)。 A B C D x(min) y(km/h) 240 480 720 O 100 200 300 400 500 E F A B C D O M P A B C D O M P N BNCBCN=90， BCPBCN=90。 PCO=90，即 PCOC。 又點 C 在圓 O 上， 直線 PC與圓 O 相 切。 (4 分 ) (2) AD 是圓 O 的切線， ADOA，即 OAD=90。 BC/AD， OMC=180OAD=90，即 OMBC。 MC=MB。 AB=AC。 在 Rt AMC 中， AMC=90， AC=AB=9， MC= 1 2 BC=3， 由勾股定理， 得 AM= AC 2MC 2 = 9232 =6 2 。 設(shè)圓 O 的半徑為 r。 在 Rt OMC 中， OMC=90， OM=AMAO=6 2 r， MC=3， OC=r， 由勾股定理 ， 得 OM 2MC 2=OC 2， 即 (6 2 r)232=r2。解得 r= 27 8 2 。 在 OMC 和 OCP 中， OMC=OCP， MOC=COP， OMC OCP。 OM OC = CM PC ，即 6 2 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。 PC= 27 7 。 (8 分 ) 解法二： (1) 直線 PC 與圓 O 相切。如圖 ，連接 OC。 AD 是圓 O 的切線， ADOA， 即 OAD=90。 BC/AD， OMC=180OAD=90， 即 OMBC。 MC=MB。 AB=AC。 MAB=MAC。 BAC=2MAC。又 MOC=2MAC， MOC=BAC。 AB/CD， BAC=ACD。 MOC=ACD。又 BCP=ACD， MOC=BCP。 MOCOCM=90， BCPOCM=90。 PCO=90，即 PCOC。又 點 C 在圓 O 上， 直線 PC 與圓 O 相切。 (2) 在 Rt AMC 中 ， AMC=90， AC=AB=9， MC= 1 2 BC=3， 由勾股定理，得 AM= AC 2MC 2 = 9232 =6 2 。 設(shè)圓 O 的半徑為 r。 在 Rt OMC 中， OMC=90， OM=AMAO=6 2 r， MC=3， OC=r， 由勾股定理 ， 得 OM 2MC 2=OC 2， 即 (6 2 r)232=r2。解得 r= 27 8 2 。 在 OMC 和 OCP 中， OMC=OCP， MOC=COP， A B C D O M P OMC OCP， OM OC = CM PC ，即 6 2 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。 PC= 27 7 。 (8 分 ) 26. (9 分 ) 已知二次函數(shù) y=a(xm)2a(xm) (a、 m 為常數(shù)，且 a0)。 (1) 求證 ： 不論 a 與 m 為何值 ， 該函數(shù)的圖像與 x 軸總有兩個公共點 ； (2) 設(shè)該函數(shù)的圖像的頂點為 C， 與 x 軸交于 A、 B 兩點 ， 與 y 軸交于點 D。 當(dāng) ABC 的面積等于 1 時 ， 求 a 的值 ： 當(dāng) ABC 的面積與 ABD 的面積相等時 ， 求 m 的值 。 解析 ： (1) 證明 ： y=a(xm)2a(xm)=ax2(2ama)xam2am。 因為當(dāng) a0 時 ， (2ama)24a(am2am)=a20。 所以 ， 方程 ax2(2ama)xam2am=0 有兩個不相等的實數(shù)根。 所以 ， 不論 a 與 m 為何值 ， 該函數(shù)的圖像與 x 軸總有兩個公共點。 (3 分 ) (2) 解： y=a(xm)2a(xm)=(x 2m1 2 )2 a 4 ， 所以，點 C 的坐標(biāo)為 ( 2m1 2 , a 4 )。 當(dāng) y=0 時 ， a(xm)2a(xm)=0。解得 x1=m， x2=m1。所以 AB=1。 當(dāng) ABC 的面積等于 1 時， 1 2 1| a 4 |=1。 所以 1 2 1( a 4 )=1，或 1 2 1 a 4 =1。 所以 a= 8，或 a=8。 當(dāng) x=0 時， y=am2am，所以點 D 的坐標(biāo)為 (0, am2am)。 當(dāng) ABC 的面積與 ABD 的面積相等時， 1 2 1| a 4 |= 1 2 1| am2am |。 所以 1 2 1( a 4 )= 1 2 1(am2am)，或 1 2 1 a 4 = 1 2 1(am2am)。 所以 m= 1 2 ， 或 m= 1 2 2 ， 或 m= 1 2 2 。 (9 分 ) 27. (10 分 ) 對于兩個相似三角形 ， 如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相同 ， 那么稱這兩個 三角形互為順相似 ； 如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相反 ， 那么稱這兩個三角形互為 逆相似。例如，如圖 ， ABC ABC且沿周界 ABCA 與 ABCA環(huán)繞的方向相同， 因此 ABC 與 ABC互為順相似；如圖 ， ABC ABC，且沿周界 ABCA 與 ABCA環(huán)繞的方向相反，因此 ABC 與 ABC互為逆相似。 A B C A B C A B C A B C (1) 根據(jù)圖 I、圖 II 和圖 III 滿足的條件，可得下列三對相似三角