（理論物理專業(yè)論文）磁場(chǎng)下旋量凝聚體的自旋演化和一維玻色凝聚體的結(jié)構(gòu)相變.pdf

論文題目： 專業(yè)： 博士生： 指導(dǎo)老師： 磁場(chǎng)下旋量凝聚體的自旋演化和一維玻色凝聚體的結(jié)構(gòu)相變 理論物理 陳志鋒 李志兵( 教授) 摘要 1 9 9 5 年玻色一愛因斯坦凝聚( b e c ) 首次在實(shí)驗(yàn)上獲得成功，自此b e c 成為 實(shí)驗(yàn)和理論物理學(xué)界一個(gè)異彩紛呈的舞臺(tái)，至今方興未艾。b e c 是一種由宏觀數(shù) 目原子構(gòu)成的量子系統(tǒng)，所有原子都占據(jù)著能量最低的單粒子態(tài)( 有時(shí)也包括低 激發(fā)態(tài)) ，并在宏觀尺度上展現(xiàn)量子行為。 本文研究了外磁場(chǎng)作用下f = 1 旋量b e c 的自旋演化動(dòng)力學(xué)。通過對(duì)角化哈密 頓量，得到系統(tǒng)狀態(tài)的含時(shí)解析表達(dá)式，在單模近似下具有簡(jiǎn)單的形式。為了闡 明磁場(chǎng)對(duì)演化過程產(chǎn)生的影響，文中對(duì)召= o 和b o 兩種情況的演化特點(diǎn)進(jìn)行了 細(xì)致的比較。結(jié)果表明，磁場(chǎng)將引起各自旋分量原子占有數(shù)隨時(shí)間的強(qiáng)烈振蕩。 當(dāng)磁場(chǎng)足夠強(qiáng)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了一種由高低兩個(gè)頻率表征的新振蕩模式。 本文還研究了一維環(huán)上吸引相互作用b e c 的結(jié)構(gòu)相變。同樣通過對(duì)角化哈密 頓量，求得系統(tǒng)的低激發(fā)譜。我們發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相變表現(xiàn)為基態(tài)中基本對(duì)激 發(fā)的權(quán)重隨相互作用增強(qiáng)發(fā)生顯著變化。隨著相變發(fā)生，粒子的關(guān)聯(lián)變得非常強(qiáng)， 系統(tǒng)的y r a s t 態(tài)出現(xiàn)準(zhǔn)簡(jiǎn)并現(xiàn)像。我們還發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)相互作用域，環(huán)的微小形變 將導(dǎo)致各y r a s t 態(tài)強(qiáng)烈混合，形成破壞空間對(duì)稱性的集群結(jié)構(gòu)，并且引起平均角 動(dòng)量的大幅漲落。 在對(duì)角化哈密頓量時(shí)，我們使用了小體理論中的方法，其中應(yīng)用到母配分系 數(shù)。通過這種有效的方法，我們獲得了精確度很高的結(jié)果。 關(guān)鍵詞：玻色一愛因斯坦凝聚，自旋演化，母配分系數(shù)，結(jié)構(gòu)相變，準(zhǔn)簡(jiǎn)并 t i t l e ：e v o l u t i o no fs p i l l o rc o n d e n s a t e si i lm a g n e t i cf i e l d sa n ds t r u c t u r a l t r a i l s i t i o no f o n ed i m e n s i o n a lb o s ec o n d e n s a t e s m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e ：z h i f - e n gc h e n s u p e r y i s o r ：p r o z l l i b m gl i a b s t r a c t b o s e e i i l s t e i l lc o r l d e r l s a t i o n ( b e c ) w a sf i r s tr e a l i z e di 1 119 9 5 s i l l c et h e nb e ch a s b e e na na c t i v ef i e l do fb o t he x p e r i m e n t a ia n dt h e o r e t i c a ls t u d i e s 1 1 1 eb e cc o n s i s t so f am a c r o s c o p i cn u m b e ro fa t o m si 1 1t h es 鋤es i l l g l e - p a r t i c l es t a t eo ft b el o w e s te n e 略y ( s o m e t i r n e sa l s oi n c l u d i l l gt h e1 0 w e re x c i t e ds t a t e s ) t h ea t o m i cq u a n t 岫m a t t e r e x l l i b i t sq u a m u mb e h a v i o u ri i lam a c r o s c o p i cs c a l e t h es p i l lr 血i i l gd y n a m i c so fs p i i l - 1b e cu n d e ra ne ) ( t e m a lm a g n e t i cf i e l di s i i l v e s t i g a t e dmt h ep r e s e mp a p e r t h et 諭e d e p e n d e ms o l u t i o n sa r eo b t a 洫e dv i a d i a g o n a l i z a t i o no ft h eh a m i h o i l i a l l ，粗c hh a sas i i n p l ef o r mu n d e rt h es 迦l em o d e a p p r o x i i t l a t i o n n e 詫a t u r e so ft h ee v o l u t i o na r ec o m p a r e di nd e t a i lw i t ht h o s e 胤h t h ef i e l dr e i n o v e ds oa st oe m l ) 1 1 a s i z et h ee 虢c to ft h ef i e l d o u rr e s u l t ss h o wt h a tt h e f i e l dc a ni n d u c es t r o n go s c i l l a t i o i l si i l p o p u l a t i o i l s o fa t o i n si i ld i f 3 f e r e m s p i n c o m p o n e n t s an e wm o d eo fo s c i l l a t i o nc h a r a c t e r i z e db yal l i g h 舭q u e n c ya i l dal o w 舭q u e n c y ，i s 南u n dw h e nt h ef i e l di ss u 街c i e n t i ys t r o n g t h es t r u c t u r a lt r a l l s i t i o n 訪t h eb e c sw “ha t t r a c t i v e 缸e r a c t i o no nar i i 瑪i sa l s o s m d i e d n l e l o w - l y m gs p e c t m m i so b t a i l l e da l s ov i a d i a g o n a l i z a t i o no ft h e h a 衄1 t o n i a n w ef m dt l 謝t h et 瑚1 s i t i o ni sd e s c r i b e db yt h er e m a r k a b l ec h a n g eo ft h e w e i g h to fp a i re x c i t m gi 1 1 t h eg r o u n ds t a t ea st h ei r i e r a c t i o ns t r e n g t h 協(xié)c r e a s e s p a r t i c l ec o r r e l a t i o nb e c o m e sm u c h s t r o n g e r a i l dt h e y r a s t s t a t e sb e c o m e q u a s i - d e g e n e r a t e i nt h e s t r o n g i m e r a c t i o np h a s e w e a l s of - m dt h a ti i lt h e s t r o n g - n e r a c t i o np l l a s e ， as m a l ld e 南r m a t i o no ft h e r i r 塔 w i l lm i xt h e q u a s i - d e g e n e r a t e ) ，r a s ts t a t e st of o n nc l u s t e rs t a t e sw h i c hb r e a kt h es p a t i a ls y m m e t 呵 e x p l i c i t l ya n di m r o d u c e 地en u c t u a t i o no f t h ea v e r a g ea n g u l a u rm o i n e n t u l l l a 詫w - b o d ym e t h o d ，c 1 1 a r a c t e r 訖e db yt h e 納c t i o m lp a r e n t a g ec o e 伍c i e m s ，h a s b e e nu s e dmt h ed i a g o i l a l i z a t i o n 。w 她t h j sp o w e m lm e t h o d ，1 1 i 曲p r e c i s i o ns o l u t i o l l s b a v eb e e no b t a i 力e d k e yw o r d s ： b o s e e h l s t e i l lc o n d e n s a t i o 瑪 s p i i le v o l u t i o i l ，丘a c t i o n a lp a r e m a g e c o e 街c i e m s ，咖c t u r a lt r a i l s “i o i l ，q u a s i d e g e n e r a t e i i 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú) 立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論 文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文 的研究作出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均己在文中以明確方式標(biāo)明。本 人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：礫走銹 日期： 2 卯?dāng)U年占月爭(zhēng)日 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解中山大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué) 校有權(quán)保留學(xué)位論文并向國(guó)家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電 子版和紙質(zhì)版，有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論 文進(jìn)入學(xué)校圖書館、院系資料室被查閱，有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入 有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用復(fù)印、縮印或其他方法保存學(xué)位論文。 學(xué)位論文作者簽名：p 樂去鋒 日期：z 。年莎月牛日 導(dǎo)師簽名：季易 日期：妒陣月- 日 知識(shí)產(chǎn)權(quán)保護(hù)聲明 本人鄭重聲明：我所提交答辯的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師 指導(dǎo)下完成的成果，該成果屬于中山大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué) 院，受國(guó)家知識(shí)產(chǎn)權(quán)法保護(hù)。在學(xué)期間與畢業(yè)后以任何形式公開 發(fā)表論文或申請(qǐng)專利，均須由導(dǎo)師作為通訊聯(lián)系人，未經(jīng)導(dǎo)師的 書面許可，本人不得以任何方式，以任何其它單位做全部和局部 署名公布學(xué)位論文成果。本人完全意識(shí)到本聲明的法律責(zé)任由本 人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：徘去霹 日期：印釕占爭(zhēng) 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 第1 章緒論 1 9 2 5 年，愛因斯坦歷史性的預(yù)言：低溫下玻色氣體中的粒子將凝聚到相同的 量子態(tài)。這一低溫下奇特的物理現(xiàn)像被命名為玻色一愛因斯坦凝聚( b e c ) 。時(shí) 隔7 0 年，隨著激光冷卻和捕陷等技術(shù)的發(fā)展，人們終于在冷原子氣體中實(shí)現(xiàn)了 b e c 。b e c 是在宏觀尺度上展現(xiàn)的量子效應(yīng)，對(duì)它的研究已成為當(dāng)今物理學(xué)界 異?；钴S的一個(gè)領(lǐng)域。 1 1 歷史回顧 b e c 的研究歷史可以回溯到1 9 2 4 年，印度物理教師玻色( s b o s e ) 利用統(tǒng) 計(jì)方法推導(dǎo)出黑體輻射的光譜，由于未能把工作發(fā)表【l 】，玻色把手稿寄給愛因斯 坦( a e 缸t e i l l ) 請(qǐng)他審閱。愛因斯坦于是把玻色的文章翻譯成德文并發(fā)表，并 在此基礎(chǔ)上接連發(fā)表了兩篇文章【2 】，把玻色的理論推廣到無相互作用的理想氣 體，這就是著名的玻色一愛因斯坦統(tǒng)計(jì)理論。愛因斯坦敏銳的察覺到，由這種統(tǒng) 計(jì)理論可以推論出低溫下原子在各量子能級(jí)之間分布的奇異特性：在極低溫度 下，將有大份額的原子布居在能量最低的量子態(tài)上面! 這種現(xiàn)像就是今天我們所 熟知的玻色一愛因斯坦凝聚。實(shí)現(xiàn)凝聚的條件是原子的熱德布羅意波長(zhǎng)( 如) 要大于原子間的平均間距，使得原子波包出現(xiàn)重疊。 起初對(duì)于發(fā)生凝聚的預(yù)言，并沒有引起包括愛因斯坦本人在內(nèi)的物理學(xué)界的 廣泛關(guān)注。直到1 9 3 8 年，倫敦( f l o n d o n ) 提出超流和超導(dǎo)現(xiàn)像可能是b e c 的 表現(xiàn)1 3 ，4 。但這兩類現(xiàn)像都是出現(xiàn)在強(qiáng)相互作用體系中，原子間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)掩蓋了 b e c 的本質(zhì)。后來通過中子散射測(cè)量，發(fā)現(xiàn)超流液氦中只有約1 0 的原子凝聚。 于是人們轉(zhuǎn)向在弱相互作用玻色氣體中尋求實(shí)現(xiàn)b e c 。但面臨的一個(gè)嚴(yán)峻困難 是，多數(shù)氣體在極低溫度下將液化，或者原子先組合成分子繼而凝成固體，使得 原子的相互作用大大增強(qiáng)，破壞實(shí)現(xiàn)b e c 的條件。1 9 5 9 年h e c m 提出可以選擇 自旋極化氫原子氣體實(shí)現(xiàn)b e c 【5 】。理由是兩個(gè)自旋朝向相同的氫原子之間的吸引 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 作用非常弱，不足以形成束縛態(tài)，因而囚禁在磁場(chǎng)里的氫原子氣體可以有效避免 在低溫下形成分子或液化，從而為實(shí)現(xiàn)b e c 創(chuàng)造了有利條件。然而h e c h t 的想 法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了當(dāng)時(shí)的技術(shù)水平，因而沒有受到重視。事實(shí)上，由于在冷卻氫原子 氣體過程中遇到的困難，使得在較晚的1 9 9 8 年，m t 的印p n e r 小組才最終實(shí) 現(xiàn)了自旋極化氫原子氣體的b e c l 6 j 。 當(dāng)人們把希望的眼光投放在自旋極化氫原子氣體時(shí)候，對(duì)另一種b e c 候選 者的研究也在世界范圍內(nèi)進(jìn)行著，它就是堿金屬原子氣體。直到2 0 世紀(jì)8 0 年代 中期，激光冷卻和蒸發(fā)冷卻等實(shí)驗(yàn)技術(shù)有了長(zhǎng)足的發(fā)展，這些技術(shù)特別適用于冷 卻堿金屬原子氣體。經(jīng)過幾代人的不懈努力，1 9 9 5 年j i l a 、m i t 和r i c e 大學(xué)等 小組率先在8 7 r b 、2 3 n a 和7 l i 等堿金屬原子氣體中實(shí)現(xiàn)了b e c 【7 枷】。c e w e m a 璣 e a c o m e l l 和wk e t t e r l e 三位科學(xué)家因此而獲得2 0 0 1 年諾貝爾物理獎(jiǎng)。圖l 一1 是j i l a 小組在8 7 r b 實(shí)驗(yàn)中不同溫度下觀察到的原子密度分布。 圖1 11 9 9 5 年j i l a 小組在銣原子b e c 實(shí)驗(yàn)中觀察到的原子密度分布圖【1 1 】。 1 2b e c 的基本特性 b e c 是在宏觀尺度上展現(xiàn)的量子效應(yīng)。當(dāng)玻色氣體被冷卻到臨界溫度瓦以 下，將有大比例的原子凝聚到最低量子態(tài)。溫度丁下質(zhì)量為聊的原子可以被看 作一個(gè)量子波包，其空間范圍與相同溫度下的熱德布羅意波長(zhǎng) 2 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 如= 同量級(jí)。如的大小反映了由于熱運(yùn)動(dòng)而造成的位置不確定度，它隨溫度降低而 增大。當(dāng)原子被冷卻到如可以與原子間距相比擬時(shí)，原子波包即發(fā)生重疊，使 得原子變得不可分辨。此時(shí)玻色氣體開始進(jìn)入b e c 狀態(tài)，所有原子共同形成一 個(gè)宏觀的“原子云”，如圖1 2 所示。在b e c 里，所有原子占據(jù)著相同的量子態(tài)， 正如1 9 9 5 年1 2 月2 2 日s c i e n c e 雜志封面( 圖1 3 ) 所描述那樣，原子就像整齊 列隊(duì)的衛(wèi)兵，步調(diào)一致的行動(dòng)。 t _ t c r j t ： 8 0 s e e i n s 七e l n c o n d e n s a t i o n 一8 甜d 嘲破h 坩謝鑫v o w 剛弼， t = o ： p u r e b o n d e n 搴a 協(xié) g h n tm a 拍鉀w 糊。 圖1 2 不同溫度下玻色氣體的量子特性【1 2 1 。 1 3b e c 實(shí)驗(yàn)技術(shù)簡(jiǎn)介 從2 0 世紀(jì)中頁(yè)開始發(fā)展起來的利用磁場(chǎng)和激光對(duì)原子氣體進(jìn)行囚禁和冷卻， 還有對(duì)原子云成像等技術(shù)，為b e c 的實(shí)現(xiàn)及進(jìn)一步研究奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)將對(duì) 一系列相關(guān)實(shí)驗(yàn)技術(shù)作簡(jiǎn)單介紹。 1 3 1 原子囚禁技術(shù) 對(duì)中性原子進(jìn)行磁約束的理論基礎(chǔ)是塞曼效應(yīng)：原子的塞曼能級(jí)依賴于磁 3 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 場(chǎng)，因而處在非均勻磁場(chǎng)中的原子將感受到空問變化的勢(shì)場(chǎng)。假設(shè)塞曼能級(jí)線性 依賴于磁場(chǎng)強(qiáng)弱，對(duì)于磁偶極矩為i f ( 負(fù)) 的原子，將感受到把它推向磁場(chǎng)較強(qiáng) ( 弱) 方向的力。磁勢(shì)阱的深度決定于塞曼能b ，原子磁偶極矩的量級(jí)為玻爾 磁子( 月= p 充2 ) ，以溫度為單位大約是o 6 7 k 丁，而實(shí)驗(yàn)中的磁場(chǎng)一般認(rèn) 為小于1r ，故磁阱的深度將遠(yuǎn)小于1k 。這就要求原子必須事先冷卻到足夠低 溫才能被磁阱捕獲。 圖1 3b e c 中原子的行為( 1 9 9 5 年1 2 月2 2 日s c i e n c e 雜志封面) 。 最簡(jiǎn)單的磁阱是反向亥姆霍茲線圈形成的四極阱，其中心處場(chǎng)強(qiáng)為零。四極 阱存在一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)，原子在磁阱罩運(yùn)動(dòng)時(shí)感受到的是一個(gè)隨時(shí)間變化的磁 場(chǎng)，這將引起原子在不同塞曼能級(jí)間躍遷，不利的情形是這種躍遷會(huì)改變磁偶極 矩的符號(hào)，從而導(dǎo)致原子從磁阱中泄漏出去。這種情況在磁場(chǎng)零點(diǎn)附近尤為嚴(yán)重， 因而四極阱中心處相當(dāng)于是一個(gè)“漏洞”。這一“漏洞”有多種補(bǔ)救的方法【l 3 1 ， 在第一個(gè)實(shí)現(xiàn)b e c 的實(shí)驗(yàn)中，是外加一個(gè)振蕩的偏置磁場(chǎng)來堵住漏洞。另一方 法是在磁場(chǎng)節(jié)點(diǎn)區(qū)域加上一激光場(chǎng)，利用輻射排斥力阻礙原子進(jìn)入這一區(qū)域，該 方法被m i t 小組應(yīng)用在早期實(shí)驗(yàn)中。還可以用沒有節(jié)點(diǎn)的磁場(chǎng)代替四極阱，從 而避免了“漏洞”的出現(xiàn)。 利用激光束聚焦可以產(chǎn)生一個(gè)輻射場(chǎng)，其強(qiáng)度空間分布存在一個(gè)極大值，如 4 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 果激光頻率調(diào)到紅外失諧，則原子在光場(chǎng)中的基態(tài)能量存在一個(gè)空間最小值。人 們利用這一原理，制造出在旋量b e c 研究中廣泛使用的光學(xué)阱。光學(xué)阱的優(yōu)點(diǎn) 是，堿金屬原子在光場(chǎng)中的基態(tài)跟磁性無關(guān)，這是由于最外層電子的基態(tài)為s 態(tài)。 這跟磁阱的情形完全不一樣，磁場(chǎng)中原子能量由塞曼項(xiàng)主導(dǎo)，原子實(shí)際上只能處 于單一的自旋態(tài)，自旋自由度因而被禁錮。如果利用光學(xué)阱囚禁原子，則可把自 旋自由度釋放出來，跟自旋有關(guān)的一系列豐富多彩的物理現(xiàn)像，如自旋能帶結(jié)構(gòu)， 自旋動(dòng)力學(xué)演化等課題的研究成為可能。 1 3 2 原子冷卻技術(shù) 實(shí)現(xiàn)b e c 的首要條件是把原子冷卻到足夠低溫( pk ) ，這要求科學(xué)家們發(fā) 展出既能有效降低溫度，又能避免原子液化或結(jié)合成分子的技術(shù)。對(duì)于堿金屬原 子特別有效的降溫技術(shù)有激光冷卻，蒸發(fā)冷卻等。 根據(jù)共振光偏轉(zhuǎn)原子束的原理，當(dāng)光子被原子吸收后，便獲得動(dòng)量力后，然后 以自發(fā)輻射或受激輻射形式釋放光子，回到基態(tài)。如果以自發(fā)輻射形式輻射出去， 其輻射方向在4 立體角內(nèi)均勻分布，給予原子的平均動(dòng)量為零，故原子獲得所 吸收光子的動(dòng)量觥，只要激光頻率相對(duì)于原子躍遷的頻率為紅移，在激光作用 下的原子，會(huì)由于d o p p l e r 效應(yīng)被減速，被致冷，即v ，v 2 隨作用時(shí)間t 的增加 而下降。但這只是受到迎面而來的激光輻射壓力作用的結(jié)果。如果是受到正反方 向傳播的激光作用，這時(shí)原子將在傳播方向例如x 軸方向被減速。如果是采用6 個(gè)光束沿x ，y ，z 正反方向作用于原子，則原子將被禁錮在6 束光作用的小區(qū)域 內(nèi)，又考慮到原子的速度擴(kuò)散，原子很像是在一帶有粘性的液體即光學(xué)粘膠 ( o p t i c a lm o l a s s e s ) 中運(yùn)動(dòng)。另外，當(dāng)激光的偏振隨空間坐標(biāo)變化，亦即存在偏 振梯度時(shí)，對(duì)與之相互作用的原子呈現(xiàn)出阻力，而且這時(shí)的阻尼系數(shù)當(dāng)原子的速 度v 趨于0 時(shí)，幾乎與光強(qiáng)無關(guān)。通過這種激光冷卻和囚禁技術(shù)可獲得大量的高 密度的超冷原子，數(shù)目為1 0 1 0 ，密度為1 0 n 1 0 1 2 c m ，溫度為幾十k 【1 4 】。 蒸發(fā)冷卻是有選擇地把磁阱中能量較高的原子釋放出來，然后剩下的原子通 過彈性碰撞重新達(dá)到溫度更低的熱平衡，如此反復(fù)不斷降低原子氣體的溫度。在 實(shí)現(xiàn)b e c 的過程中，蒸發(fā)冷卻是由一個(gè)射頻磁場(chǎng)來完成的。在磁阱中，能量較 5 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 大的原子可達(dá)到磁場(chǎng)較強(qiáng)的地方，產(chǎn)生的塞曼分裂也較大?？蛇x擇適當(dāng)?shù)纳漕l場(chǎng) 頻率，使這些原子躍遷到非囚禁的自旋態(tài)而逸出磁阱，通過把射頻場(chǎng)頻率慢慢變 低，迫使更多能量較高的原子逸出磁阱。于是，阱中原子密度和彈性碰撞幾率增 加，溫度變低，最終的溫度和相空間密度取決于最后的射頻場(chǎng)頻率。實(shí)現(xiàn)蒸發(fā)冷 卻的關(guān)鍵在于：( 1 ) 極高的背景真空度，以保證勢(shì)阱有較長(zhǎng)的囚禁時(shí)間來完成蒸 發(fā)冷卻過程；( 2 ) 較大的彈性碰撞截面和較高的原子密度，以縮短重新熱平衡化 的時(shí)間【”j 。 1 3 3b e c 成像技術(shù) 目前觀測(cè)b e c 的形成多采用共振吸收成像技術(shù)，用這種技術(shù)可以確定原子 的數(shù)目、密度、溫度以及原子的空間分布。其具體過程為：突然關(guān)閉勢(shì)阱，讓發(fā) 生凝聚的原子云自由擴(kuò)散，然后在不同的延遲時(shí)刻用共振脈沖光來探測(cè)。由于原 子對(duì)共振光的吸收，在探測(cè)光中會(huì)產(chǎn)生陰影區(qū)，由c c d 裝置對(duì)透射光成像，對(duì) 圖像進(jìn)行數(shù)字化處理，可以得到原子云在每一點(diǎn)的光學(xué)厚度。對(duì)由此獲得的一系 列飛行時(shí)間( t h e o f f l i g h t ，t o f ) 圖像進(jìn)行逐點(diǎn)校正，以修正由探測(cè)光的偏振 度和飽和效應(yīng)引起的偏差，可以得到擴(kuò)散原子云的二維速度分布。飛行時(shí)間測(cè)量 方法是測(cè)量冷原子溫度的常用方法，它用共振熒光方法測(cè)量距冷原子團(tuán)中心一定 距離處的熒光強(qiáng)度的時(shí)間演化，可以得到冷原子的速度分布，由此推出溫度。它 們包含著原子的許多熱力學(xué)信息，如分布曲線下所包圍面積的積分，正比于總的 原子數(shù)目；在零速度附近出現(xiàn)的窄特征峰，其峰值曲線下所包圍面積的積分正比 于處于體系基態(tài)的原子數(shù)目；從擴(kuò)散原子云的平均半徑和擴(kuò)散時(shí)間可以得到原子 的平均擴(kuò)散速度和平均能量等特征參量。由于利用共振光探測(cè)，原子會(huì)強(qiáng)烈地散 射共振光子，從而引起對(duì)原子的加熱效應(yīng)，因此這種共振吸收成像技術(shù)對(duì)形成的 b e c 有一定破壞性【1 5 j 。 1 3 4f e s h b a c h 共振舊 6 低溫下堿金屬原子氣體的相互作用能量正比于原子云密度和原子的散射長(zhǎng) 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 度a ，理論預(yù)言散射長(zhǎng)度的大小可通過外加磁場(chǎng)等方式改變，即f e s h b a c h 共振 【1 7 五1 1 。在f e s h b a c h 共振點(diǎn)附近，散射長(zhǎng)度連續(xù)的從正值過渡到負(fù)值，實(shí)現(xiàn)了大 范圍取值變化。若設(shè)定口0 ，則可產(chǎn)生近似理想氣體；若設(shè)定口 o ，則可觀察 系統(tǒng)的不穩(wěn)定和坍塌。外加磁場(chǎng)的迅速改變會(huì)引起散射長(zhǎng)度的突變，這為研究新 的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)開辟了道路，如在準(zhǔn)一維系統(tǒng)中產(chǎn)生亮孤子物質(zhì)波等現(xiàn)像2 2 1 。 j 一 廠 一 矗 b q 7 圖1 _ 4 在f e s h b a c h 共振附近散射長(zhǎng)度隨磁場(chǎng)的變化關(guān)系【1 6 1 。 f e s h b a c h 共振的出現(xiàn)是由堿金屬原子的特殊結(jié)構(gòu)造成的。在堿金屬原子里， 最外層電子只有一個(gè)電子。當(dāng)兩個(gè)堿金屬原子碰撞時(shí)，它們總的電子自旋可以處 在單重態(tài)或三重態(tài)。由于原子核的磁矩遠(yuǎn)小于電子磁矩，原子總的磁矩主要是由 電子磁矩決定的，所以在雙原子系統(tǒng)中三重態(tài)的磁矩遠(yuǎn)大于單重態(tài)的磁矩。當(dāng)有 磁場(chǎng)時(shí)，三重態(tài)里最大的塞曼能絕對(duì)值遠(yuǎn)大于單重態(tài)的塞曼能絕對(duì)值，因此通過 調(diào)節(jié)外加磁場(chǎng)可以改變?nèi)貞B(tài)和單重態(tài)的能量差別。一般來說，在氣體里的大多 數(shù)原子中任兩個(gè)原子都處在自旋是三重態(tài)的散射態(tài)上，有少量原子結(jié)合成自旋單 重態(tài)的雙原子分子，所以通過改變磁場(chǎng)大小可以使雙原子分子態(tài)能量接近散射 態(tài)。當(dāng)散射態(tài)和分子態(tài)能量相同時(shí)，系統(tǒng)里發(fā)生f e s h b a c h 共振，此時(shí)原子的散 射長(zhǎng)度發(fā)散。在原子氣體中，散射長(zhǎng)度與原子之間的相互作用強(qiáng)度成正比。所以 在有f e s h b a c h 共振的系統(tǒng)里?？梢愿淖兇艌?chǎng)來調(diào)節(jié)原子的散射長(zhǎng)度和原子之間 的相互作用強(qiáng)度。在f e s h b a c h 共振系統(tǒng)中，散射長(zhǎng)度a 隨磁場(chǎng)b 的變化關(guān)系如 圖l 一4 所示。 1 9 9 8 年，k e t t e r l e 實(shí)驗(yàn)組首先在鈉系統(tǒng)中通過測(cè)量原子非彈性散射速率發(fā)現(xiàn) 了f e s h b a c h 共振【2 3 】。實(shí)驗(yàn)中的原子氣體都是被勢(shì)阱束縛的亞穩(wěn)系統(tǒng)，非彈性散 射導(dǎo)致原子從系統(tǒng)中丟失，而丟失速率隨散射長(zhǎng)度的增加而增加，所以非彈性散 7 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 射速率的峰標(biāo)志著f e s h b h 共振的位置。k e t t e r l e 等在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)原子丟失速率 比理論估算要大許多，這也對(duì)實(shí)驗(yàn)上研究強(qiáng)相互作用區(qū)域造成了很大困難，因?yàn)?在強(qiáng)相互作用區(qū)域很難有足夠的時(shí)間來進(jìn)行觀測(cè)。2 0 0 2 年，w i e i m n 實(shí)驗(yàn)組利用 f e s h b a c h 共振使8 5 r b 原子氣體中的散射長(zhǎng)度有一個(gè)方波似的變化，當(dāng)散射長(zhǎng)度 穩(wěn)定后他們發(fā)現(xiàn)原子數(shù)目在周期性的振蕩，而振蕩頻率正是雙原子分子的能量 【2 4 】。由于粒子不能無中生有，惟一合理的解釋是系統(tǒng)中粒子除了處在原子態(tài)外 還可以處在雙原子分子態(tài)，所以如果忽略粒子的丟失，總的粒子數(shù)是守恒的。當(dāng) 時(shí)還沒有直接觀測(cè)雙原子分子的實(shí)驗(yàn)手段，這個(gè)實(shí)驗(yàn)成為證明系統(tǒng)中存在分子態(tài) 的間接證據(jù)。 1 4 理想玻色氣體中的b e c 1 4 1 玻色分布和能態(tài)密度 對(duì)于處在熱平衡的無相互作用理想玻色氣體，溫度丁時(shí)處于量子態(tài)v 的平均 粒子數(shù)由玻色分布函數(shù)給定， 八勺) = 面而蒜 ( 1 - 2 ) 其中毛為量子態(tài)_ l ，的能量，為相應(yīng)溫度下氣體的化學(xué)勢(shì)。化學(xué)勢(shì)作為總粒子 數(shù)和溫度丁的函數(shù)，由粒子數(shù)守恒確定，即 = 廠。( o ) ( 1 - 3 ) 實(shí)際計(jì)算中一般把對(duì)量子態(tài)求和換成對(duì)能量積分，相應(yīng)引入能態(tài)密度概念， 即單位能量區(qū)間內(nèi)量子態(tài)的數(shù)目。例如粒子質(zhì)量為聊，體積為礦的均勻氣體的能 態(tài)密度為 貼) = 赫2 ( 1 - 4 ) 而囚禁在三維諧振子勢(shì)中氣體的能態(tài)密度為 如) 2 毫去 ( 1 - 5 ) 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 其中哆( 扛1 ，2 ，3 ) 是在x ，y ，z 三個(gè)方向的諧振頻率。通常情況下能態(tài)密度可以表 示成能量的冪函數(shù)形式 g ( g ) = q s 扣1 ( 1 6 ) 其中巴是一個(gè)常量。上面兩個(gè)例子分別對(duì)應(yīng)于口= 3 2 和口= 3 。 利用能態(tài)密度，把( 1 3 ) 中的求和用積分代替，可得 = j c o 麗 ( 1 - 7 ) 1 4 2 凝聚溫度和凝聚比例 假設(shè)粒子最低能級(jí)的能量為o ，由( 1 2 ) 可知任何溫度下必有 o ，以保證任 何量子態(tài)的粒子數(shù)不為負(fù)。同時(shí)化學(xué)勢(shì)隨溫度降低而升高，保持總粒子數(shù)守恒。 當(dāng)溫度降到某一臨界溫度z 時(shí)，將趨于o 。臨界溫度可由下式定出 = j c o 蒜 m 8 ， 溫度低于疋時(shí)，由( 1 7 ) 不可能得到負(fù)的化學(xué)勢(shì)。產(chǎn)生這個(gè)矛盾的原因是，把 ( 1 3 ) 改寫成( 1 - 7 ) 時(shí)，由于g ( 0 ) = o ，故占= o 的項(xiàng)被棄去，即處于最低能級(jí)的粒子 數(shù)在總粒子數(shù)中的貢獻(xiàn)被忽略掉。在溫度足夠高時(shí)，處于最低能級(jí)的粒子數(shù)與總 粒子數(shù)相比是個(gè)小量，將其忽略不會(huì)引起明顯誤差。然而當(dāng)溫度低于乃時(shí)，粒子 將盡可能占據(jù)最低能級(jí)，其占有數(shù)變得非?？捎^而不能忽略。因而當(dāng)丁 乏時(shí)， 應(yīng)該把最低能級(jí)和其它能級(jí)的粒子數(shù)分開計(jì)算，即 = 岬) + j c o 蒜 ( 1 _ 9 ) o ( 丁) 為凝聚在最低能級(jí)的粒子數(shù)，在丁 z 時(shí)與總粒子數(shù)具有相同的量級(jí)， 這種現(xiàn)像稱為玻色一愛因斯坦凝聚，稱為凝聚溫度。 9 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 把( 1 6 ) 代入( 1 8 ) ，同時(shí)另x = 占圮，得到瞄5 1 = 哪穢j c o 嵩出 上式中的積分可用廠函數(shù)和黎曼( 黜e m m ) f 函數(shù)表示，即 j c o 若出= m 他) 把( 1 1 1 ) 代入( 1 1 0 ) 得到疋的表達(dá)式為 圮= 嘉 ( 1 1 0 ) ( 1 - 1 2 ) 對(duì)于密度為玎= y 的三維均勻玻色氣體， 口= 3 2 ， r ( 3 2 ) = 孑2 o 8 8 6 ，f ( 3 2 ) 2 6 1 2 ，由( 1 4 ) 和( 1 1 2 ) 可得 紅：熹鯊 3 3 1 絲 ( 1 - 1 3 ) 。 眵( 3 2 ) 】馴2 聊朋 、。 對(duì)于三維諧振子勢(shì)中的玻色氣體，口= 3 ，1 1 ( 3 ) = 2 ，f ( 3 ) 1 2 0 2 ，由( 1 - 5 ) 和 ( 1 1 2 ) 可得 圮= 器礬刪3 ( 1 - 1 4 ) 其中萬= ( 緲，緲：國(guó)，) 3 是三個(gè)諧振頻率的幾何平均。代入后和殼的具體數(shù)據(jù)，把乏以 放為單位表示出來 馴5 ( 志p 旅 m 均 其中7 = 萬2 萬。 利用( 1 1 2 ) 可以討論低維玻色氣體的凝聚性質(zhì)。例如二維均勻氣體，口= 1 ， f ( 1 ) = ，故在有限溫度下不可能出現(xiàn)凝聚現(xiàn)像。然而如果把氣體囚禁在二維諧 振子勢(shì)中，則口= 2 ，f ( 2 ) 為有限，氣體將會(huì)在有限溫度下出現(xiàn)凝聚。 l o 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 圖1 - 5 三維諧振子勢(shì)中凝聚比例隨溫度變化的關(guān)系。虛 線為理論曲線，圓點(diǎn)為文獻(xiàn)【2 6 】的實(shí)驗(yàn)結(jié)果?！? 7 l 由( 1 - 9 ) ，并利用的表達(dá)式( 1 - 1 2 ) ，可求出丁 z 時(shí)的凝聚比例為 等斗時(shí) m 舊 lzj 、 圖1 5 顯示了實(shí)驗(yàn)觀察到的三維諧振子勢(shì)中玻色氣體的凝聚現(xiàn)像，可見理論結(jié)果 跟實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大致吻合。 1 5 非理想玻色氣體的基本理論 1 5 1 平均場(chǎng)理論：g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程 這一節(jié)我們討論粒子間存在相互作用的非理想玻色氣體的平均場(chǎng)理論【2 5 1 。 b e c 實(shí)驗(yàn)的環(huán)境一般是溫度極低( k ) ，同時(shí)粒子密度非常小( 1 0 1 4 冊(cè)_ 3 ) 。 在這樣的條件下，粒子間的相互作用可近似看作低能極限下的s 波散射。在動(dòng)量 表象中，這相當(dāng)于兩個(gè)粒子間的作用為常量“= 鋤殼2 口m ，其中口是散射長(zhǎng)度， 所是粒子質(zhì)量。而在坐標(biāo)表象中，則相當(dāng)于兩個(gè)粒子間的相互作用勢(shì)能為 砜萬( r r i ) ，r 和r 表示兩個(gè)粒子的位置。在此近似下，粒子系統(tǒng)的多體哈密 頓量寫成 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 日= 善防m(xù) ，卜驢訓(xùn) m 其中y ( r ) 描述系統(tǒng)所處外場(chǎng)的勢(shì)能。當(dāng)考察系統(tǒng)的基態(tài)時(shí)，可采用平均場(chǎng)近似， 即假設(shè)零溫下所有粒子都凝聚在同一單粒子態(tài)矽( r ) 上，整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)相應(yīng)地 寫成 矽( r ) 歸一化為1 甲( t ，r 2 ，r ) = 兀矽( i ) f - l p 脅) 1 2 = 1 矽( r ) 所滿足的方程可通過對(duì)能量泛函作變分得到。態(tài)( 1 1 8 ) 的能量為 ( 1 - 1 8 ) ( 1 _ 1 9 ) 刪) _ 肛陶v 船) 1 2 州r ) l 船) 1 2 + 竿帥( r ) 1 4 ( 1 - 2 。) 當(dāng)系統(tǒng)處于基態(tài)時(shí)，矽( r ) 使( 1 2 0 ) 取極小值，即變分艿( e 一) = 0 ，化學(xué)勢(shì)是 考慮到矽( r ) 所滿足的歸一化條件而引入的拉格朗日乘子。通過上述變分條件得到 矽( r ) 所滿足的方程為 ( 一羔v 2 川卅砜帥吵妒從r ， m 2 t ， 該方程稱為g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程【2 8 。3 0 】。通過對(duì)它求解即可得到平均場(chǎng)近 似下玻色凝聚體的波函數(shù)。 g p 方程的適用條件是：s 波散射長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于粒子平均距離，即氣體足夠“稀 薄，同時(shí)凝聚體中的粒子數(shù)遠(yuǎn)大于1 。可用無量綱量萬h 3 描述氣體的稀薄程度， 它表示體積i 叫3 內(nèi)的粒子數(shù)，其中萬是氣體的平均密度。實(shí)驗(yàn)中各種原子散射長(zhǎng) 度的通常取值為：口= 2 7 51 1 n 1 ( 2 3 n a ) ，口= 5 7 7 鋤( 8 7 i 曲) 和口= 一1 4 5n m ( 7 l i ) 3 1 m 1 。典型的粒子數(shù)密度為1 0 1 3 1 0 1 5c m 3 ，從而萬h 3 的值總是小于1 0 。3 。 當(dāng)萬h 3 7 0 01 1 1 g ) 時(shí)，自旋演化將受到嚴(yán)重抑制，原子基本都停留在初始狀態(tài)，發(fā) 1 8 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 生自旋翻轉(zhuǎn)的幾率非常小。這跟本文后面的理論結(jié)果是一致的。 b ( m g ) 圖2 4 三態(tài)銣原子從初態(tài)反l ，o ，一i ) = ( 0 ，1 ，o ) 開始，在不同 偏置磁場(chǎng)下演化3s 后的自旋0 分量占有比例【4 引。 腳| i l 嫩翔岫腳蝻精蠢秘昭， 圖2 5 五態(tài)銣原子在不同外磁場(chǎng)下各自旋分量占有比例隨時(shí)間的演化【5 叫。實(shí)心圓，空心 方形和實(shí)心三角形分別代表坼= o ，1 ，2 。磁場(chǎng)分別為1 5 ，0 7 5 ，o 3 和0 1 g 。 對(duì)于f = 2 的五態(tài)銣原子，文獻(xiàn)【5 0 】中的實(shí)驗(yàn)同樣觀察到自旋分量隨時(shí)間的振 蕩，如圖2 5 所示。偏置磁場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)( a ，b ) ，振蕩相對(duì)較弱，凝聚體很快到達(dá) 1 9 墓翟篡基百五蘿翟懸翻 雷一耋黑3一 中山大學(xué)博士學(xué)位論文 平衡態(tài)，聊f = 0 和聊f = 1 各約占總原子數(shù)的一半，歷f = 2 的占有比例幾乎為零， 說明強(qiáng)磁場(chǎng)制約了原子通過散射向高自旋分量的躍遷。偏置磁場(chǎng)調(diào)弱后( c ，d ) ， 振蕩顯著加強(qiáng)，同時(shí)聊。= 2 的占有比例也有所提升。 文獻(xiàn)【5 1 】測(cè)量了自旋振蕩的周期和振幅與偏置磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，如圖2 6 所 示。理論預(yù)言( 實(shí)線) 當(dāng)磁場(chǎng)約為2 8 “t 時(shí)，振蕩周期將趨于無窮。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表 明在該位置振蕩周期和振幅確實(shí)存在峰值，從而驗(yàn)