《高中物理10大難點強(qiáng)行突破》之四：衛(wèi)星問題分析

衛(wèi)星問題分析 一、難點形成原因： 衛(wèi)星問題是高中物理內(nèi)容中的牛頓運動定律、運動學(xué)基本規(guī)律、能量守恒定律、萬有引力定律甚至還有電磁學(xué)規(guī)律的綜合應(yīng)用。其之所以成為高中物理教學(xué)難點之一，不外乎有以下幾個方面的原因。 1、不能正確建立衛(wèi)星的物理模型而導(dǎo)致認(rèn)知負(fù)遷移 由于高中學(xué)生認(rèn)知心理的局限性以及由牛頓運動定律研究地面物體運動到由天體運動規(guī)律研究衛(wèi)星問題的跨度，使其對衛(wèi)星、飛船、空間站、航天飛機(jī)等天體物體繞地球運轉(zhuǎn)以及對地球表面物體隨地球自轉(zhuǎn)的運動學(xué)特點、受力情形的動力學(xué)特點分辯不清，無法建立衛(wèi)星或天體的勻速圓周運 動的物理學(xué)模型（包括過程模型和狀態(tài)模型），解題時自然不自然界的受制于舊有的運動學(xué)思路方法，導(dǎo)致認(rèn)知的負(fù)遷移，出現(xiàn)分析與判斷的失誤。 2、不能正確區(qū)分 衛(wèi)星種類 導(dǎo)致理解混淆 人造衛(wèi)星按運行軌道 可 分為低軌道衛(wèi)星、中高軌道衛(wèi)星、地球同步 軌道 衛(wèi)星、地球靜止衛(wèi)星、太陽同步 軌道 衛(wèi)星、大橢圓軌道衛(wèi)星和極軌道衛(wèi)星； 按科學(xué)用途可 分為 氣象衛(wèi)星、通訊衛(wèi)星、偵察衛(wèi)星、 科學(xué)衛(wèi)星、應(yīng)用衛(wèi)星和技術(shù)試驗衛(wèi)星。 。由于不同稱謂的衛(wèi)星對應(yīng)不同的規(guī)律與狀態(tài)，而學(xué)生對這些分類名稱與所學(xué)教材中的衛(wèi)星知識又不能吻合對應(yīng)，因而導(dǎo)致理解與應(yīng)用 上的錯誤。 3、不能正確理解物理意義導(dǎo)致概念錯誤 衛(wèi)星問題中有諸多的名詞與概念，如，衛(wèi)星、雙星、行星、恒星、黑洞；月球、地球、土星、火星、太陽；衛(wèi)星的軌道半徑、衛(wèi)星的自身半徑；衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期、衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)周期；衛(wèi)星的向心加速度、衛(wèi)星所在軌道的重力加速度、地球表面上的重力加速度；衛(wèi)星的追趕、對接、變軌、噴氣、同步、發(fā)射、環(huán)繞等問題。因為不清楚衛(wèi)星問題涉及到的諸多概念的含義，時常導(dǎo)致讀題、審題、求解過程中概念錯亂的錯誤。 4、不能正確分析受力導(dǎo)致規(guī)律應(yīng)用錯亂 由于高一時期所學(xué)物體受力分析的知識欠缺不全和 疏于深化理解，牛頓運動定律、圓周運動規(guī)律、曲線運動知識的不熟悉甚至于淡忘，以至于不能將這些知識遷移并應(yīng)用于衛(wèi)星運行原理的分析，無法建立正確的分析思路，導(dǎo)致公式、規(guī)律的胡亂套用，其解題錯誤也就在所難免。 5、不能全面把握衛(wèi)星問題的知識體系，以致于無法正確區(qū)分類近知識點的不同。如，開普勒行星運動規(guī)律與萬有引力定律的不同；赤道物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度與同步衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的向心加速度的不同；月球繞地球運動的向心加速度與月球軌道上的重力加速度的不同；衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度與切向加速度的不同；衛(wèi)星的運行速度與發(fā) 射速度的不同；由萬有引力、重力、向心力構(gòu)成的三個等量關(guān)系式的不同；天體的自身半徑與衛(wèi)星的軌道半徑的不同；兩個天體之間的距離與某一天體的運行軌道半徑的不同。只有明確的把握這些類近而相關(guān)的知識點的異同時才能正確的分析求解衛(wèi)星問題。 二、難點突破策略： （一）明確衛(wèi)星的概念與適用的規(guī)律： 1、衛(wèi)星的概念： 由人類制作并發(fā)射到太空中、能 環(huán)繞地球在空間軌道上運行（至少一圈） 、用于科研應(yīng)用 的無人 或載人 航天器，簡稱人造衛(wèi)星。 高中物理的學(xué)習(xí)過程中要將其抽象為一個能環(huán)繞地球做圓周運動的物體。 2、適用的規(guī)律： 牛頓運動定律、萬有引力定律、開普勒天體運動定律、能量守恒定律以及圓周運動、曲線運動的規(guī)律、電磁感應(yīng)規(guī)律。均適應(yīng)于衛(wèi)星問題。但必須注意到“天上”運行的衛(wèi)星與“地上”運動物體的受力情況的根本區(qū)別。 （二）認(rèn)清衛(wèi)星的分類： 高中物理的學(xué)習(xí)過程中，無須知道各種衛(wèi)星及其軌道形狀的具體分類，只要認(rèn)清地球同步衛(wèi)星（與地球相對靜止）與一般衛(wèi)星（繞地球運轉(zhuǎn)）的特點與區(qū)別即可。 （ 1）、地球同步衛(wèi)星： 、同步衛(wèi)星的概念：所謂地球同步衛(wèi)星，是指相對于地球靜止、處在特定高度的軌道上、具有特 定速度且與地球具有相同周期、相同角速度的衛(wèi)星的一種。 、同步衛(wèi)星的特性： 不快不慢 -具有特定的運行線速度（ V=3100m/s）、特定的角速度（ =7.26x10-5 ra d/s ）和特定的周期（ T=24 小時）。 不高不低 -具有特定的位置高度和軌道半徑，高度 H=3.58 x107m, 軌道半徑 r=4.22 x107m. 不偏不倚 -同步衛(wèi)星的運行軌道平面必須處于地球赤道平面上，軌道中心與地心重合，只能靜止在赤道上方的特定的點上。 證明如下： 如圖 4-1 所示，假設(shè)衛(wèi)星在軌道 A 上跟著地球的自轉(zhuǎn)同步地勻速圓周運動，衛(wèi)星運動的向心力來自地球?qū)λ囊σ?，引中除用來作向心力?1 外，還有另一分力 2，由于 2 的作用將使衛(wèi)星運行軌道靠向赤道，只有赤道上空，同步衛(wèi)星才可能在穩(wěn)定的軌道上運行。 由 RmRMmG 22 得 3 2GMR h=R-R 地 是一個定值。 (h 是同步衛(wèi)星距離地面的高度 ) 因此，同步衛(wèi)星一定具有特定的位置高度和軌道半徑。 、同步衛(wèi)星的科學(xué)應(yīng)用： 同步衛(wèi)星一般應(yīng)用于通訊與氣象預(yù)報，高中物理中出現(xiàn)的通訊衛(wèi)星與氣象衛(wèi)星一般是指同步衛(wèi)星。 （ 2）、一般衛(wèi)星： 、定義： 一般衛(wèi)星指的是，能圍繞地球做圓周運動，其軌道半徑、軌道平面、運行速度、運行周期各不相同的一些衛(wèi)星。 、衛(wèi)星繞行速度與半徑的關(guān)系： 由 rvmrMmG 22 得： rGMv 即 rv 1 (r 越大 v 越小 ) 、衛(wèi)星繞行角速度與半徑的關(guān)系： 由 rmrMmG 22 得： 3rGM 即 31r ；（ r 越大越?。?、衛(wèi)星繞行周期與半徑的關(guān)系： 由22 2 TmrrMmG 得： GMrT324即 3rT （ r 越大越大）， （ 3）雙星問題 兩顆靠得很近的、質(zhì)量可以相比的、相互繞著兩者連線上某點做勻速 圓周運的星體，叫做雙星雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運動，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供由于引力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運動的向心力大小是相等的，因兩子星繞圖 4-1 著連線上的一點做圓周運動，所以它們的運動周期是相等的，角速度也是相等的，線速度與兩子星的軌道半徑成正比 （三）運用力學(xué)規(guī)律研究衛(wèi)星問題的 思維基礎(chǔ) ： 光年，是長度單位， 1 光年 = 9.46 1012 千米 認(rèn)為星球質(zhì)量分布均勻，密度 MV ，球體體積 343VR ，表面積 24SR 地球公轉(zhuǎn)周期是一年（約 365 天，折合 8760 小時），自轉(zhuǎn)周期是一天（約 24 小時）。 月球繞地球運行周期是一個月（約 28 天，折合 672 小時；實際是 27.3 天） 圍繞地球運行飛船內(nèi)的物體，受重力，但處于完全失重狀態(tài)。 發(fā)射衛(wèi)星時，火箭要克服地球引力做功。由于地球周圍存在稀薄的大氣，衛(wèi)星在運行過程中要受到空氣阻力，動能要變小，速率要變小，軌道要降低，即半徑變小。 視天體的運動近似看成勻速圓周運動，其所需向心力都是 來自萬有引力， 即 vmTmrmrrvmmarMmGgm 2 2222 4向 應(yīng)用時根據(jù)實際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析。 天體質(zhì)量、密度的估算： 測出衛(wèi)星圍繞天體作勻速圓周運動的半徑 r 和周期， 由 rTmrMmG22 2 得： 2324GTrM ，3233 RGT rVM （當(dāng)衛(wèi)星繞天體表面運動時， =3 /GT2） 發(fā)射同步通訊衛(wèi)星一般都要采用變軌道發(fā)射的方法：點火，衛(wèi)星進(jìn)入停泊軌道（圓形軌道，高度 200300km），當(dāng)衛(wèi)星穿過赤道平面時， 點火，衛(wèi)星進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道（橢圓軌道），當(dāng)衛(wèi)星達(dá)到遠(yuǎn)地點時，點火，進(jìn)入靜止軌道（同步軌道）。如圖 4-2 所示。 明確三個宇宙速度： 第一宇宙速度（環(huán)繞速度）： v=7.9 千米秒；（地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度） 第二宇宙速度（脫離速度）： v=11.2 千米秒；（衛(wèi)星掙脫地球束縛的最小發(fā)射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）： v=16.7 千米秒。（衛(wèi)星掙脫太陽束縛的最小發(fā)射速度） 人造衛(wèi)星在圓軌道上的運行速度是隨著高度的增大而減小的，但是發(fā)射高度大的衛(wèi)星克服地球的引力做功多，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球遠(yuǎn)的軌道，在地面上的發(fā)射 速度就越大。 三、運用力學(xué)規(guī)律研究衛(wèi)星問題的基本要點 1、必須區(qū)別開普勒行星運動定律與萬有引力定律的不同 開普勒行星運動定律 開普勒第一定律：所有行星圍繞太陽運動的軌道均是橢圓，太陽處在這些橢圓軌道的一個公共焦點上。 開普勒第二定律（面積定律）：太陽和運動著的行星之間的聯(lián)線，在相等的時間內(nèi)掃過的面積總相等。 開普勒第三定律（周期定律）：各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。若用 r 表示橢圓軌道的半長軸，用 T 表示行星的公轉(zhuǎn)周期，則有 k=r3/T2是一個與行星無關(guān)的常量 。 開普勒總結(jié)了第谷對天體精確觀測的記錄，經(jīng)過辛勤地整理和計算，歸納出行星繞太陽運行的三條基本規(guī)律。開普勒定律只涉及運動學(xué)、幾何學(xué)方面的內(nèi)容。開普勒定律為萬有引力定律的提出奠定了理論基礎(chǔ)，此三定律也是星球之間萬有引力作用的必然結(jié)果。 （）萬有引力定律 B 同步軌道 地球 A 圖 4-2 萬有引力定律的內(nèi)容是： 宇宙間一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們間的距離的平方成反比。 萬有引力定律的公式是： F= 2 21rmmG ， （ =6.67 11 牛頓米 2千克 2，叫作萬有引力恒量）。 萬有引力定律的適用條件是： 嚴(yán)格來說公式只適用于質(zhì)點間的相互作用，當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身大小時公式也近似適用，但此時它們間距離 r 應(yīng)為兩物體質(zhì)心間距離。 （ 3）開普勒行星運動定律與萬有引力定律的關(guān)系： 萬有引力定律是牛頓根據(jù)行星繞太陽（或恒星）運動的宇宙現(xiàn)象推知行星所需要的向心力必然是由太陽對行星的萬有引力提供，進(jìn)而運用開普勒行星運動定律推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律 . 開普勒行星運動定律是萬有引力定律的理論基礎(chǔ)。 開普勒行星運動定律從軌道形狀、運動速度、轉(zhuǎn)動周期、軌道半徑等方面描 述、揭示了行星繞太陽（或恒星）運動的宇宙現(xiàn)象，表明了天體運動運動學(xué)特征和規(guī)律。萬有引力定律是從行星轉(zhuǎn)動所需要的向心力來源與本質(zhì)上揭示了行星與太陽（或恒星）以及宇宙萬物間的引力關(guān)系，描述的是行星運動的動力學(xué)特征與規(guī)律。 例 1：世界上第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運行軌道的長軸比第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸短 8000km, 第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期是 96.2min,求第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸和第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期（已知地球質(zhì)量 . X1024kg） . 【審題】本 題中第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸與第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期均是待求量，僅由開普勒行星運動定律難以求解。因此可以假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由萬有引力提供向心力的關(guān)系求出引衛(wèi)星的 R3/T2，又由開普勒第三定律知，所有繞地球運行的衛(wèi)星的 r3/T2 值均相等，只要把假想衛(wèi)星的 R3/T2 題中的二衛(wèi)星的 r3/T2值相比較即可求得結(jié)論。 【解析】假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由于萬有引力提供向心力，則 GMm/R2=m4 2 R /T2 解之得 K= R3/T2=GM/4 2， 再設(shè)第一顆 人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸為 a, 第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期為 T，由開普勒第三定律得 K =（ a/2） 3/T12 =（ a/2+4000） 3/T22 由以上二式得， a=1.47 107m. T2=96.3 min. 【總結(jié)】由于此題中有兩個待求物理量，單純地運用萬有引定律或開普勒行星運動定律難以求解，故而聯(lián)立兩個定律合并求解。同時，再假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由萬有引力提供向心力的關(guān)系求出衛(wèi)星的 R3/T2，由開普勒第三定律得知所有繞地球運行的衛(wèi)星的 r3/T2 值均相等，找出等量關(guān)系即可求 解。這種虛擬衛(wèi)星的思路十分重要，也是此題求解的切入口。 例 2：如圖 4-3 所示，在均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為 R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心邊線上、與球心相距 d 的質(zhì)點 m的引力是多大？ 【解析】 把整個球體對質(zhì)點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質(zhì)圖 4-3 點的引力之和，即可求解完整的均質(zhì)球體對球外質(zhì)點 m 的引力 此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分對質(zhì)點的引力 F1 與半徑為 R/2 的小球?qū)|(zhì)點的引力 F2 之和，即 F=F1+F2。因為半徑為 R/2 的小球質(zhì)量 M = MR 81)2(34 3 ；則222 )2/(8)2/( RdMmGRdMmGF ，所以挖去球穴后的剩余部分對球外質(zhì)點 m 的引力為 : 【總結(jié)】如果先設(shè)法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的質(zhì)量集中于這個重心上，應(yīng)用萬有引力公式求解這是不正確的萬有引力存在于宇宙間任何兩個物體之間，但 計算萬有引力的簡單公式 2 21rmmGF 卻只能適應(yīng)于兩個質(zhì)點或均勻的球體。挖去空穴后的剩余部分已不再是均質(zhì)球了，故不能直接使用上述公式計算引力。 2、必須區(qū)別開普勒第三行星定律中的常量 K 與萬有引力定律中常量 G 的不同 （ 1）開普勒第三定律中的常量 K： 開普勒第三定律中的常量 K= r3/T2，對于行星與太陽的天體系統(tǒng)而言，常量 K 僅與太陽的質(zhì)量有關(guān)而與行星的質(zhì)量無關(guān)。此規(guī)律對于其它的由中心天體與環(huán)繞天體組成的天體系統(tǒng)同樣適用。常量 K 僅由中心天體的質(zhì)量決定而與環(huán)繞天體的質(zhì) 量無關(guān)。中心天體相同的天體系統(tǒng)中的常量 K 相同，中心天體不同的天體系統(tǒng)的常量 K 也不同。“ K= r3/T2=常量”的偉大意義在于啟發(fā)牛頓總結(jié)、發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。 （ 2）萬有引力定律中的常量 G： 萬有引力定律中的常量 G 是由萬有引力定律 F= 2 21rmmG 變形求出的， G=F r2/m1m2，數(shù)值是 G=6。 67 10-11Nm2/Kg2.是卡文迪許扭秤實驗測出的，適用于宇宙間的所有物體。萬有引力定律中的常量 G 的測定不僅證明了萬有引力的存在，更體現(xiàn)了萬有引力定律在天文研究中 的巨大價值。 （ 3）常量 K 與常量 G 的關(guān)系： 常量 K 與常量 G 有如下關(guān)系， K= GM/4 2，或者 G=4 2/GM。 K 的值由中心天體的質(zhì)量而定，而常量 G 則是一個與任何因素?zé)o關(guān)的普適常量。 例 3：行星繞太陽運轉(zhuǎn)的軌道是橢圓，這些橢圓在一般情況下可以近似視為圓周軌道，試用萬有引力定律和向心力公式證明對所有繞太陽運轉(zhuǎn)的行星，繞太陽公轉(zhuǎn)軌道半徑的立方與運轉(zhuǎn)周期的平方的比值為常量。論述此常量的決定因素有哪些 ?此結(jié)論是否也適用于地球與月球的系統(tǒng)？ 【審題】 本題中行星繞太陽運轉(zhuǎn)的軌道近似視為圓周軌道時，只 要運用萬有引力定律和向心力公式即可證明得出結(jié)論。 【解析】 因為行星繞太陽運轉(zhuǎn)需要的向心力是由太陽的萬有引力提供，設(shè)太陽 圖 4-4 質(zhì)量為 M，行星的質(zhì)量為 m，行星繞太陽運轉(zhuǎn)軌道的半徑為 r，運行周期為 T，則， GMm/r2=m4 2r/T2,故， r3/T2=GM/4 2，即， K= GM/4 2。 顯然，由于太陽質(zhì)量一定， K 的數(shù)值僅由太陽質(zhì)量 M 決定，與其它因素?zé)o關(guān)。這一結(jié)論適用于地球與月球系統(tǒng)，也適用于其它中心天體與環(huán)繞天體組成的天體系統(tǒng)。 【總結(jié)】開普勒第三定律中的常量 K 與萬有引力定律中的常量 G 的這種關(guān)系（ K= GM/4 2，或者 G=4 2/GM）可以用來方便的求解衛(wèi)星類的問題，作為一種解題的切入口應(yīng)在解題過程中予以重視。 3、必須區(qū)別地面物體的萬有引力與重力以及向心力的不同 （ 1）地球?qū)Φ孛嫖矬w的萬有引力：地面上的物體所受地球引力的大小均由萬有引力定律的公式 F= 2 21rmmG 決定，其方向總是指向地心。 （ 2）地面物體所受的重力： 處在地面上的物體所受的重力是因地球的吸引而產(chǎn)生的，其大小為 mg，方向豎直向下（絕不可以說為“垂直向下”和“指向地心”）。 地面上同一物體在地球上 不同緯度處的的重力是不同的。在地球的兩極上最大，在地球赤道上最小，隨著位置從赤道到兩極的移動而逐漸增大 -這種現(xiàn)象不是超重，應(yīng)該與超重現(xiàn)象嚴(yán)格區(qū)別開來。 以地球赤道上的物體為例，如圖 4-4 所示，質(zhì)量為 m 的物體受到的引力為 F=GMm/R2 ，因此物體與地球一起轉(zhuǎn)動，即以地心為圓心，以地球半徑為半徑做勻速圓周運動，角速度即與地球的自轉(zhuǎn)角速度相同，所需要的向心力為 F 向 =m R2 =mR4 2/T2.因地球自轉(zhuǎn)周期較大， F 向必然很小，通?？珊雎?，故物體在地球兩極 M 或 N 上時其重力等于受到的萬有引力。 一般說來，同一物體的重力隨所在緯度的變化而發(fā)生的變化很小， 有時可以近似認(rèn)為重力等于萬有引力，即 mg= 2 21rmmG 。 在任何星體表面上的物體所受的重力均是 mg= 2 21rmmG ，而物體在距星體表面高度為 h 處的重力為 mg=Gm1m2/(r+h)2 （ 3）地面物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力： 由于地球的自轉(zhuǎn)，處于地球上的物體均隨地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運動，所需向心力由萬有引力提供，大小是 F 向 =m 2r=mr4 2/T2(是地球自轉(zhuǎn)角速度， r 是物體與地軸間的距離， T 是地球的自轉(zhuǎn)周期 )，其方向是垂直并指向地軸。對于同一物體，這一向心力在赤道時最大，F(xiàn) 大 =m 2R（ R 是地球半徑）；在兩極時最小， F 小 =0。 因地球自轉(zhuǎn)，地球赤道上的物體也會隨著一起繞地軸做圓周運動，這時物體受地球?qū)ξ矬w的萬有引力和地面的支持力作用，物體做圓周運動的向心力是由這兩個力的合力提供，受力分析如圖 4-5 所示 實際上，物體受到的萬有引力產(chǎn)生了兩個效果，一個效果是維持物體做圓周運動，另一個效果是對地面產(chǎn)生了壓力的作用，所以可以將萬有引力分解為兩個分力：一個分力就是物體做圓周運動 的向心力，另一個分力就是重力，如圖 4-5 所示這個重力與圖 4-5 地面對物體的支持力是一對平衡力在赤道上時這些力在一條直線上 當(dāng)在赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動時，由萬有引力定律和牛頓第二定 律可得其動力學(xué)關(guān)系為 22224TmRmamRNRMmG 向，式中 R、 M、 、 T 分別為地球的半徑、質(zhì)量、自轉(zhuǎn)角速度以及自轉(zhuǎn)周期。 當(dāng)赤道上的物體“飄”起來時 ,必須有地面對物體的支持力等于零，即 N=0，這時物體做圓周運動的向心力完全由地球?qū)ξ矬w的萬有引力提供 .由此可得赤道上 的物體“飄”起來的條件是：由地球?qū)ξ矬w的萬有引力提供向心力。以上的分析對其它的自轉(zhuǎn)天體也是同樣適用的。 （ 4）萬有引力、重力、向心力三者間的關(guān)系： 地面物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力 F 向 =m 2r=mr4 2/T 由萬有引力 F 引 =GMm/R2 提供， F向是 F 引的一個分力，引力 F 引的另一個分力才是物體的重力 mg，引力 F 引是向心力 F 向和重力 mg 的合力，三者符合力的平行四邊形定則，大小關(guān)系是 F 引 mgF 向。 例 4：已知地球半徑 R=6.37 106m.地球質(zhì)量 M=5.98 1024Kg,萬有引力常量 G=6 67 10-11 Nm2/Kg2.試求掛在赤道附近處彈簧秤下的質(zhì)量 m=1Kg 的物體對彈簧秤的拉力多大？ 【審題】對物體受力分析如圖 4-6 所示，彈簧秤對物體豎直向上的拉力和地球?qū)ξ矬w豎直向下的萬有引力的合力提供了物體隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運動的向心力。 【解析】在赤道附近處的質(zhì)量 m=1Kg 的物體所受地球的萬有引力為 F=GMm/R2=6.67 10-11 5.98 1024 1/ (6.37 106)2 N=9.830N 此物體在赤道所需向心力為 F 向 =m 2R=mR4 2/T2= 1（ 606024 14.32 XXX ） 2 6.37 106 N=0.0337 N。 此物體在赤道所受到的彈簧秤拉力為 F 拉 =F-F 向 =（ 9.830-0.0337） N =9.796N。 由牛頓第三定律可知，物體對彈簧秤的拉力為 F 拉 =9.796N。亦即物體所受到的重力也是9.796N。 【總結(jié)】由計算可知，引力 F=9.830N 遠(yuǎn)大于向心力 F 向 =0.0337 N，而物體所受重力 9.796N與物體所受的萬有引力 F=9.830N 相差很小，因而一般情況下可認(rèn)為重力的大小等于萬有引力的大小。但應(yīng)該切記兩點： 重力一 般不等于萬有引力，僅在地球的兩極時才可有大小相等、方向相同，但重力與萬有引力仍是不同的兩個概念。 不能因為物體隨地球自轉(zhuǎn)所需要的向心力很小而混淆了萬有引力、重力、向心力的本質(zhì)區(qū)別。 例 5：地球赤道上的物體重力加速度為 g,物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為 a,要使赤道上的物體“飄”起來 ,則地球轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)為原來的 ( ) 倍 A.ga B. aag C. aag D. ag 【審題】依據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律，以赤道上的物體“飄”起來的動力學(xué)本質(zhì)為切入口 ,即可求出地球轉(zhuǎn)動的角速度。 【解析】設(shè)地球原來自轉(zhuǎn)的角速度為 1 ，用 F 表示地球?qū)Τ嗟郎系奈矬w的萬有引力 , N 表示地面對物體的支持力，由牛頓第二定律得 mamRNF 21 由于物體受到的支持力與物體的重力是一對平衡力 ,所以有 mgGN 圖 4-6 當(dāng)赤道上的物體“飄”起來時 ,只有萬有引力提供向心力，設(shè)此時地球轉(zhuǎn)動的角速度為 2 ，有 22mRF 聯(lián)立、三式可得 12 aag，所以正確答案為 B 選項。 【總結(jié)】當(dāng)赤道上的物體“飄”起來 時 ,是一種物體、地球之間接觸與脫離的臨界狀態(tài)，地球?qū)ξ矬w的支持力為零，只有萬有引力完全提供向心力，只要正確運用牛頓第二定律和萬有引力定律列式求解即可。 例 6：假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量火和地球質(zhì)量地之比火地 =p，火星的半徑火和地球半徑地之比火地 =q，那么離火星表面火高處的重力加速度和離地球表面地高處的重力加速度之比等于多少？ 【審題】解題時要明確以下二點： 一、因為已知火星的質(zhì)量火和地球質(zhì)量地之比火地 =p 以及火星的半徑火和地球半徑地之比 火地 =q，故可以運用比例法進(jìn)行求解。 二、所求的是離火星表面火高處的重力加速度和離地球表面地高處的重力加速度之比，而不是火星表面與地球表面的重力加速度之比。 【解析】 物體的重力來自萬有引力，所以離火星表面火高處： m 火g =G火 m/(火 )2 火g = 24/ 火火 RGM 。離地對表面地高處： m 地g =G地 m/(地 )2， 地g = 24/ 地地 RGM 火g / 地g = 地火 MM / 22 / 火地 RR P/q2 【總結(jié)】 由于引力定律公式中只有乘法與除法，故可以運用比例法進(jìn)行求解。對星球表面上空某處的重力加速度公式 ghRRhRGMg 22 ，也可以這樣理解： g和星球質(zhì) 4、必須區(qū) 別天體系統(tǒng)中中心天體與環(huán)繞天體的不同 對于天體質(zhì)量的測量，常常是運用萬有引力定律并通過觀測天體的運行周期 T 和軌道半徑 r（必須明確天體的運行周期 T 和軌道半徑 r 是研究衛(wèi)星問題中的兩個關(guān)鍵物理量），把天體或衛(wèi)星的橢圓軌道運動近似視為勻速圓周運動，然后求解。但是必須區(qū)別天體系統(tǒng)中中心天體與環(huán)繞天體的不同。 所謂中心天體是指位于圓周軌道中心的天體，一般是質(zhì)量相對較大的天體；如，恒星、行星等等。所謂環(huán)繞天體是指繞著中心天體做圓周運動的天體或者衛(wèi)星以及人造衛(wèi)星，一般是質(zhì)量相對較小的天體或衛(wèi)星。 此種方法只能用來測定中心天體的質(zhì)量，而無法用來測定環(huán)繞天體的質(zhì)量。這是解題時必須注意的。 （ 1）根據(jù)天體表面上物體的重力近似等于物體所受的萬有引力，由天體表面上的重力加速度和天體的半徑求天體的質(zhì)量，其公式推證過程是： 由 mg=G 2RMm 得 GgRM2.（式中 M、 g、 R 分別表示天體的質(zhì)量、天體表面的重