（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）一類穩(wěn)定混合型間斷有限元方法.pdf

摘要 間斷有限元方法一定程度上保持了有限元的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)極大放松 對(duì)單元間連續(xù)性的要求，能夠更精確地逼近具有奇性、振蕩、邊界層等 特征的問題很多d g 格式，如局部間斷g a l e r k i n 有限元方法( l d g ) ，能 夠在形式上顯式求解，容易實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算，并且具有很好的穩(wěn)定性 本文主要考慮經(jīng)典橢圓方程的一個(gè)混合型間斷g a l e r k i n 方法的離散 格式，通常逼近格式的穩(wěn)定頊?zhǔn)怯山饣蛘咂涮荻仍趦?nèi)邊界上的跳躍值 來決定但本文給出的穩(wěn)定項(xiàng)是由單元上的殘量決定文中討論了格 式的有界性、穩(wěn)定性及相容性，并給出了在所定義范數(shù)下的最優(yōu)誤差 估計(jì) 關(guān)鍵詞：間斷有限元方法；穩(wěn)定性；相容性；誤差估計(jì) a b s t r a c t d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dk e e p sm a n ya d v a n t a g e so f c l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h - o d s t o t a l l yd i s c o n t i n u o n se l e m e n t sa l eu s e di nt h ea p p r o x i m a t i o ns c h e m e ，w h i c he n a b l e s d gm e t h o d st oc a p t u r eh i g ho s c i l l a t i o n so rv a r i a t i o n si nb o u n d a r yl a y e r s s o m ed gm e t h - o d s ，s u c ha sl d gm e t h o d ，c a l lb es o l v e ds y m b o l l y , a n dh a v en i c es t a b i l i z a t i o n i nt h i st h e s i sam i x e df i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o nj sc o n s i d e r e df o rp a s s i o ne q u a t i o n w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dh e wf o r m u l a t i o nf o rt h es t a b i l i z a t i o nw a si n t r o d u c e d i n s t e a do fl | s i n gaj u m po fs o l u t i o no ri t s 鏟a d i e n t 鷦i tw a su s u a l l yd o n ew e1 】s er e s i d u a l s t a b i l i z a t i o n t h eb o u n d e d n e e s ，s t a b i l i t ya n dc o n s i s t e n c ya l ep r e s e n t e d a n dt h eb a s i ce l r o t e s t i m a t e sa l eo b t a i n e dw i t hr e f q d e e tt ot h ed e f i n e dn o r m k e yw o r d s ：d i s c o m i n u o n s f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；s t a b i l i z a t i o n ；c o n s i s t e n c y ；e r r o r e s t i m a t e s 鄭重聲明 本人的學(xué)位論文是在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立完成的，學(xué)位論文沒有剽竊、抄襲等違 反學(xué)術(shù)道德的侵權(quán)行為，否則，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的一切法律責(zé)任和法律后 果，特此鄭重聲明 學(xué)位論文作者：7 滲友 訟6 年q 月日 引言 1 9 4 3 年c o u r a n t 提出了三角形網(wǎng)格剎分的d i r i c h l e t 問題的分片線性逼近f ”，這 是有限元最原始的思想我國計(jì)算數(shù)學(xué)家馮康先生獨(dú)立于西方也發(fā)現(xiàn)了這種方 法至今，有限元方法已成為一門理論完善、應(yīng)用廣泛的數(shù)值計(jì)算方法 現(xiàn)在有限元被廣泛應(yīng)用到二階橢圓問題、拋物問題、雙曲問題，流體中的 s t o k e s 問題等等目前，該領(lǐng)域的研究相當(dāng)活躍，隨著該門學(xué)科的發(fā)展，漸漸產(chǎn)生了 許多分支有限元離散求解，牽涉到線性方程組求解，隨之帶動(dòng)了線性方程組求解 技術(shù)的發(fā)展及有限元軟件的研究為了提高求解效率和精度，產(chǎn)生了如多重網(wǎng)格 方法、區(qū)域分解方法、水平集方法等新興的研究方向，求解問題的不同需求、計(jì) 算量設(shè)法減少以及變分形式的多樣性產(chǎn)生了如非協(xié)調(diào)元、混合元等方法 s o b o l e v 空間插值理論，有限維空間的構(gòu)造以及微分方程正則性理論都是有限 元方法能夠?qū)崿F(xiàn)的理論前提有限元方法的基本原理是將原始問題轉(zhuǎn)化為變分 形式，即弱形式在較弱的空間y 上求解，然后構(gòu)造出能逼近變分問題求解空間的 有限維空間，一般將求解區(qū)域q 剖分成許多小片，構(gòu)造分片多項(xiàng)式，進(jìn)而在有 限維空間求解這種方法稱為有限元方法若cv ，這種有限元稱為協(xié)調(diào)有限 元若仁v ，這種有限元稱為非協(xié)調(diào)的非協(xié)調(diào)有限元一度被稱為非標(biāo)準(zhǔn)的，因 它求出的解甚至根本不屬于原來的空間y 但近年來的數(shù)值實(shí)驗(yàn)和理論分析說 明這種方法在某些意義下有較好的收斂效果 間斷有限元方法就是一種非常實(shí)用的非標(biāo)準(zhǔn)有限元方法1 9 7 3 年由r e e d 和 h i l l 首先提出，應(yīng)用于求解中子運(yùn)輸問題上世紀(jì)八十年代后由b c o c k b u r n 和舒 其望結(jié)合r u n g e k u t t a 法，將間斷有限元推廣到非線性守恒律方程和方程組，給 出收斂性理論后，該方法逐漸應(yīng)用剄流體力學(xué)領(lǐng)域，諸如可壓縮的n a v i e r - s t o k e s 方 1 程，對(duì)流擴(kuò)散方程等問題的計(jì)算 間斷有限元方法因?yàn)檩^好的保留了有限元和有限差分的優(yōu)點(diǎn)，因此得到越來 越多的重視因?yàn)楸３至擞邢拊膬?yōu)點(diǎn)，能夠處理復(fù)雜的區(qū)域邊界和復(fù)雜的邊界 條件問題，易于網(wǎng)格加密和高精度處理邊界條件，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)算法由于吸收了差 分的一些特點(diǎn)，能夠顯式求解，容易實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算，一般具有很好的穩(wěn)定性缺點(diǎn) 是程序設(shè)計(jì)復(fù)雜，計(jì)算量比較大，隨著大型計(jì)算機(jī)和并行計(jì)算機(jī)的問世，間斷有限 元方法已經(jīng)能把低維問題推廣到高維了間斷有限元方法的文獻(xiàn)參見阻7 】、【1 2 - 1 3 l 等但這只是問題的一面，為了算得即快又準(zhǔn)，還必須將計(jì)算建立在更精密的數(shù)學(xué) 機(jī)理上，建立精確的誤差分析是提高效率的基礎(chǔ)最近也有一些構(gòu)造良好離散格 式的文獻(xiàn)，參見【8 、1 0 、1 1 】本文主要考慮經(jīng)典橢圓方程d i r i c h l e t 問題的一個(gè)穩(wěn)定 化混合型間斷g a l e r k i n 方法的離散格式通常逼近格式的穩(wěn)定項(xiàng)是由解或者其梯 度在內(nèi)邊界上的跳躍值來決定，但是本文給出的穩(wěn)定項(xiàng)是由單元上的殘量決定 文中討論了該離散格式的有界性，穩(wěn)定性及相容性，并給出了在所定義范數(shù)下的 誤差估計(jì) 2 本文的寫作安排如下： 第一章：介紹有限元及間斷有限元的預(yù)備知識(shí)，列舉本文所用到的記號(hào)和定理 第二章：本文考慮橢圓方程的一個(gè)的混合型離散格式討論了其性質(zhì)并給出了誤 差估計(jì) 3 第一章預(yù)備知識(shí) 1 1s o b o l e v 空間和泛函分祈的基礎(chǔ)知識(shí) 設(shè)形為n 維歐氏空間，n 為艫中的區(qū)域p ( q ) ( 1 p m ) 表示一切定義在 q 上的p 次可積函數(shù)組成的集合，l * ( q ) 表示一切定義在上q 的本性有界的可測(cè) 函數(shù)組成的集合c ”( q ) 表示區(qū)域q 上m 次連續(xù)可微的函數(shù)組成的集合e * ( q ) 表 示q 區(qū)域上無窮次連續(xù)可微函數(shù)組成的集合 定義1 1 定義范數(shù) o t 8 p m ) = ( i ( z ) l 氣b ) ；， 1s p ， ，o i i “l(fā) 一( n ) = e s s p i “( $ ) l ，p = ( 1 1 ) 到en 設(shè)r r t 為非負(fù)整數(shù)，1 p o o ，函數(shù)空間 i 覃7 m p ( q ) = 讓：d o 牡e ，( q ) ，i d i 1 ) ， 依范數(shù) 怕驢( 1 墓z m 耐，l _ p o o ( 1 2 ) 0 “l(fā) l m ，* 2 川m s a 。xi i z 弘“0 o t * ，p2 。0 構(gòu)成一個(gè)b a n a c h 空間，我們稱之為s o b o l e v 空間并定義半范數(shù) m 一一l 暑上m 耐，t 縱 i - i 。= , , x 嬰a x e s s s u p i d 4 u ( z ) i ，p = 0 0 i o l - - m z e i 孵”p ( q ) 為c 擴(kuò)( q ) 按范數(shù)。在空間內(nèi)的完備空同，則h 守，( q ) 也是個(gè)b a n a c h 空間 記 點(diǎn)p ( q ) = w 郵( n ) ，日礦( q ) = w 礦2 ( q ) ”i l 。= i i | | m t ：，i | h = i l 帕，f i m i i 。，。 則日”( q ) ，琊( q ) 是h i l b e r t 空間，其內(nèi)積為 ( “，t ，) m = ( 礦 ，礦口) ，口日”( q ) i l m 跡定理設(shè)有界區(qū)域qc 艫具有m 階光滑的邊界，“丑”( q ) 則存在與u 無關(guān)的常數(shù)c ，使得 i i t o ，a n g 0 t i i ，+ l ，v u 日m ( q ) ，0 歹s m 一1 ( 1 3 ) 當(dāng)艦是l i p s c m t z 連續(xù)盹有 i l u l lo t 鼬c l l “l(fā) l l ，v 日1 ( o ) 由于月鏟( q ) 是c 礦( n ) 的完備化空間，則根據(jù)跡算子的定義有 哪( n ) = “h m ( f 1 ) ：嘉l 舳_ 0 ，j = o l ，m l 如下不等式是s o b o l e v 空間中常用的不等式 ( 1 4 ) h i l d e r 不等式z 設(shè)1 p ，g 為一對(duì)共軛指數(shù)，即；+ ：= 1 ，且，驢( o ) ，g p ( q ) ，則 i 厶，扛) g ( 岔) 如l ( 矗i f ( x ) l 一婦) ；( 矗 雪( 霉) i a 如) m i n k o w s k i 不等式設(shè)1 s p ，l , g l p ( q ) ，則： ( 厶i ，0 ) + g ( 茁) f p 如) ；( 厶l ，( z ) i 嗨) ；+ ( 厶b ( l p 出) ； g r e e n 公式設(shè)暫，口日1 ( q ) ，則 z “嘉出z “筆如+ 厶伽c o s c 7 閩“ c 刀 5 其中q 為錐形區(qū)域鋤逐段光滑，7 為外法線方向設(shè)u 珥( q ) ，口h 1 ( 囝，則 z u 蠡如一z ”鑫如 設(shè)“e h 2 ( q ) ，t ，h 1 ( q ) ，在g r e e n 公式( 1 7 ) 中用嘉代替u 后對(duì)i 個(gè)變量求和， 則有 f ?！? u0 v ；如= 一z 舭厶考嘶 s ， g r e e n 公式把微分方程納入泛函框架，從而甩泛函分析研究微分方程和有限元 1 2 有限元空間的一些性質(zhì) 在區(qū)域q 建立一個(gè)剖分 ，將q 分割為有限個(gè)具有l(wèi) i p s c b i t z 連續(xù)邊界的相互 之間沒有公共點(diǎn)的內(nèi)部非空的有界閉集k 之和，即磊= u k ：k 以 k 稱為 割分單元h = m a x d i a m f ：r ) ，稱為剖分直徑常用到三角剖分、矩形剖分任 意四邊行剖分等剖分形式 定義1 2有限維空間k 稱為相應(yīng)于剖分以的有限元空間，如果對(duì)每個(gè) k ，集合f k = 仞：p = i k ，v v h k ) 是k 上的某一多項(xiàng)式類，并且存在一 個(gè)自由度集合膏= 1 l ) ，它是唯一可解的，即任給他，1 t ， 存在唯一一個(gè)函數(shù)p 氏滿足 如= 啦，l s i s 三元集合 k 忍，x ) 稱為一個(gè)有限元這里一般要求屬于某個(gè)s o b o l e v 空間 常用的插值空間 k = t h m ( n ) ：t ， i k p k ，k j h c 刀m + 1 ( q ) 逆不等式設(shè)剖分 是擬一致的，是 上的分片多項(xiàng)式函數(shù)，1 r , q 6 o o ，l s m ，則存在常數(shù)c = c b ，y ，f ，m ，r ，g ) ，使得 ( i i “k ) ；c h 一“州o t ；一；h t 一”( i i j r ) ， ( 1 1 1 ) k j hk e j h 當(dāng)r = q = 2 時(shí)，則有 ( h ) s 洲一”( 呦， ( l 1 2 ) ( e j k e 由此可得有限元空間cw 1 一( q ) 上的一個(gè)常用的逆不等式 鯫l l ，p c h 10 卻，1 s p o o ，( 1 1 3 ) 定義1 3 給定有限元 k , p k ，眉) ，稱i i k v 為t ，h 。( k ) 0 是e 耳中出現(xiàn)的最 高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)) 的政一插值，如果 i i k v f k ，l ( i i k v ) = f ( 口) ，v l 乏k ( 1 9 ) 此時(shí)h k ：h 4 ( 耳) 一斥就稱為斥一插值k 為相應(yīng)于剖分 的有限元空間，稱h 為”日( q ) 到k 一插值，如果 r l h v k ，l ( 1 l h vl k ) = z ( k 口) v k j i ( 1 1 0 ) “：( q ) 一k 就稱為一插值算子有限元空間作為求解問題所在的無窮維空 間的一個(gè)近似空間，必須具有一定的逼近性質(zhì) 插值定理給定一個(gè)有限元仿射族，設(shè)相應(yīng)的剖分j r , = u k ) 是正則的，在 參考元( 霞，戶，勻上成立下列關(guān)系 h 1 9 ( 露) 一c o ( r ) ， 1 p ( 露) 一礦”一( 霞) ， 7 淼( 霞) ci 礦“e ( 霞) ， 不依賴k 的常數(shù)c ，使對(duì)任何k 以和函數(shù)”- 一( 霞) ，有 扣一v l m 舟e 危礦i 鏟1 一m i 叫 + 1 晶耳 ( 1 1 4 ) 扣一r l r v l , ，l t x c h ? 1 。 訓(xùn)+ l ，k ( 1 1 5 ) a q 是局部l i p s c h i t z 連續(xù)的 錨- a u ：= 。f 饑i n f。2, 忉 這里f l 2 ( f 1 ) ，方程的解滿足正則性條件利用有限元方法求解微分方程數(shù)值解， 其中( 扯t ，) = 厶v u v v d x ，( 口) = f n f v d 2 對(duì)問題( 1 。1 8 ) ，顯然y 秘8 ( t ，) 滿足l a x - m i l g r a m 定理的條件，因此( 1 2 0 ) 的解 存在唯一阿題( 1 1 9 ) 中需要適當(dāng)定義v h ，( ，) t ，及k 上的離散模，使其滿足 l a x - m i l g r a m 定理的條件 對(duì)于協(xié)調(diào)元，( 1 1 9 ) 中的a h ( ，) 取為n ( ，) 即可由于i i h t v h ，結(jié)合插值逼近定 理和c e a 引理可得到協(xié)調(diào)元的能量模誤差估計(jì)i i 一恢進(jìn)而，利用n i t s c h e 對(duì)偶 技巧可以得到“一的口模估計(jì) 對(duì)于非協(xié)調(diào)元而言，v h 仁v ，若可找到更大的空間s ) v 且s ) ，這時(shí)雙線 性型8 ( ，) 擴(kuò)展到s s 上的一個(gè)延拓a ( ，) f 可以擴(kuò)展到s 7 ，使得 a ( u ，t ，) = a ( u ，魄，移k ，( 口) = ，( 口) ，訛v 此時(shí)( 1 j 9 ) 中的( ，) 取為烈，) k 即可，如取似) 2 蓋上v t 協(xié)如 1 3 間斷有限元方法的一些基礎(chǔ)知識(shí) 我們?cè)O(shè)q 是一個(gè)有界多角形區(qū)域，并且在鼬上l i p s c h i t z 連續(xù)記靠為n 的一 個(gè)剖分，且q = ur ，瓢為瓦中的單元邊界的集合，破是內(nèi)部邊界的集合，2 是 r ，k 外部邊界的集合冉= 謹(jǐn)u 定義1 4 跳躍值和平均值取e 馥，設(shè)單元甄n 確= e ，對(duì)標(biāo)量函數(shù)。 驢( 0 ) ，我們記 v i i 。：= 腫k + ( 一n ) t ，k ， v e 程， t ，) l 。：= 些妻墊， ve 程， ”l 2 ( ) ，我們記 p l k ：= h i ， ve 露， 9 口扎：= ve e 2 ， 對(duì)向量函數(shù)r ( l 2 ) ) 2 ，我們記 h k ：= n t k i + ( 一n ) r i 硒， ve 馥 吼一墅凈，v e 馥， 對(duì)向量函數(shù)r ( 三? 磚2 ) ) 2 ，我們記 | r m _ n r , ve ， f ) k ：= r ， ve 8 用跳躍度和平均值來分部積分 。f a k u k t k n k = f e t ，k i t k l 竹一口k 2 t k 2 叫+ 正【t w t k n 】 c 即2e e z h t 2 = 五f ( z n 一鉤b b ) = 。筍+ 分虬+ v x 。2 ( r m 一，- k o ( 2 1 ) c c ： + 上【t k 7 k n 片】 c e c 碟 = 厶l v l r ) + 氐( t ， | r 1 簡單起見，取n r l k ，用高斯公式， j ；h r + 丘似h2 ；。泛佑船 ( 2 2 ) 2 ；厶v ( 咐詠) = 厶v h ( ) = f o v h u t + 厶口v a t 第- i 一類穩(wěn)定混合型間斷有限元方法在橢圓問題上的應(yīng)用 1 9 7 3 年r e e d 和h i l l 對(duì)雙曲問題提出了間斷g a l e r k i n 方法，后來被應(yīng)用到橢 圓同題和拋物問題。同時(shí)，獨(dú)立于間斷有限元方法的加罰方法也得到發(fā)展間斷 g a l e r k i n 方法研究橢圓方程和拋物方程的思想源于文獻(xiàn)【1 2 ，1 3 他們研究了可壓 縮的n a v i e r - s t o k e s 方程的數(shù)值解法，并產(chǎn)生了極為重要的影響 橢圓邊界同題的求解都要討論格式的穩(wěn)定性和收斂性，用間斷g m e r k i n 方法 研究問題構(gòu)造出離散格式性能優(yōu)良的文獻(xiàn)參見【8 ，1 0 1 b = 償t ， 其中q r 2 是一個(gè)有界多角形區(qū)域，并且在a n 上l z i p c h i t z 連續(xù)記磊為q 的一 個(gè)制分，且o = ur ，“為霸中的單元邊界的集合，e 2 是內(nèi)部邊界的集合，靠是 外部邊界的集合，魏= 硼u 引入輔助變量口= v u ，改寫經(jīng)典橢圓方程如下： q = 孔，v r 矗， 一v q 2 ， v r ( 2 2 ) i 硐i 。= 0 ， ve 馥， m k = o ， 桿 i i 本文采用【8 】的記號(hào)： l p l k = p 住+ 一，ve 馥， 糾i 。= p ”， ve 勰 p l l i 。= v n + j r ，ve 嘏， v i i 。= ) i t , ， ve 勰， p ) i 。= i ( p + 礦) ， ve 馥 p ) i 。= p ， ve a q ， ) i 。= p + t ，) ，ve 馥， 扣) l 。= 可， ve a n ( 2 3 ) k = = ：。 眨t ， 9 ) 2 1 薹 e i iz ，幽l 1 2 扣，”) 靠= w v d x , r 靠0 7 礦，a d s ， e e e j e r h = w v d s e e c j c 簡單起見，本文各處均用這種符號(hào)來表達(dá)積分 引理1 ：問題( 2 2 ) 與( 2 4 ) 是等價(jià)的，若( 2 4 ) 的解充分光滑 注：問題( 2 4 ) 可以理解為在單元內(nèi)部或邊界上的殘量形式的組合 2 2 離散格式的弱形式 定義間斷有限元( d g f e m ) 空間如下 k ：= 口f ( q ) lt ，i ，p 0 - ) ，v r 霸) ， ：= p ( l 2 ( ) 2 lp | ，( p ( 丁) ) 2 ，v 丁n 于是v hch 1 ) ，ch ( d i v ，靠) 從問題( 2 4 ) 可以直接離散一個(gè)格式：求( 螄) 碥，使得對(duì)所有( p ，移) 壇 ( 2 ，5 ) k ( q a - v h u h , p ) t 慧“+ 0 ，8 t b ( t ，口) c 甜i i “l(fā) l i i l l v l l l ，v 口v 穩(wěn)定性 引理3 ：如果k 1 ，那么問題( 2 1 4 ) 是穩(wěn)定的 證明：在( 2 1 4 ) 左端取口= “( v u ，v k ) ，有 b ( 。，“) = l l v 。+ 冗( 陋1 ) 睦n + i 兄( 川) l l 毒n ( 1 l v h u l l 3 , n4 - i i r ( m ) 惦n ) 由范數(shù)等價(jià)( ( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ) ，穩(wěn)定性成立， 注：實(shí)際上對(duì)任意的p ( 0 ，1 ) 都是成立的 一般地，有 了c 0 0 ， 。t b ( 口，t ，) 2 c , l l l l l l 2 ，v 口k 相容性 用精確解“去代替近似解，考慮到“是連續(xù)的，并且躍度為零 ( 2 1 5 ) 1 8 囂 糾 油 冽 圳 鼬 0 r 于是 b ( u ，口) = ( v u ，v h v + 冗( 1 口i ) ) 靠 = v u v h v d z 一正 v w u d s + r e t kc o = ( ，口) a b ( u 一讓 ，口) = 0 ， v t ，k 注：由“的齊次邊界條件，可消去殘量的穩(wěn)定項(xiàng)( r ( m ) ，r ( m ) ) 死 誤差估計(jì) 首先，假定k 1 ，根據(jù)逼近定理，我們有如下局部逼近性質(zhì)： i u u , i 。，s c h + 1 5 i 玨i 知+ 1 下，v r 孔，8 = 0 ，1 由引理2 和跡定理，有 川牡一釷川i g 臚m h l ，o 定理在引理2 , 3 的假設(shè)下，若缸臚+ 1 ( q ) ，則有如下的最優(yōu)估計(jì) t 一is6 h i i l ，n( 2 2 9 ) 證明：根據(jù)有界性( 2 2 2 ) ，穩(wěn)定性( 2 2 4 ) ，相容性( 2 2 6 ) ，逼近( 2 2 8 ) ，有 故有 c , i l l u , 一u h l i l 2 b ( u t u h ，t 一u h ) = b ( u z t u l u h ) i l i t ，一u l l i | i i t ，一u h g 臚i 讓i i + 1 ，a l l l u z 一 i “f 一牡 c h i t i h l ，n 由三角不等式得出最優(yōu)估計(jì)： 定理證畢 阻一“ 川sl i l u u , l l l + i i l u z 一“ l i lsc h 。l u l + l , f 1 2 0 參考文獻(xiàn) 1 1r c o u r a n t v a r i a t i o n a lm e t h o d sf o rt h es o l u t i o no fp r o b l e m so fe q u i l i b r i u ma n dv i b r a - t i o n s b u l l a m e r m a t h s o c 4 9 0 9 4 3 ) ：1 2 3 【2 jp g c i a r l e t t h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m ，n o r t h - h o l l a n dp u b l a m s t e r d a m ， 【3 】s c b r e n n e r ，l r s c o t t t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r k ，1 9 9 4 【4 1f b r e z z i ，j d o u g l a sj r ，l d m a r i n i n t w of a m i l i e so fm i x e d f i n i t ee l e m e n tf o rs e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，n u m e rm a t h 4 7 ( 1 9 8 5 ) ，2 1 7 - 2 3 5 【5 】f b r e z z i ，g m a n z i n i ，d m a r i n i n ，p p i e t r a , a n da r u s s o d i s c o n t i n u o u sf i u i n t ed e - m e n t 8f o r 衄u s i o np r o b l e m s ，a t t ic o n v e g n oi no n o r ed if b r i o s c h i ( m i l a n o1 9 9 7 ) ，i s t i t u t o l o m b a r d o ，a c c a d e m i ad is c i e n z eel e t t e r e ，1 9 9 9 ，1 9 7 - 2 1 7 【6 】b c o e k b u m ，a n dc d a w s o n a p p r o x i m a t i o no ft h ev e l o c i t yb yc o u p l i n gd i s c o n t i n u o u s g a l e r k i na n dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rf l o wp r o b l e m s c o m p u t a t i o n a lg e o s c i e n c e s 6 ( 2 0 0 2 ) ：5 0 2 - 5 2 2 ma m a s u d ，t j r h u g h e s as t a b i l i z e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rd a x c yf l o w c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g ，1 9 1 ( 2 0 0 2 ) ：4 3 4 1 4 3 7 0 i s f b r e z z i ，t j r h u g h e s ，l d m a r i n i ，a m a s u d m i x e dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h - o t i sf o rd a r c yf l o w j o u r n a lo fs c i e n t i f i cc o m p u t i n g2 2 ( 2 0 0 5 ) ：1 1 9 - 1 4 5 【9 】d n a r n o l d a ni n t e r i o rp e n a l t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hd i s c o n t i n u o u se l e m e n t s i a m j n u m e r a n a l 1 9 ( 1 9 8 2 ) ：7 2 4 - 7 6 0 【1 0 1t j r h u g h e s ，a m a s u d ，j w a n as t a b i l i z e dm i x e dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o r d a r c yf l o w ( mp r e p a r a t i o n ) 【1 1 】尹小紅計(jì)算經(jīng)典橢圓方程的局部i 可斷g a l e r k i n 方法，6 ( 2 0 0 5 ) ：5 0 - 5 2 【1 2 】f b a s s i ，g m a x i o t t i ，s p e d i n o t t i ，s r e b a y , m s a v i n i ah i g h - o r d e ra c c u r a t ed i s c o n t i n u o u s f i n i t em e t h o df o ri n v i s c i da n dv i s c o t l bt u r b o m a c h i n e r yf o l w ，i np r o c e e d i n g so ft h e2 e n d e u r o p e a nc o n f e r e n c eo i lt u r b o m a c h i n e r yf l u i dd = i r n 鋤j 娼a n dt h e r m o d y n a m i c s ，r d e c u y p e r e a n dg d i b e l i u s e ( 1 s ，1 9 9 7 ，9 9 - 1 0 8 【1 3 f b a s s i ，s r e b a y ah i g h - o r d e ra c c u r a t ed i s c o n t i n u o u sf i n i t em e t h o df o rt h es o l u t i o no f t h ec o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s j c o m p u t p h y s ，1 3 1 ( 1 9 9 7 ) ：2 6 7 - 2 7 9 【1 4 j 駱艷，馮民富s t o k e s 方程的穩(wěn)定化間斷有限元法2 ( 2 0 0 6 ) ：1 6 3 - 1 7 4 【1 5 】蔚喜軍，周鐵流體力學(xué)方程的局部間斷有限元方法2 ( 2 0 0 5 ) ：1 0 8 - 1 1 6 【1 6 1d y ，s h ia n dh q z h u t h es u p e r c o n v e r g e n c ea n a l y s i so fa na n i s o t r o p i ce l e m e n t j o u r n a l o fs y s t e ms c i e n c ea n dc o m p l e x i t y , 1 8 ：4